Analyse complexe - Université de Montréal

1 Analyse complexeCours et exercices corrig esAndr e GirouxD epartement de math ematiques et statistiqueUniversit e de Montr eal2013 IntroductionL Analyse est l etude approfondie du calcul diff erentiel et int egral. Ce coursporte sur le calcul diff erentiel et int egral des fonctions complexes d une va-riable complexe . Il s agit d un premier cours sur le sujet o`u les propri et es desnombres complexes et l extension aux fonctions de ces nombres des fonctions el ementaires d une variable r eelle sont tout d abord pr esent ees. On d eveloppeensuite leur calcul diff erentiel et int egral et on etudie les propri et essuppl ementaires de ces fonctions qui en d ecoulent. Quelques applications auxs eries et aux int egrales de Fourier sont enfin expos etudiant est r eput e etre familier avec les m ethodes de l Analyse ( les et les ) et bien conna tre les propri et es des fonctions el ementaires d une va-riable r eelle (polyn omes et fonctions rationnelles, exponentielle et logarithme,fonctions trigonom etriques directes et inverses, fonction gamma).

2 Le cours contient des d emonstrations rigoureuses et compl`etes de tousses th eor`emes (certains calculs sont laiss es au lecteur `a titre d exercice) etl etudiant s erieux devrait fournir des solutions de m eme calibre aux probl`emespropos es `a la fin de chaque chapitre. Le style est d elib er ement informel ; c estainsi, par exemple, qu il n y a pas de d efinitions formelles : la premi`ere foisqu unterme nouveauappara t, il est ecrit en caract`ere gras et sa d efinitionest contenue dans la phrase qui le des mati`eres1 Les nombres Propri et es alg ebriques .. Propri et es topologiques .. L infini en Analyse complexe .. Exercices ..202 Les fonctions Fonctions continues .. Polyn omes et fonctions rationnelles .. La fonction exponentielle.

3 Application aux s eries de Fourier .. Exercices ..343 Les fonctions D erivabilit e .. Les equations de Cauchy-Riemann .. Exercices ..424 Le calcul int Propri et es des courbes .. Int egrales curvilignes .. Les th eor`emes de Cauchy .. Le logarithme .. Exercices ..585 Propri et es analytiques des fonctions L analycit e .. La propri et e des z eros isol es .. La propri et e du module maximum .. Exercices ..666 Table des mati`eres6 Le calcul des r Singularit es isol ees .. R esidus .. La propri et e de l application ouverte .. Application aux transform ees de Fourier .. Application au calcul d int egrales diverses .. Exercices ..847 Propri et es g eom etriques des fonctions Transformations conformes.

4 Les transformations homographiques .. Exercices ..938 Les fonctions L equation de Laplace .. Propri et es .. Application aux EDP .. Exercices .. 1029 Solutions des Les nombres complexes .. Les fonctions complexes .. Les fonctions holomorphes .. Le calcul int egral .. Propri et es analytiques des fonctions holomorphes .. Le calcul des r esidus .. Propri et es g eom etriques des fonctions holomorphes .. Les fonctions harmoniques .. 137 Table des Les racines 7i`emede l unit e .. , les hyperboles .. , les paraboles .. Le sens de parcours positif .. Le th eor`eme de Cauchy .. Le th eor`eme de Cauchy, suite .. La formule de Cauchy .. Le th eor`eme de Laurent.

5 Une transform ee de Fourier .. Une transform ee de Fourier .. Un calcul d int egrale .. Un calcul d int egrale .. Un calcul d int egrale .. Angle entre deux courbes .. Une transformation homographique .. Le noyau de Poisson .. Un probl`eme de Dirichlet .. Une spirale .. Un parall elogramme .. Un polyn ome de Tchebychev .. Un calcul d int egrale .. 132 Chapitre 1 Les nombres complexesL ensembleN={1,2,3,..}des entiers naturels est ferm e sous l addi-tionm+net la multiplicationmnmais pour pouvoir r esoudre pourxtoute equation du typex+m=n , m,n N,il faut passer aux entiers relatifsZ={0, 1, 2,..}. Et pour etre capable der esoudre pourxtoute equation de la formepx+q= 0, p,q Z,il faut aller aux nombres rationnelsQ={p/q|p,q Z,q6= 0}.

6 Ce derniersyst`eme est ferm e sous les quatre op erations de l arithm etique mais on ne peuty r esoudre pourxtoute equation du typex2=a , a nombres r eelsRpermettent de r esoudre certaines de ces equations maispas toutes. Ils forment un syst`eme ferm e sous les quatre op erations qui estde plus complet au sens o`u toute suite{xn}n Nqui satisfait la condition deCauchylimm,n + |xm xn|= 0y est convergente mais on ne peut par exemple y obtenir une solution del equationx2+ 1 = faut pour cela construire les nombres 1. Les nombres Propri et es alg ebriquesSi (x,y), (u,v) R2, soient(x,y) + (u,v) = (x+u,y+v)et(x,y) (u,v) = (xu yv,xv+yu).Ces op erations cr eent un corps commutatif, le corpsCdes nombres complexes ;(0,0) est l el ement neutre pour l addition, (1,0) est l el ement neutre pour lamultiplication et l inverse multiplicatif de (x,y)6= (0,0) est(xx2+y2, yx2+y2).

7 En identifiant (x,0) R2avecx Ret en posanti= (0,1),C={z|z=x+iyavecx,y Reti2= 1}.On calcule donc avec les nombres complexes comme avec les nombres r eels enrempla cant partouti2par Sin N0={0,1,2,..}, on a1 +i+i2+i3+ +in=1 in+11 ide telle sorte que1 +i+i2+i3+ +in= 1sin= 0 mod 4,1 +isin= 1 mod 4,isin= 2 mod 4,0sin= 3 mod nombre r eelxest lapartie r eelledez, le nombre r eelysapartieimaginaire,x=<z , y==z,le nombre complexez=x iyest leconjugu edezet le nombre positif|z|= x2+ Propri et es alg ebriques11est sonmodule. On remarque que1z=z|z| Sia6= 0,betcsont r eels, l equation quadratiqueaz2+bz+c= 0admet toujours deux racines donn ees par la formule de Vi`ete :z= b b2 4ac2asib2 4ac >0, b/2asib2 4ac= 0, b i 4ac b22asib2 4ac <0(la racine est de multiplicit e deux dans le deuxi`eme cas).

8 On remarque quedans le troisi`eme cas, les racines sont des nombres complexes conjugu La droite d equationax+by=cdans le plan correspond `al ensemble des nombres complexes qui satisfont la relationa ib2z+a+ib2z=c,le cerclex2+y2=r2correspond aux nombres complexes tels que|z|=ret la paraboley=x2`a ceux qui sont li es parz2+ 2zz+z2+ 2iz 2iz= nombres complexes, etant des points du plan, admettent uneformepolaire. Siz6= 0, on peut ecrirez=r(cos +isin )o`u le nombrer=|z|= x2+y2est le module dezet l angle = argz= arctanyx+ six <0,y 0, 2six= 0,y >0,arctanyxsix >0, 2six= 0,y <0,arctanyx six <0,y <0,12 Chapitre 1. Les nombres complexesest sonargument. Donc, par d efinition, <argz .Les formules d addition pour les fonctions trigonom etriques montrent que l onaz1z2=r1r2(cos( 1+ 2) +isin( 1+ 2))donc que|z1z2|=|z1||z2|et quearg(z1z2) = argz1+ argz2mod 2.

9 En raisonnant par r ecurrence surn N, on obtient la formule de de Moivre :(cos +isin )n= cosn +isinn .Exemple. Quelques soienta Cetn N, l equationzn=aadmetnracines. Sia6= 0, elles sont toutes distinctes :zk=|a|1/n(cos(argan+2 kn)+isin(argan+2 kn))o`uk= 0,1,2,..,n 1. Lorsquea= 1, le nombre n= cos2 n+isin2 nest laracine primitiveni`emede l unit e :zn 1 = (z 1)(z n)(z 2n) (z n 1n).(figure , page 13). Propri et es topologiquesLa distance entrez1etz2est|z1 z2|.On a, quelques soientz1,z2etz3,|z1 z2| |z1 z3|+|z3 z2|. Propri et es topologiques13 Les racines 7i`emede l unit eUne suite{zn}n Nde nombres complexes converge vers un nombre complexezsilimn + |zn z|= vertu des in egalit essup{|<z|,|=z|} |z| |<z|+|=z|,on alimn + zn=zsi et seulement silimn + <zn=<zetlimn + =zn== cons equence, les r`egles de calcul concernant la limite d une somme, d unediff erence, d un produit ou d un quotient restent valables.

10 De plus, le crit`erede Cauchy suivant lequel la suite{zn}n Nadmet une limite si et seulement silimm,n + |zm zn|= 0est encore Lorsquezn z,|zn| |z|mais il n est pas s ur que argzn argzcar l argument d un nombre complexe n est pas une fonction continue14 Chapitre 1. Les nombres complexesde ce nombre il y a discontinuit e tout le long de l axe r eel n egatif. Ainsi 1 i/n 1 mais arg( 1 i/n) = arctan 1/n alors que arg( 1) = .Il suit du crit`ere de Cauchy qu une condition suffisante pour la convergenced une s erie de nombres complexes+ k=0ckest sa convergence absolue (en module) :+ k=0|ck|<+ .Dans le th eor`eme suivant,D(z0,r) ={z||z z0|< r}etD(z0,r) ={z||z z0| r}.Th eor`eme 1 (Cauchy)Donn ee une s erie enti`ere `a coefficients complexesak,+ k=0akzk,posonsR=1lim supk|ak|1/k(donc0 R + ).