Appunti del corso INTRODUZIONE ALLA FISICA …

1 Appunti del corsoINTRODUZIONE ALLA FISICA QUANTISTICAA lessandro PapaDipartimento di FISICA , Universit`a della CalabriaAnno Accademico 2009-102 IndicePrefazione71 Le origini della teoria quantistica: quantizzazione della La fine del periodo classico .. La FISICA teorica classica .. Stato delle conoscenze microscopiche a fine 800 .. Teoria della radiazione nera .. Esistenza di una funzione universaleu ( ,T) .. Legge di Stefan-Boltzmann .. Legge di Wien .. Legge di spostamento di Wien .. Formula dell irraggiamento di Rayleigh-Jeans .. Formula dell irraggiamento di Planck .. Effetto fotoelettrico .. Effetto Compton .. La doppia fenditura di Young .. Esercitazioni .. Riflessione alla Bragg .. 32A Appendice: interferenza tra onde elettromagnetiche .. 33B Appendice: diffrazione .. 352 Le origini della teoria quantistica: quantizzazione nella Atomo di Thomson e atomo di Rutherford .. L atomo di Bohr.

2 L esperimento di Franck-Hertz .. Esperienza di Stern-Gerlach e quantizzazione nello spazio .. Il principio di corrispondenza .. Cenni sull antica teoria dei quanti .. Esercitazioni .. Atomo di idrogeno secondo Thomson .. Atomo di elio secondo Thomson .. Diffusione Rutherford su atomo di Thomson .. Diffusione Rutherford su atomo con nucleo puntiforme .. Instabilit`a dell atomo di Rutherford .. Buca di potenziale infinita nell antica teoria dei quanti .. L oscillatore armonico unidimensionale nell antica teoria dei quanti .. 563 I princ` pi della meccanica INTRODUZIONE .. Ipotesi di de Broglie. Natura ondulatoria della materia.. Velocit`a di fase e velocit`a di gruppo .. Dualismo onda-corpuscolo. Interpretazione statistica .. Incertezza della misura e indeterminazione di Heisenberg .. Complementarit`a. Variabili compatibili. Causalit`a.. Funzione d onda e densit`a di probabilit`a .. Dimensione di una funzione d onda.

3 Funzioni non normalizzabili in senso stretto .. Valori medi di osservabili .. Sistemi di pi`u particelle .. Concetto di operatore. Regole di commutazione .. Operatori hermitiani .. Coniugazione hermitiana .. Osservabili fisiche ed operatori hermitiani .. Operatori con spettro continuo .. Postulato della misura .. Osservabili compatibili .. Enunciato formale della relazione di indeterminazione di Heisenberg .. Relazione di indeterminazione tempo-energia .. Esercitazioni .. Determinazione delle autofunzioni simultanee di due operatori che commutano Applicazioni della relazione di indeterminazione di Heisenberg .. 904 L equazione di Schr Aspetti generali dell evoluzione temporale .. Equazione di Schr odinger per una particella .. Equazione di Schr odinger per il caso generale .. Alcune osservazioni sull equazione di Schr odinger .. Equazione di Schr odinger indipendente dal tempo e stati stazionari.

4 Propriet`a generali dell equazione di Schr odinger dipendente dal tempo .. Conservazione della norma .. 1005 Sistemi quantistici Premessa .. Equazione di Schr odinger indipendente dal tempo per una particella libera in motounidimensionale .. Equazione di Schr odinger indipendente dal tempo per sistemi unidimensionali .. Potenziali costanti a tratti .. Altre propriet`a del moto unidimensionale .. Buca di potenziale .. Barriera di potenziale .. Buca di potenziale infinita .. Coefficiente di trasmissione .. L oscillatore armonico unidimensionale .. Sistemi in tre dimensioni con Hamiltoniane separabili.. Esercitazioni .. Sparpagliamento di un pacchetto d onde gaussiano .. Particella in buca unidimensionale infinita .. Riflessione da barriera di potenziale rettangolare .. Trasmissione attraverso una barriera di potenziale a dente .. 1226 Momento angolare Relazioni di commutazione e operatori di salita e di discesa.

5 Autovalori e autostati del momento angolare .. Il momento angolare orbitale .. 1297 Il potenziale centrale e l atomo di Moto in un campo a simmetria centrale .. Atomo di idrogeno .. 137A Appendice: formule utili .. 142 Appendici generali145A Costanti fisiche .. 145B Onde piane nel vuoto .. 146C Serie di Fourier .. Funzioni periodiche .. Sviluppi in serie di Fourier .. Serie di Fourier di esponenziali complessi .. 151D Trasformata di Fourier .. Definizione e propriet`a .. Relazione di indeterminazione per la trasformata di Fourier .. Esempi .. 156E Delta di Dirac .. Definizione .. Propriet`a della delta di Dirac .. Altre rappresentazioni della delta di Dirac .. Trasformata di Fourier della delta di Dirac .. Integrale della delta di Dirac .. Derivate della delta di Dirac .. La delta di Dirac in tre dimensioni .. 1635 INDICE6 PrefazioneIn queste pagine sono raccolti gli Appunti delle lezioni ed una selezione di esercitazioni del corsointitolatoIntroduzione alla FISICA Quantistica.

6 Questo corso `e rivolto agli studenti del II annodel corso di Laurea in FISICA e del corso di Laurea in Scienza dei Materiali (nuovo ordinamento)dell Universit`a della Calabria, a partire dall 2001 corso si articola in 24 ore di teoria ed altrettante di esercitazione ed `e strutturato in due parti,fortemente correlate tra prima parte, in cui predomina l approccio storico-fenomenologico, vengono presentati i pi`uimportanti esperimenti alla scala microscopica compiuti a cavallo del XIX e del XX secolo e vieneevidenziata l inadeguatezza dello schema classico all interpretazione dei loro risultati. Viene sotto-lineata, in particolare, la necessit`a di introdurre una nuova meccanica, basata su concetti estraneial paradigma classico, come quelli diquantizzazionee diinterpretazione seconda parte del corso , pi`u formale, questa nuova meccanica viene presentata nella formu-lazione dellameccanica ondulatoria. Dopo averne enunciato i princ` pi generali ed aver introdottol equazione di Schr odinger, se ne considerano le applicazioni ai sistemi in una dimensione e a quelliin tre dimensioni con simmetria centrale, fino a discutere l atomo di raccolta di appuntinondeve rappresentare in nessun modo l unica fonte di informazioneper lo studente sulla materia oggetto del corso .

7 La scelta dinon chiamarladispensa`e stata fattaproprio per scongiurare l equivoco che lo studente possa sentirsidispensatodalla consultazione deitesti consigliati. Essa deve servire solo comeguida di percorsonell organizzazione dello studio ecome manualetto diorientamento `o vale in particolare per la prima parte del corso , per la quale `e pi`u difficile trovare un unicoriferimento bibliografico per tutti gli argomenti trattati(tanto pi`u se si pretende che sia in linguaitaliana). Questa raccolta di Appunti dovrebbe evitare allo studente il disagio iniziale di doversiconfrontare con diversi testi e lo dovrebbe aiutare a seguire quotidianamente le lezioni del corso senzagrosse difficolt`a, fornendogli al tempo stesso tutti i riferimenti bibliografici per gli approfondimentiche si potrebbero rendere necessari per affrontare l materiale raccolto in queste pagine non `e ovviamente originale. In una parte non trascurabileesso `e reminescente del corso di Istituzioni di FISICA Teorica tenuto dal prof.

8 P. Menotti e dellerelative esercitazioni tenute dal prof. E. Guadagnini che l autore ha seguito durante i suoi studiall Universit`a di Pisa. Per un altra ampia parte il lettore riconoscer`a che gli Appunti riproduconoquasi fedelmente brani dei testi consigliati. Il contributo originale `e limitato alla scelta dell ordine diesposizione degli argomenti, all aggiunta di esempi illustrativi e allo svolgimento esplicito di alcunicalcoli che nei testi di riferimento sono materiale `e organizzato in capitoli ordinati secondo losvolgimento cronologico del corso . Leparti scritte con caratteri pi`u piccoli sono relative ad approfondimenti non strettamente necessariper la comprensione delle lezioni successive o ad argomentiche, per lo stesso motivo e per mancanzadi tempo, durante un certo anno accademico potrebbero non essere stati trattati. Lo studente `eesortato a leggere anche queste primo capitolo, la teoria della radiazione nera `e sviluppata con grande dettaglio, seguendol approccio storico, ma durante il corso ne sono esposti solo i passaggi pi`u importanti.

9 Gli ultimidue capitoli, sul momento angolare e sul moto in un campo a simmetria centrale, si riferiscono adargomenti che nel corso vengono solo accennati e che sono ripresi in corsi successivi. Si `e decisotuttavia di inserirli in forma estesa e dettagliata per utilit`a futura degli fine di ogni capitolo sono riportate leesercitazionipi`u significative sugli argomenti che visono stati trattati ed alcuniesercizida svolgere. Talvolta sono presenti ancheappendici matema-ticheche richiamano o introducono nozioni e tecniche necessarieper la comprensione del testo. Allafine di tutta la raccolta si trovano leappendici generali, cio`e quelle appendici la cui consultazionepu`o rendersi necessaria durante la lettura di pi`u di un consigliatiper un certo argomento sono riportati alla fine del capitolo essi ce ne sono tre che ricorrono con maggiore frequenza eche meritano pertanto una citazionea parte. Si tratta di M. Born, FISICA atomica, Bollati Boringhieri; A. Messiah,M ecanique quantique, Dunod; Landau, Lifshits,Meccanica quantistica non relativistica, Editori la preparazione alla prova scritta d esame si raccomanda agli studenti di utilizzare la raccolta G.

10 Passatore,Problemi di meccanica quantistica elementare, Franco Angeli Editore,e di svolgere gli esercizi assegnati nelle prove scritte degli appelli , uncaveat: sebbene questa raccolta di Appunti sia ormai al suo terzo anno di vita, erroridi stampa si annidano sicuramente nel testo e nelle formule el esposizione va sicuramente limata inalcuni punti ed arricchita in altri. Sar`a pertanto molto apprezzato il contributo degli studenti e dichiunque altro, sia per la segnalazione di errori ed omissioni, sia per ogni proposta di menzione particolare meritano il dott. Domenico Giuliano, esercitatore del corso dall 2003/04,il dott. Marco Rossi, esercitatore del corso rivolto agli studenti di Scienza dei Materiali nell , ed il dott. Pietro Giudice per le segnalazioni di errori di stampa e per alcune propostemigliorative del aver raccolto l appello a snidare errori di stampa, si ringraziano gli studenti Aldo Bru-netti, Christian Gencarelli, Gianluca Greco, Michele Lucente, Antonio Mandarino, Raffaele Marino,Elio Masciari, Marco Melia, Beatrice Murdaca, Andrea Nava,Giuseppe Nistic`o, Michele Pisarra,Francesco Pucci, Giuseppe Pucci, ai nomi dei quali spero di aggiungere presto quello di altri 2010 Alessandro Papa8 Capitolo 1Le origini della teoria quantistica:quantizzazione della La fine del periodo classicoLo sviluppo della FISICA fino all inizio del XX secolo si `e svolto secondo il paradigma delladottrinaclassica: ai sistemi fisici di cui si vuole studiare l evoluzioneviene associato un certo numero divariabili dinamicheche possiedonotuttead un certo istante un valoreben preciso.