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1 Luciano Battaia Appunti per un corso di Matematica Teoria ed esercizi Universit Ca' Foscari di Venezia - Dipartimento di Economia Appunti per un corso di Matematica Teoria ed esercizi Luciano Battaia Universit Ca' Foscari di Venezia - Dipartimento di Economia Versione del 23 febbraio 2017. Quest'opera soggetta alla Creative Commons Public License versione o posteriore. L'enunciato integrale della Licenza in versione reperibile all'indirizzo internet http://creativecommons. org/licenses/by-nc- Si liberi di riprodurre, distribuire, comunicare al pubblico, esporre in pubblico, rappresentare, eseguire e recitare quest'opera alle seguenti condizioni: Attribuzione Devi attribuire adeguatamente la paternit sul materiale, fornire un link alla licenza e indicare se sono state effettuate modifiche. Puoi realizzare questi termini in qualsiasi ma- niera ragionevolmente possibile, ma non in modo tale da suggerire che il licenziante avalli te o il modo in cui usi il materiale.

2 Non commerciale Non puoi usare il materiale per scopi commerciali. Non opere derivate Se remixi, trasformi il materiale o ti basi su di esso, non puoi distribuire il materiale cos modificato. Ogni volta che si usa o si distribuisce quest'opera, lo si deve fare secondo i termini di questa licenza, che va comunicata con chiarezza. In ogni caso si possono concordare con il titolare dei diritti d'autore usi di quest'opera in deroga da questa licenza. Se gli allievi non capiscono, il torto dell'insegnante che non sa spiegare. N vale addossare la responsabilit alle scuole inferiori. Dobbiamo prendere gli allievi cos come sono, richiamare ci che essi hanno dimenticato, o studiato sotto altra nomenclatura. Se l'insegnante tormenta i suoi alunni, e invece di cattivarsi il loro amore, eccita odio contro s e la scienza che insegna, non solo il suo insegnamento sar negativo, ma il dover convivere con tanti piccoli nemici sar per lui un continuo tormento.

3 Giuseppe Peano (1858 1932). Indice Premessa ix 1 Insiemi e funzioni 1. Insiemi limitati e illimitati di numeri reali 1. Insiemi limitati e illimitati nel piano 3. Un po' di topologia 3. Insiemi connessi. Insiemi convessi 6. Funzioni 7. Funzioni di due variabili - Introduzione 15. Successioni 15. Operazioni sulle funzioni 16. Funzioni elementari e funzioni definite a pezzi 17. Dominio delle funzioni elementari 18. Funzioni crescenti e decrescenti 19. Funzioni limitate e illimitate, massimi e minimi 19. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive 22. L'inversa di una funzione 22. Il grafico di una funzione e della sua inversa 24. Modelli lineari e non lineari 25. Esercizi 26. 2 Matrici e sistemi lineari 29. Introduzione 29. Vettori 30. Dipendenza ed indipendenza lineare 32. Matrici 33. Il prodotto tra matrici 35. Il determinante di una matrice quadrata 40.

4 Il calcolo della matrice inversa 43. Il rango di una matrice 44. Il teorema di Kronecker per il calcolo del rango 46. I sistemi lineari 46. Il modello input-output di Leontief 53. 3 Limiti e continuit per funzioni di una variabile 57. Luciano Battaia v Indice Appunti per un corso di Matematica Considerazioni introduttive 57. La retta reale estesa 63. La definizione di limite 64. Tre teoremi fondamentali sui limiti 66. Limiti di successioni 69. Funzioni continue 70. I teoremi fondamentali sulle funzioni continue 71. Il calcolo dei limiti 72. Ordini di infinito 74. Qualche esempio di calcolo dei limiti 75. Esercizi 76. 4 Introduzione alla Matematica finanziaria 81. Serie geometriche finite e infinite 81. Regimi finanziari 82. Considerazioni introduttive 82. Regime dell'interesse semplice 84. Regime dell'interesse composto 85. Rendite 87. Considerazioni introduttive 87.

5 Valore attuale e montante di una rendita 88. 5 Derivate per funzioni di una variabile 91. Tangenti a una circonferenza e tangenti a una curva 91. Derivata e tangente al grafico di una funzione 92. La derivata della funzione inversa 99. Derivate successive 100. Polinomi di Taylor 101. Polinomi di Taylor di alcune funzioni elementari 106. Esercizi 106. 6 Grafici di funzioni di una variabile 109. I teoremi fondamentali del calcolo differenziale 109. Massimi e minimi per una funzione 115. Funzioni convesse e concave 116. Asintoti al grafico di una funzione 119. Esercizi 123. 7 Integrali per funzioni di una variabile 129. Introduzione 129. Primitive per una funzione reale di variabile reale 130. Integrazione per parti 133. Integrazione per sostituzione 135. Area di un trapezoide 137. vi Luciano Battaia Appunti per un corso di Matematica Indice Integrale definito 139.

6 Il calcolo degli integrali definiti 143. Integrali impropri 146. Esercizi 147. 8 Funzioni di due variabili 151. Introduzione illustrata 151. Qualche esempio significativo 161. Cenno su limiti e continuit 164. Piani nello spazio 164. Linee di livello e intersezioni con piani verticali 166. Derivate parziali 169. Ottimizzazione libera 171. Ottimizzazione vincolata 175. Ottimizzazione globale su insiemi chiusi e limitati 181. Esercizi 183. Notazioni utilizzate 187. Alfabeto greco 189. Indice analitico 191. Luciano Battaia vii viii Luciano Battaia Premessa Questi Appunti contengono lo schema di un corso di Matematica per il corso di laurea in Economia. Essi possono essere considerati la continuazione degli Appunti per un precorso di Matematica , reperibili su Gli studenti sono pregati di segnalare eventuali, inevitabili, errori all'indirizzo di posta elettronica Luciano Battaia ix x Luciano Battaia 1 Insiemi e funzioni Questo capitolo contiene sostanzialmente la riproposizione di alcuni concetti gi introdotti negli Appunti per il precorso, con alcune estensioni.

7 Insiemi limitati e illimitati di numeri reali Attenzione: in tutto questo paragrafo gli insiemi considerati sono sottoinsiemi dell'insieme dei nu- meri reali. Definizione Sia A R un insieme. Un numero reale x si dice un maggiorante di A se ( ) x a, a A. Un numero reale y si dice un minorante di A se ( ) y a, a A. p Esempio Sia A =] 2, 8]. Allora 5, , 2 sono minoranti; 8, 10, 89 sono maggioranti. Esempio Sia A = N. Allora non esistono maggioranti, mentre tutti i numeri reali minori o ugauli a zero sono minoranti. Esempio Sia A = Z. Allora non esistono n maggioranti, n minoranti. Definizione Sia A R un insieme. A dice limitato superiormente (o anche limitato a destra) se ha almeno un maggiorante. A dice limitato inferiormente (o anche limitato a sinistra) se ha almeno un minorante. Un insieme che sia limitato sia superiormente che inferiormente si dice limitato.

8 Un insieme che non sia limitato superiormente o inferiormente si dice illimitato superiormente o illimitato inferiormente. Un insieme illimitato sia superiormente che inferiormente si dice illimitato. Esempio N limitato inferiormente, ma non superiormente. Esempio Z non limitato n inferiormente n superiormente. Esempio A =]2, 6[ limitato (sia superiormente che inferiormente). Definizione Sia A R un insieme. Un numero M A si dice il massimo di A se M a, a A; un numero m A si dice il minimo di A se m a, a A. Si noti che abbiamo detto il massimo e il minimo perch , come si pu dimostrare se il massimo c' , unico; analogamente per il minimo. Si tenga ben presente che il massimo e il minimo, se ci sono, appartengono all'insieme. Luciano Battaia 1. 1 Insiemi e funzioni Appunti per un corso di Matematica Esempio Se A = [0, 1], 1 il massimo, mentre 0 il minimo di A.

9 Si scrive anche 1 = max(A), 0 = min(A). Esempio Se A =]0, 1[, A non ha n massimo n minimo. Esempio Se A =]0, 1], 1 = max(A), mentre A non ha minimo. Esempio min(N) = 0, mentre N non ha massimo. Esempio Z non ha n massimo n minimo. Come ovvio dalla definizione, e come mostrano gli esempi, un insieme illimitato superiormente non pu avere massimo, uno illimitato inferiormente non pu avere minimo, ma anche insiemi limi- tati possono non avere n massimo n minimo. Per ovviare a questo inconveniente si introducono i concetti di estremo superiore e inferiore che, in un certo senso, estendono quelli di massimo e minimo. L'introduzione di questi concetti resa possibile dal fatto che si dimostra che se un insieme limitato superiormente allora l'insieme dei suoi maggioranti ha sempre un minimo, se un insieme limitato inferiormente allora l'insieme dei suoi minoranti ha sempre un massimo.

10 Definizione Sia A R un insieme superiormente limitato. Allora il minimo dei maggioranti di A. si chiama estremo superiore di A e si indica con sup(A). Sia A R un insieme inferiormente limitato. Allora il massimo dei minoranti di A si chiama estremo inferiore di A e si indica con inf(A). Se A superiormente illimitato si pone, per definizione, sup(A) = + ; se A inferiormente illimitato si pone, per definizione, inf(A) = . Possiamo quindi dire che ogni insieme di numeri reali ha sempre un estremo superiore (eventualmen- te + ) e un estremo inferiore (eventualmente ). Per distinguere gli insiemi limitati dagli illimitati, per i primi parleremo di estremo superiore, oppure inferiore, finiti. Esempio + = sup(N), 0 = inf(N) = min(N). Esempio + = sup(Z), = inf(Z). Esempio 1 = sup(]0, 1[), 0 = inf(]0, 1[). Esempio 1 = sup([0, 1]) = max([0, 1]), 0 = inf([0, 1]) = min([0, 1]).