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Bac S 2015 Asie Correction EXERCICE I : galileo , SYSTEME DE NAVIGATION PAR SATELLITE (6 points). 1. Performances du syst me galileo (0,75) Les longueurs d'onde 1, 2 et 3 correspondant aux fr quences f1, f2 et f3 sont donn es par les relations : c 3,00 108. 1 = soit 1 = = 0,190 m = 19,0 cm ; (on conserve 3 chiffres significatifs). f1 1575, 42 106. c 3,00 108. 2 = soit 2 = = 0,234 m = 23,4 cm ;. f2 1278,75 106. c 3,00 108. 3 = soit 3 = = 0,252 m = 25,2 cm ;. f3 1191,80 106. Ces longueurs d'onde sont comprises entre 10 cm et 1 m ; elles appartiennent au domaine des Ultra Hautes Fr quences (UHF). Remarque : un seul calcul peut suffire puisqu'il s'agit d'un domaine commun.

3. Étude du mouvement d’un satellite du système Galileo 3.1. (0,5) La deuxième loi de Kepler dans le cas général, appliquée au système Terre-Satellite

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1 Bac S 2015 Asie Correction EXERCICE I : galileo , SYSTEME DE NAVIGATION PAR SATELLITE (6 points). 1. Performances du syst me galileo (0,75) Les longueurs d'onde 1, 2 et 3 correspondant aux fr quences f1, f2 et f3 sont donn es par les relations : c 3,00 108. 1 = soit 1 = = 0,190 m = 19,0 cm ; (on conserve 3 chiffres significatifs). f1 1575, 42 106. c 3,00 108. 2 = soit 2 = = 0,234 m = 23,4 cm ;. f2 1278,75 106. c 3,00 108. 3 = soit 3 = = 0,252 m = 25,2 cm ;. f3 1191,80 106. Ces longueurs d'onde sont comprises entre 10 cm et 1 m ; elles appartiennent au domaine des Ultra Hautes Fr quences (UHF). Remarque : un seul calcul peut suffire puisqu'il s'agit d'un domaine commun.

2 (0,5) Les deux crit res qui permettent au syst me galileo d'att nuer le ph nom ne de canyons urbains sont : l'utilisation d'un nombre de satellites plus important par rapport ses concurrents : 30. satellites pour galileo contre 29 pour Glonass et 24 pour le GPS. En effet Un nombre plus important de satellites offre de meilleures performances, en particulier dans les zones urbaines o la transmission peut tre perturb e par la pr sence d'immeubles . l'utilisation de plusieurs fr quences pour la transmission des signaux: 3 pour galileo et le GPS et 2 pour Glonass. En effet Les satellites du syst me galileo utilisent plusieurs bandes de fr quence pour transmettre les diff rents signaux.

3 Ceci permet de limiter les canyons urbains , zones o les probl mes de r flexion sur les b timents sont propices aux erreurs de calcul de position. (0,75) La pr cision de positionnement de vis e par le syst me galileo , pour les services de haute pr cision, est de moins de 1,0 m. Ainsi, une pr cision de positionnement d = 1,0 m d correspond une pr cision de dur e gale = . c 1,0. soit = = 3,3 10 9 s = 3,3 ns. 3,0 108. La pr cision de dur e tant de l'ordre de la nanoseconde, l'utilisation d'une horloge atomique est donc n cessaire. 2. Mise en orbite d'un satellite du syst me galileo z (0,5) Syst me tudi : {fus e + satellite + quipement} de masse F.

4 M constante de 310 tonnes R f rentiel d' tude : terrestre suppos galil en Rep re d'espace : axe vertical (Oz) orient vers le haut Conditions initiales : vitesse nulle (sur la base de lancement). et z(0) = z0 = 0. Bilan des forces : G. poids P , force verticale orient e vers le bas ;. force de pouss e verticale F , orient e vers le haut, de valeur constante : F = 4 106 N P. La deuxi me loi de Newton s' crit ici: P + F = M. a En projection selon l'axe Oz vertical, orient vers le haut, il vient : Pz + Fz = O. Or la coordonn e PZ est n gative donc PZ = P = Mg . Et la coordonn e FZ est positive : FZ = + F ;. Ainsi : Mg + F = Finalement : F.

5 AZ = g M. F. L'expression propos e, par les l ves, pour l'acc l ration est : aZ = + g . Elle contient une M. erreur de signe (devant g) li e une erreur de projection du poids selon l'axe Oz. F. Apr s deux int grations successives, de l'acc l ration aZ = g , l'altitude est z(t) est: M. 1 F . z(t ) = . g .t 2. 2 M . 1 F . L'expression propos e z(t ) = . + g t 2 contient la m me erreur de signe que celle sur 2 M . l'acc l ration. (0,75) L'altitude de mise en orbite est z = h = 23 522 km = 23 522 103 m. 1 F . La dur e n cessaire la mise en orbite du satellite est : h = . g t 2. 2 M . 2h 2h soit t 2 = et finalement, en ne conservant que la solution positive : t =.

6 F F . M g M g .. 2 23522 103. t= = 3894 s = 4 103 s en ne conservant qu'un seul chiffre significatif. 4 106 . 310 103 9,80 .. (0,5) La masse de la fus e est consid r e constante au cours du mouvement, or cette masse diminue au cours du temps cause de l' jection des gaz. La deuxi me loi de Newton doit dp dv dm dm . alors s' crire P + F = = m. + .v . Il y a un terme suppl mentaire .v relatif cette dt dt dt dt . variation de masse. La force de pouss e est suppos e constante. Or cette force varie au cours du mouvement. Les forces de frottement de l'air sur la fus e ne sont pas prises en compte. L'intensit g de la pesanteur diminue avec l'altitude.

7 Enfin la fus e ne se d place pas en suivant une ligne droite verticale. 3. tude du mouvement d'un satellite du syst me galileo (0,5) La deuxi me loi de Kepler dans le cas g n ral, appliqu e au syst me Terre-Satellite est : Le rayon vecteur OS reliant le centre O de la Terre au centre S du satellite, balaye des aires gales pendant des dur es gales . L2. A2. O. S. A1. L1. Pendant la m me dur e t, les aires balay es par la droite OS sont gales : A1 = A2. En revanche, les portions d'ellipses parcourues sont diff rentes : L1 > L2. (0,5) Dans l'approximation d'une trajectoire circulaire, pendant la m me dur e t, les portions de cercles parcourus sont gales : L1 = L2.

8 Le mouvement du satellite est donc uniforme. S. O A2 L2. L1 A1. RT. h (0,5) La troisi me loi de Kepler, appliqu e au cas des satellites en orbites circulaires autour du centre de la Terre, indique que le carr de la p riode de r volution T du satellite T2 4 2. autour de la Terre est proportionnel au cube du rayon R de l'orbite soit : 3 = Cte = . R Ainsi, plus le rayon de l'orbite R est grand plus la p riode de r volution T du satellite est grande. Or, le rayon de l'orbite est : R = RT + h avec RT constant. Donc plus h est grand plus T est grande. L'altitude h d'un satellite galileo tant plus grande que celles des deux autres satellites, sa p riode de r volution est plus grande.

9 T2 4 2 4 2R 3 4 2R 3 R3. (0,75) On a : 3 = donc T =. 2. soit T = = 2 . R ( RT + h ). 3. et finalement, avec R = RT + h , T = 2 . ( 6380 10 + 23522 103 ). 3 3. T = 2 = 5,14 104 s = 14 h 17 min. 6, 67 10 11 5, 98 1024. On v rifie bien que la p riode de r volution est plus lev e que celles des deux autres satellites.


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