BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2017 - …

1 17 MAESSLI1 BACCALAUR AT G N RAL Session 2017 MATH MATIQUES - S rie ES - ENSEIGNEMENT DE SP CIALIT Dur e de l' preuve : 3 heures Coefficient : 7 Les calculatrices lectroniques de poche sont autoris es, conform ment la r glementation en vigueur. Le sujet est compos de 4 exercices ind pendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un r sultat pr c demment donn dans le texte pour aborder les questions suivantes, condition de l indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invit faire figurer sur la copie toute trace de recherche, m me incompl te ou non fructueuse, qu'il aura d velopp e. Il est rappel que la qualit de la r daction, la clart et la pr cision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appr ciation des copies. Avant de composer, le candidat s assurera que le sujet comporte bien 7 pages num rot es de 1 7.

2 1 17 MAESSLI1 EXERCICE 1 (3 points) Commun tous les candidats Cet exercice est un questionnaire choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre r ponses propos es est exacte. Aucune justification n est demand e. Une bonne r ponse rapporte un point. Une mauvaise r ponse, une r ponse multiple ou l absence de r ponse ne rapporte ni n enl ve aucun point. Indiquer sur la copie le num ro de la question et la r ponse correspondante. 1) On consid re la fonction d finie sur 0; par La valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle 1;e est : a) 2 b) c) d) 2) On consid re une variable al atoire suivant une loi normale. La courbe de la figure ci-dessous repr sente la fonction de densit associ e la variable . a) L'esp rance de est 0,4. b) L'esp rance de est 0,95. c) L' cart-type de est environ 0,4. d) L' cart-type de est environ 0,2.

3 3) l'occasion de son inauguration, un hypermarch offre ses clients un ticket gratter par tranche de 10 euros d'achats. L'hypermarch affirme que 15 % des tickets gratter sont gagnants, c'est- -dire donneront droit un bon d'achat de 5 euros. Amandine a re u 50 tickets gratter apr s un achat de 500 euros dans cet hypermarch . Deux d'entre eux taient gagnants. On suppose que le nombre de tickets gratter est suffisamment important pour consid rer qu un chantillon de 50 tickets correspond un tirage al atoire avec remise. a) L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fr quence observ e de tickets gagnants dans un chantillon de 50 tickets gratter est 0,051;0,249 , les bornes tant arrondies au milli me. b) L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fr quence observ e de tickets gagnants dans un chantillon de 50 tickets gratter est 0,100 ;0,200 , les bornes tant arrondies au milli me.

4 C) La fr quence de tickets gagnants re us par Amandine est . d) Amandine peut annoncer avec un risque de 5 % que l affirmation de l hypermarch n'est pas mensong re. 2 17 MAESSLI1 EXERCICE 2 (6 points) Commun tous les candidats Les deux parties sont ind pendantes. Partie A : L'accord de Kyoto (1997) Le principal gaz effet de serre (GES) est le dioxyde de carbone, not CO2. En 2011, la France a mis 486 m gatonnes de GES en quivalent CO2 contre 559 m gatonnes en 1990. 1) Dans l accord de Kyoto, la France s est engag e r duire ses GES de 8 % entre 1990 et 2012. Peut-on dire qu'en 2011 la France respectait d j cet engagement ? Justifier la r ponse. 2) Sachant que les missions de 2011 ont marqu une baisse de 5,6 % par rapport 2010, calculer le nombre de m gatonnes en quivalent CO2 mises par la France en 2010. Arrondir le r sultat 0,1. Partie B : tude des missions de gaz effet de serre d'une zone industrielle Un plan de r duction des missions de gaz effet de serre (GES) a t mis en place dans une zone industrielle.

5 On estime que, pour les entreprises d j install es sur le site, les mesures de ce plan conduisent une r duction des missions de 2 % d une ann e sur l autre et que, chaque ann e, les implantations de nouvelles entreprises sur le site g n rent 200 tonnes de GES en quivalent CO2. En 2005, cette zone industrielle a mis 41 milliers de tonnes de CO2 au total. Pour tout entier naturel n, on note le nombre de milliers de tonnes de CO2 mis dans cette zone industrielle au cours de l'ann e 2005 . 1) D terminer . 2) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : 0,98 0,2 . 3) On consid re la suite d finie, pour tout entier naturel n, par 10 . a) Montrer que la suite est g om trique de raison 0,98. Pr ciser son premier terme. b) Exprimer en fonction de n, pour tout entier naturel n. c) En d duire que, pour tout entier naturel n, 31 0,98 10 . 4) a) Calculer la limite de la suite.

6 B) Interpr ter ce r sultat dans le contexte de l'exercice. 3 17 MAESSLI1 5) l'aide de l'algorithme ci-dessous, on se propose de d terminer l'ann e partir de laquelle la zone industrielle aura r duit au moins de moiti ses missions de CO2, par rapport l'ann e 2005. a) Recopier et compl ter les lignes 7 et 9 de l'algorithme b) L'algorithme affiche 54. Interpr ter ce r sultat dans le contexte de l'exercice. 1 Variables 2 U est du type nombre 3 n est du type nombre entier 4 D but Algorithme 5 U prend la valeur 41 6 n prend la valeur 0 7 Tant que (..) faire 8 D but Tant que 9 U prend la 10 n prend la valeur n + 1 11 Fin Tant que 12 Afficher n 13 Fin Algorithme 4 17 MAESSLI1 EXERCICE 3 (5 points) Candidats de la s rie ES ayant suivi l'enseignement de sp cialit Les parties A et B sont ind pendantes. Partie A Deux op rateurs Alpha et Bravo se partagent le march de la t l phonie mobile dans un pays.

7 En 2015, l'op rateur Alpha poss de 30 % du march de t l phonie mobile. Le reste appartient l'op rateur Bravo. On tudie l volution dans le temps du choix des abonn s de 2015 pour l un ou l autre des op rateurs. Chaque abonn conserve un abonnement t l phonique, soit chez l op rateur Alpha soit chez l op rateur Bravo. On estime que, chaque ann e : 12 % des abonn s de l'op rateur Alpha le quittent et souscrivent un abonnement chez l'op rateur Bravo. 86 % des abonn s de l'op rateur Bravo lui restent fid les, les autres le quittent pour l'op rateur Alpha. On mod lise cette situation par un graphe probabiliste deux sommets Alpha et Bravo : A est l' v nement : l abonn est chez l'op rateur Alpha ; B est l' v nement : l abonn est chez l'op rateur Bravo . 1) Dessiner ce graphe probabiliste. On admet que la matrice de transition de ce graphe probabiliste, en consid rant les sommets dans l'ordre alphab tique, est : 0,88 0,120,14 0,86.

8 On note pour tout entier naturel n : la probabilit qu un abonn soit chez l'op rateur Alpha l'ann e 2015 ; la probabilit qu un abonn soit chez l'op rateur Bravo l'ann e 2015 . On note la matrice ligne de l' tat probabiliste pour l'ann e 2015 . 2) Donner a0 et b0 . 3) Montrer qu'en 2018, il y aura environ 44,2 % des abonn s chez l'op rateur Alpha. 4) Les deux op rateurs voudraient conna tre la r partition de l'ensemble des abonn s sur le long terme. On note l' tat stable de la r partition des abonn s. a) Montrer que les nombres x et y sont solutions du syst me 0,12 0,14 0 1. b) R soudre le syst me pr c dent dans l ensemble des r els. c) D terminer la r partition des abonn s entre les deux op rateurs au bout d'un grand nombre d'ann es. Arrondir les pourcentages 0,1 %. 5 17 MAESSLI1 Partie B Un op rateur fran ais doit d velopper son r seau de fibre optique dans la r gion des stations de ski not es A, B, C, D, E, F, G, H, I l'approche de la saison touristique.

9 Ce jour, seule la station C est reli e au r seau national de fibre optique. Le co t des tron ons du r seau de fibre optique varie selon le relief des montagnes et des vall es. L op rateur a men une tude afin de d terminer son plan de d ploiement. Dans le graphe ci-dessous : les sommets repr sentent les stations de ski ; les ar tes repr sentent les diff rents tron ons qu il est possible de d ployer ; le poids de chaque ar te correspond au co t associ , en milliers d euros. 1) l'aide de l'algorithme de Dijkstra, d terminer le trac de fibre optique le moins cher d ployer, entre les stations C et G. 2) D terminer, en milliers d'euros, le co t de ce trac . 6 17 MAESSLI1 EXERCICE 4 (6 points) Commun tous les candidats Les deux parties sont li es. Partie A On consid re la fonction d finie sur l'intervalle [0 ; 10] par , . On note la fonction d riv e de sur l'intervalle [0 ; 10] . 1) Montrer que, pour tout r el x dans l'intervalle [0 ; 10], on a.

10 On note la fonction d riv e seconde de sur l'intervalle [0 ; 10] . Un logiciel de calcul formel fournit l'expression suivante de : , , . 2) a) Montrer que, dans l'intervalle [0 ; 10], l'in quation100e 0,5 0 est quivalente l'in quation x ln 0,005 . b) En d duire le tableau de signes de la fonction sur l'intervalle [0 ; 10] . 3) On appelle la courbe repr sentative de trac e dans un rep re. Montrer, l'aide de la question 2, que la courbe admet un point d'inflexion not I, dont on pr cisera la valeur exacte de l'abscisse. 4) En utilisant les r sultats de la question 2, d terminer l'intervalle sur lequel la fonction est concave. Partie B Dans toute cette partie les temp ratures seront exprim es en degr s Celsius, not s C. La COP21, conf rence sur les changements climatiques des Nations Unies, a adopt le 12 d cembre 2015 le premier accord universel sur le climat, appel accord de Paris, sign par 195 pays.