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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNCIONES …

C LCULO DIFERENCIAL E INTEGRALDE FUNCIONES DE UNA VARIABLEF rancisco Javier P rez Gonz lezDepartamento de An lisis Matem ticoUniversidad de texto se distribuye bajo una licenciaCreative Commonsen virtud de la cual se permite:Copiar, distribuir y comunicar p blicamente la obras las condiciones siguientes:BY: reconocer los cr ditos de la obra de la manera especificada por el autor oel licenciador (pero no de una manera que sugiera que tiene suapoyo o apoyan el uso que hacede su obra).$\ No puede utilizar esta obra para fines Compartir bajo la misma altera o transforma esta obra, o genera una obra derivada,s lo puede distribuir la obra generada bajo una licencia id ntica a de GranadaDpto. de An lisis Matem ticoProf. Javier P rezC lculo DIFERENCIAL e INTEGRAL Indice generalPr logoXVIGu as de lecturaXX1. Axiomas deR. Principio de inducci Introducci n .. Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios.

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1 C LCULO DIFERENCIAL E INTEGRALDE FUNCIONES DE UNA VARIABLEF rancisco Javier P rez Gonz lezDepartamento de An lisis Matem ticoUniversidad de texto se distribuye bajo una licenciaCreative Commonsen virtud de la cual se permite:Copiar, distribuir y comunicar p blicamente la obras las condiciones siguientes:BY: reconocer los cr ditos de la obra de la manera especificada por el autor oel licenciador (pero no de una manera que sugiera que tiene suapoyo o apoyan el uso que hacede su obra).$\ No puede utilizar esta obra para fines Compartir bajo la misma altera o transforma esta obra, o genera una obra derivada,s lo puede distribuir la obra generada bajo una licencia id ntica a de GranadaDpto. de An lisis Matem ticoProf. Javier P rezC lculo DIFERENCIAL e INTEGRAL Indice generalPr logoXVIGu as de lecturaXX1. Axiomas deR. Principio de inducci Introducci n .. Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios.

2 De los n meros reales .. Axiomas algebraicos .. Axiomas de orden .. n de orden .. Desigualdades y valor absoluto.. forma correcta de leer las matem ticas .. funci n aparentemente caprichosa .. Ejercicios propuestos .. Ejercicios resueltos .. Principio de inducci n matem tica .. Ejercicios propuestos .. Ejercicios resueltos .. Complementos .. N meros y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables.. raz n urea y el pentagrama ..27II ndice con n meros racionales .. Hacer matem ticas .. Algunas razones para estudiar matem ticas .. Lo que debes haber aprendido en este Cap tulo. Lecturas adicionales ..322. FUNCIONES FUNCIONES reales .. Operaciones con FUNCIONES .. Intervalos .. Estudio descriptivo de las FUNCIONES elementales .. FUNCIONES polin micas y FUNCIONES racionales .. Ra ces de un n mero real .. Potencias racionales.

3 Logaritmos .. Exponenciales .. s compuesto .. demogr fico .. Funci n potencia de exponente reala.. FUNCIONES trigonom tricas .. de ngulos .. seno y coseno .. de las FUNCIONES seno y coseno .. FUNCIONES tangente, cotangente, secante y cosecante .. FUNCIONES arcoseno, arcocoseno y arcotangente .. Las FUNCIONES hiperb licas .. FUNCIONES hiperb licas inversas .. Ejercicios propuestos .. Ejercicios resueltos .. Sobre el concepto de funci n .. El desarrollo del lgebra y la invenci n de los logaritmos .. Lo que debes haber aprendido en este cap tulo ..643. N meros complejos. Exponencial Un poco de historia ..65 Universidad de GranadaDpto. de An lisis Matem ticoProf. Javier P rezC lculo DIFERENCIAL e INTEGRAL ndice Operaciones b sicas con n meros complejos .. Comentarios a la definici n de n mero complejo .. Forma cartesiana de un n mero complejo.

4 Comentarios a la definici n usuali= 1.. No hay un orden enCcompatible con la estructura algebraica .. Representaci n gr fica. Complejo conjugado y m dulo .. Forma polar y argumentos de un n mero complejo .. Observaciones a la definici n de argumento principal.. rmula de De Moivre .. Ra ces de un n mero complejo .. n de las ra ces complejas .. igualdadn zn w=n zw.. Ejercicios propuestos .. Ejercicios resueltos .. FUNCIONES elementales complejas .. La funci n exponencial .. Logaritmos complejos .. Potencias complejas .. Ejercicios propuestos .. Ejercicios resueltos .. Aplicaciones de los n meros complejos .. Movimiento arm nico simple .. Circuitos el ctricos .. Procesamiento digital de se ales ..1024. FUNCIONES Continuas y l mite Introducci n .. Continuidad .. Propiedades b sicas de las FUNCIONES continuas.

5 Propiedades locales .. Teorema de Bolzano. Supremo e nfimo .. La propiedad del supremo .. Propiedad de extremo inferior .. Consecuencias del teorema de Bolzano ..113 Universidad de GranadaDpto. de An lisis Matem ticoProf. Javier P rezC lculo DIFERENCIAL e INTEGRAL ndice y monoton a .. Ejercicios propuestos .. Ejercicios resueltos .. Continuidad en intervalos cerrados y acotados .. Ejercicios propuestos .. Ejercicios resueltos .. L mite funcional .. L mites laterales de una funci n en un punto .. L mites infinitos .. divergentes en un punto .. mites en infinito .. divergentes en infinito .. lgebra de l mites .. L mites y discontinuidades de FUNCIONES mon tonas .. Comportamientos asint ticos de las FUNCIONES elementales .. mites de exponenciales y logaritmos .. Indeterminaciones en el c lculo de l mites .. Ejercicios propuestos.

6 Ejercicios resueltos ..1455. N meros y l mites. El infinito matem Introducci n .. Evoluci n del concepto de n mero .. N meros y cantidades en la antigua Grecia .. De la antigua Grecia a la invenci n del C lculo .. Infinit simos y el continuo num rico .. El triunfo de Pit goras .. de Dedekind .. todos axiom ticos y m todos constructivos .. regreso de los peque itos .. Ejercicios propuestos .. Evoluci n del concepto de l mite funcional .. La teor a de las razones ltimas de Newton .. Lametaf sica del C lculoen D Alembert y Lagrange ..167 Universidad de GranadaDpto. de An lisis Matem ticoProf. Javier P rezC lculo DIFERENCIAL e INTEGRAL ndice El premio de la Academia de Berl n de 1784 .. Cauchy y suCours D Analysede 1821 .. El innovador trabajo de Bolzano .. Weierstrass nos dio los .. Ejercicios propuestos .. Breve historia del infinito.

7 La idea de infinito en la filosof a y la matem tica Griegas .. apor as de Zen n de Elea .. y divisibilidad infinita .. rueda de Arist teles .. El infinito desde la Edad Media hasta el siglo XIX .. infinito en la Escol stica .. y el infinito .. C lculo y el infinito .. El infinito matem tico y el nacimiento de la teor a de conjuntos .. no numerabilidad del continuo .. Ejercicios propuestos ..1986. Introducci n .. Concepto de derivada. Interpretaci n f sica y geom trica .. Tangente a una curva .. Raz n de cambio puntual y velocidad instant nea .. de una curva relacionados con la derivada .. Derivadas laterales .. Propiedades de las FUNCIONES derivables. Reglas de derivaci n .. Ejercicios propuestos .. Ejercicios resueltos .. Derivabilidad de las FUNCIONES elementales .. de la exponencial y del logaritmo. Criterio deequivalencia logar tmica.

8 De las FUNCIONES trigonom tricas .. de las FUNCIONES hiperb licas .. Teoremas de Rolle y del valor medio ..221 Universidad de GranadaDpto. de An lisis Matem ticoProf. Javier P rezC lculo DIFERENCIAL e INTEGRAL ndice Consecuencias del teorema del valor medio .. Reglas de L H pital.. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor .. Notaci n de Landau .. Polinomios de Taylor de las FUNCIONES elementales .. T cnicas para calcular l mites de FUNCIONES .. L mites que debes saberte de memoria .. Sobre el mal uso de las reglas de L H pital .. Sobre el uso de la notaci nl mx a.. Extremos relativos. Teorema de Taylor .. FUNCIONES convexas y FUNCIONES c ncavas .. Ejercicios propuestos .. Ejercicios resueltos .. Or genes y desarrollo del concepto de derivada .. Las matem ticas en Europa en el siglo XVII .. C lculo de tangentes y de valores extremos.

9 M todo de m ximos y m nimos de Fermat .. m todo de las tangentes de Fermat .. m todo de Roberval y de Torricelli para las tangentes .. tri ngulo DIFERENCIAL de Barrow .. Los inventores del C lculo .. Newton y el c lculo de fluxiones .. Leibniz y el c lculo de diferencias .. Desarrollo del c lculo DIFERENCIAL ..3217. Introducci n .. Sucesiones de n meros reales .. Sucesiones convergentes .. Sucesiones convergentes y estructura de orden deR.. Sucesiones mon tonas .. n meroe.. Sucesiones convergentes y estructura algebraica deR.. Sucesiones parciales. Teorema de Bolzano Weierstrass ..333 Universidad de GranadaDpto. de An lisis Matem ticoProf. Javier P rezC lculo DIFERENCIAL e INTEGRAL ndice Condici n de Cauchy. Teorema de completitud deR.. L mites superior e inferior de una sucesi n .. Ejercicios propuestos .. Ejercicios resueltos .. Sucesiones divergentes.

10 Indeterminaciones en el c lculo de l mites .. Sucesiones y l mite funcional .. Sucesiones asint ticamente equivalentes .. Sucesiones de potencias .. Ejercicios propuestos .. Ejercicios resueltos .. Sucesiones de n meros complejos .. Definici n de la exponencial compleja .. Ejercicios propuestos .. Ejercicios resueltos .. Demostraciones alternativas de los teoremas de Bolzano y de Weierstrass .. Continuidad uniforme ..3818. INTEGRAL de Introducci n .. Aproximaciones al rea .. Definici n y propiedades b sicas de la INTEGRAL .. El Teorema Fundamental del C lculo .. Primitivas. Regla de Barrow .. Las FUNCIONES logaritmo y exponencial.. Integrales impropias de Riemann .. Criterios de convergencia para integrales .. Teoremas del valor medio para integrales.. Derivadas e integrales de FUNCIONES complejas de variable real.


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