Cálculo diferencial e integral I - INAOE - P

1 C lculo diferencial e integral IProblemasresueltosCanek: Portal de Matem ticasC lculo diferencial e integral IProblemasresueltosErnesto Javier Espinosa Herrera (coordinador)Ignacio Canals NavarreteManuel Meda VidalRafael P rez FloresCarlos Antonio Ul n Jim nezUniversidad Aut noma Metropolitana - Unidad AzcapotzalcoEditorial Revert Barcelona Bogot Buenos Aires Caracas M xico2008 Universidad Aut noma MetropolitanaRector generalDr. Jos Lema LabadieSecretario generalMtro. Luis Javier Melgoza ValdiviaUniversidad Aut noma Metropolitana-AzcapotzalcoRectorDr. Adri n de Garay S nchezSecretariaDra. Sylvie Turpin MarionDirector de la Divisi n de Ciencias B sicas e Ingenier aDr. Emilio Sordo ZabayJefe del Departamento de Ciencias B sicasDr. Luis Enrique Nore a Franco M. en C. Ernesto Javier Espinosa Herrera (coordinador)Dr. Ignacio Canals NavarreteM. en C. Manuel Meda VidalDr. Rafael P rez Flores yDr.

2 Carlos Antonio Ul n Jim nez Departamento de Ciencias B sicasDivisi n de Ciencias B sicas e Ingenier aUnidad AzcapotzalcoUniversidad Aut noma MetropolitanaAv. San Pablo 180, col. Reynosa TamaulipasDeleg. Azcapotzalco, 02200 M xico Revert Ediciones, de o P nuco 141, col. Cuauht mocDeleg. Cuauht moc, 06500M xico de la colecci n 978 968 6708 73-8 ISBN del volumen 978 968 6708 78-3 Primera edici n 2008 Impreso en M in MexicoProgramas Educativos, de Chabacano 65, local ACol. Asturias, M xico, de datos: Teresa Jurado DorantesPortada: Lucila Montoya Garc aCuidado editorial: Concepci n AsuarTodo el material deC lculo diferencial e integral I. Problemas resueltosse encuentra en l nea en la direcci n: ndiceIntroducci IXCap tulo 1 Los n meros ngeom tricadelosn merosreales .. merosreales .. ndedesigualdades .. del tipoaxCb del tipoa1xCb1 a2xCb2 del tipojaxCbj MconM> del tipoaxCbcxCd del tipoax2 CbxCc 0cona ndicedelcap tulo1.

3 55 Cap tulo nrealdeunavariablereal .. ficadeunafunci .. 127 Cap tulo 3L mite de una funci 147 VIIVIIIC lculo diferencial e integral lgebradel mites mites en 180 Cap tulo .. 231 Cap tulo 5La .. n .. nea .. 284 Cap tulo 6 Reglas de derivaci sicasdederivaci .. infinitas .. nimpl cita .. 311 Cap tulo 7 Razones de cambio 325 Cap tulo 8 Aplicaciones de la y monoton a .. ximosym nimoslocales .. 356 Cap tulo 9Gr fica de una funci de la gr ficadeunafunci n .. n de gr ficasys 414 Cap tulo 10 Optimizaci n .. 425 Introducci nNo importa cu nto entregues, nunca ser suficienteDonald W. WinnicottC lculo diferencial e integral I. Problemas resueltoscontiene el desarrollo, con todo detalle, y la soluci n delconjunto de ejercicios que aparecen en el libro de teor aC lculo diferencial e integral I. Ambos libros fuerondise ados como una sola obra, en dos tomos, concebida para estudiantes de primer ingreso de escuelas deingenier a.

4 Tanto los ejemplos de la teor a como el conjunto de los ejercicios fueron elegidos entre aque-llos que los autores hemos utilizado en las m ltiples ocasiones que hemos impartido este material en losprogramas de ingenier a de la Universidad Aut noma Metropolitana, unidad el proceso de elaboraci n de los dos tomos, siempre se procur presentar la teor a, los ejemplos ylos ejercicios de forma asequible para cualquier estudiante que inicia su formaci n universitaria en escuelasy facultades de ingenier a. Hemos puesto especial atenci n en una did ctica que refuerce en el estudiante eldesarrollo de procesos de abstracci n impl citos en el contenido matem tico. Para nosotros, el alumno es elprotagonista m s importante en el proceso de la ense anza y el aprendizaje, por lo que deseamos que, coneste material, adquiera las bases necesarias para continuar aprendiendo y asimilando los conocimientosdurante su formaci n en el campo de la ingenier el temario completo del libro de teor a como el del libro de problemas resueltos se encuentrandisponibles en internet, en la direcci n En las siguientes l neas se describe elcontenido matem tico de cada uno de los cap tulos de la obra primer cap tulo,Los n meros reales, trata sobre el universo donde se desarrolla esta parte de la matem ticadenominada c lculo diferencial .

5 Se presentan los n meros reales destacando sus subconjuntos: los n merosnaturales, los enteros, los racionales y los irracionales. Se hace nfasis en la ubicaci n de stos en una rectahorizontal, en sus propiedades algebraicas y en su orden. Por la gran utilidad que tiene en el estudio delc lculo , se muestra el proceso de soluci n de diferentes tipos de segundo cap tulo,Funciones, centra la atenci n en uno de los elementos fundamentales de la matem tica:el concepto de funci n y, como caso particular, el de funci n real de variable real. De ellas damos una repre-sentaci n gr fica, definimos operaciones incluyendo la composici n y se explica la manera de transformarfunciones obteniendo nuevas funciones a partir de una conocida. Clasificamos las funciones como sigue:funciones mon tonas, pares e impares, lineales, cuadr ticas, c bicas, polinomiales, racionales y tambi n las funciones definidas por partes.

6 Por ltimo se muestra c mo se usan las funcionespara representar o modelar situaciones de la vida lculo diferencial e integral resueltosEn el tercer cap tulo,L mites, presentamos otro concepto fundamental del c lculo : el l mite de una funci l encuentra el lector el lgebra de l mites, l mites laterales, infinitos y en el cuarto cap tulo,Continuidad, se utiliza el concepto de l mite de una funci n para tipificar las funcionescontinuas. Desglosamos las diferentes formas en las que una funci n puede no ser el quinto cap tulo,La derivada, utilizamos nuevamente el concepto de l mite para definir otro conceptofundamental del c lculo : la derivada de una funci n. Se hace hincapi en la derivada como raz n decambio instant nea de una funci n. Posteriormente definimos en particular la recta tangente a una curva yla velocidad instant nea de un m vil. Puntualizamos la relaci n entre derivabilidad y continuidad de unafunci el sexto cap tulo,Reglas de derivaci n, desarrollamos lo siguiente: puesto que la derivada es un l mite, y engeneral es dif cil o por lo menos laborioso calcular l mites, se presentan distintas reglas que nos permitencalcular la derivada mediante la mera aplicaci n de f rmulas.

7 Se resalta en particular la regla que nospermite determinar la derivada de una composici n de funciones (regla de la cadena) y la derivaci n deuna funci n definida impl el s ptimo cap tulo,Razones de cambio relacionadas, calculamos la derivada o raz n de cambio instan-t nea de una funci n a partir de una expresi n que vincula la funci n que derivamos con otras funcionespresentes en el contexto de un el octavo cap tulo,Aplicaciones de la derivada, se muestra el uso de la derivada para encontrar cu ndouna funci n crece o decrece (tipo de monoton a), para calcular y clasificar sus puntos cr ticos (m ximos ym nimos) y para describir los intervalos de concavidad de la funci el noveno cap tulo,Gr fica de una funci n, se articula un gran n mero de conceptos presentados en loscap tulos anteriores para determinar el comportamiento de una funci n en su dominio y representar lagr fica de la funci n con mayor precisi el d cimo cap tulo,Optimizaci n, culminamos nuestro estudio con el an lisis de una situaci n real, la cualmodelamos mediante una funci n real de variable real.

8 De esta funci n se determina d nde alcanza susvalores extremos (su m ximo y su m nimo). Es decir, optimizamos un modelo que representa un Javier Espinosa HerreraCoordinadorCAP TULO1 Los n meros Algunos tipos de n merosEjercicios el n mero racional dado mediante una expresi n decimalfinita(es decir, con periodo 0) obien peri dica :HDividimos 3 entre 8:0:37508j3:060400)38D0:375N0D0:375: :HDividimos 5 entre 6:0:836j5:0202)56D0:833:::D0:8N3: 12C lculo diferencial e integral resueltos3. 8125:HDividimos 8 entre 125:0:0640125j8:005000) 8125D 0:064N0D 0:064: :HDividimos 17 entre 3:5:63j17:0202)173D5:66:::D5:N6: 5. 1009:HDividimos 100 entre 9:11:19j100:0101) 1009D 11:11:::D 11:N1: :HDividimos 25 entre 22:1:13622j2530801408)2522D1:13636:::D1: 136: Algunos tipos de n :HDividimos 1 entre 10:0:1010j1:00)110D0:1N0D0:1: :HDividimos 1 entre100D102:0:010100j1:000)1100D0:01N0D 0:01: :HDividimos 1 entre10n:0.

9 N 1/ceros 0 0 0j1: 0 0 .n 1/ceros00)110nD0: 0 0 .n 1/ceros1N0D0: 0 0 .n 1/ceros1: un ejemplo de n mero entero no 1. un ejemplo de n mero racional no , este n mero se obtiene dividiendo la unidad en dos partes iguales. 12. C mo har a para hallar la representaci n decimal de un n mero racional de la formapqconpenteroyqnatural?HDividiendope ntreq. 4C lculo diferencial e integral la representaci n decimal peri dica0:3en racional, de la formapqconpentero efecto:rD0:33333:::I10rD3:3333:::D3C0:33 333:::D3 CrI10r rD3I9rD3 IrD39D13: la representaci n decimal peri dica0:50en racional, de la formapqconpentero efecto:rD0:5I10rD5 IrD510D12: la representaci n decimal peri dica0:142857en racional, de la formapqconpentero efecto:rD0:142857I1000000rD142857:142857 D142857C0:142857D142857 CrI1000000r rD142857I999999rD142857 IrD142857999999D17: la representaci n decimal peri dica0:13en racional, de la formapqconpentero Algunos tipos de n meros5En efecto:rD0:13I10rD1:3D1C0:3D1 CrI100rD13:3D13C0:3D13 CrI100r 10rD12I90rD12 IrD1290D215: la representaci n decimal peri dica0:212en racional, de la formapqconpentero efecto:rD0:212I10rD2:12D2C0:12D2 CrI1000rD212:12D212C0:12D212 CrI1000r 10rD210I990rD210 IrD210990D733.

10 Otra forma de resolver:rD0:212I100rD21:212D21C0:212D21 CrI100r rD21I99rD21 IrD2199D733: la representaci n decimal peri dica0:3123en racional, de la formapqconpentero efecto:rD0:3123I10rD3:123D3C0:123D3 CrI10000rD3123:123D3123C0:123D3123 CrI10000r 10rD3120I9990rD3120 IrD31209990D104333:6C lculo diferencial e integral resueltosOtra forma de resolver:rD0:3123I1000rD312:3123D312C0:3 123D312 CrI1000r rD312I999rD312 IrD312999D104333: Representaci n geom trica de los n meros realesEjercicios Cu ndo se dice que2puntosAyA0son sim tricos con respecto a un terceroO?HCuandoOes el punto medio del segmento rectil neoAA0. dos puntosAyO c mo hallar a el sim trico deAcon respecto aO?HTrazando la rectaAOy llevando, a partir deO, una distancia igual aAO, pero en sentido opuesto:A0 O A A0es el sim trico deAcon respecto aO. regla y comp s c mo divide un segmento en2partes iguales?HTrazando la mediatriz del esto usamos regla y comp una circunferencia con centro en un extremo del segmento y con un radio mayor quela mitad de la distancia entre los B s trazamos otra circunferencia con centro en el otro extremo y con el mismo Representaci n geom trica de los n meros reales7A B intersecci n de las circunferencias determina dos puntosP1yP2que se encuentran sobre lamediatriz, pues,AP1 DBP1&AP2 DBP2por construcci n.