CAPÍTULO 3 - canek.azc.uam.mx

1 CAP TULO3 Aplicaciones de primer MezclasSi disolvemos500g de az car en20 `de agua, obtenemos una soluci n dulce con una concentraci nCD50020g/`D25g/`de az car (se lee25gramos por litro y significa25gramos de az car por cada litrode soluci n).Cuando disolvemos10lb de sal en50gal de agua, obtenemos una soluci n salina o salmuera con unaconcentraci nCD1050lb/galD0:2lb/gal de sal (l ase0:2libras por gal n).En general, si disolvemosQkg (o cualquier unidad de masa) de un soluto enV `(o alguna otra unidad devolumen) de un solvente, obtenemos una soluci n con una concentraci nCDQVkg/`del soluto (le doCkilogramos por litro y entendido comoCkilogramos de soluto por cada litro de soluci n). Esto esCD25g/`500gen20 `CD0:2lb/gal10lben50galCDQVkg/`QkgenV `Ahora supongamos que inicialmente (entD0) tenemos en un tanque una cantidadV0de soluci n dondehay disuelta una cantidadQ0de un soluto.

2 Supongamos tambi n que, a partir detD0, se deja entrarotra soluci n al tanque con una rapidezRe(flujo de entrada) y con una concentraci nCe(concentraci n deentrada) del mismo soluto y que, al mismo tiempo, se deja salir del tanque la nueva soluci n (consideradauniforme por mezclado) con una rapidezRs(flujo de salida) y una concentraci nCs(concentraci n de : 22/ 9/ 201012 ecuaciones diferenciales ordinariasda) del mismo lo , entonces la cantidadV0de soluci n se mantiene constante al paso del Rs, entonces la cantidadVde soluci n ser funci n del tiempot; es decir, A n m s,siRe> Rs, > V0(adem s es creciente); mientras que, siRe< Rs, < V0(adem s es decreciente). general, la cantidadQde soluto en el tanque ser funci n del tiempot; es decir, , la concentraci nCdel soluto en el tanque ser funci n del tiempot; y variar seg n queReDRso queRe Rs, esto es, problema que es de inter s en esta clase de procesos consiste en determinar la en el tanque en cualquier instantet resolver este problema procedemos como sigue:Consideremos primero la rapidez con que cambia la cantidad de el tanque, la cual est dadapor la rapidez con que entra el soluto menos la rapidez con la que sale.

3 Esto es, (rapidez con que entra el soluto) (rapidez con que sale el soluto):Si tomamos en cuenta quela rapidez con que entra el soluto esReCe;la rapidez con que sale el soluto modelo de este proceso queda como el ; :El m todo de soluci n de este PVI depender de las condiciones del un tanque que contiene1 000 `de agua, inicialmente se disuelven 5 kg de sal. Luego se bombeasalmuera al tanque a raz n de20 `/min y la soluci n uniformemente mezclada se bombea hacia afuera del tanque a lamisma raz n. Considerando que la concentraci n de la soluci n que entra es de0:01kg/`, cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instantet cantidad de sal en el tanque despu s cantidad de sal en el tanque despu s de mucho tiempo que debe transcurrir para que haya8kg de sal en el cantidad (en kg) de sal en el tanque despu s detmin.

4 Como inicialmente se tienen5kg desal, rapidez de cambio de la sal en el tanque en el (rapidez con que entra la sal) (rapidez con que sale la sal): Con qu rapidez entra la sal al tanque? Mezclas3Ya que la soluci n entra con una rapidezReD20 `/min y con una concentraci nCeD0:01kg/`, entoncesla rapidez con que entra la sal al tanque `/min/(0:01kg/`)D0:2kg/min: Con qu rapidez sale la sal del tanque?La rapidez con que sale la soluci n del tanque esRsD20 `/min. Sin embargo, la concentraci n de sal a lasalida se debe hallar a partir de estas consideraciones: Ya que entra soluci n a raz n de20 `/min y sale soluci n a la misma raz n, es claro que el volumenVde soluci n en el tanque es constante:VDvolumen inicialD1 000 `. Despu s detminutos de sal disueltos en1 000 `de soluci n, por lo que la concentraci nde sal en la soluci n que sale 000kg/`:Entonces la rapidez con que sale la sal del tanque `/min/[ 000kg/`] :Por lo tanto, la rapidez de cambio de la sal en el tanque, despu s detminutos RsCsD0:2 ) :2 :La cantidad de sal en el dada por la soluci n del :2; la ecuaci n :2 Ila cual es una ED lineal no homog nea y tiene por factor integrante ae150t, por lo queet50[ ]D0:2et50)ddt[ ]D0:2et50)) :2 :2/.

5 50/et50CC)) t50(10et50CC)) t50:Ahora bien, considerando la condici n inicial, ) )10 CCD5)CD 5;encontramos 5e t50es la cantidad de sal (en kg) que hay en el tanque despu s cantidad de sal que hay despu s de30 5e 3050D10 5e 0:6 7:25594182) 7 diferenciales cantidad de sal que hay despu s de mucho tiempo la podemos denotar y calcular como sigue:Ql mDl mt! mt!1(10 5e t50)Dl mt!1(10 5et50)D10)Ql Qu tiempo debe transcurrir para que haya8kg de sal en el tanque? )10 5e t50D8)e t50D8 10 5D 2 5D0:4)) :4/)tD :4/ 45 decir,t 45minutos,49segundos. Ejemplo tanque que tiene capacidad para2 000 `, contiene inicialmente1 000 `de agua con8kg de saldisuelta. Se bombea salmuera al tanque a raz n de20 `/min y la soluci n uniformemente mezclada se bombea haciaafuera a raz n de15 `/min.

6 Considerando que la concentraci n de la soluci n que entra es de0:01kg/`, cantidad de sal que hay en el tanque despu s cantidad de sal que hay en el tanque despu s concentraci n de sal en el tanque cuando ste se cantidad (en kg) de sal en el tanque despu s inicialmente se tienen8kg de sal, rapidez de cambio de la sal en el tanque en el (rapidez con que entra la sal) (rapidez con que sale la sal): Con qu rapidez entra la sal al tanque?Ya que la soluci n entra con una rapidezReD20 `/min y con una concentraci nCeD0:01kg/`, entoncesla rapidez con que entra la sal al tanque `/min/(0:01kg/`)D0:2kg/min:La rapidez con que sale la soluci n del tanque esRsD15 ` con qu concentraci n de sal?Ya que entra soluci n a raz n de20 `/min y sale soluci n a raz n de15 `/min, entonces quedan en eltanque5 `de soluci n en cada minuto que transcurre.

7 Despu s detminutos habr n quedado almacenadosen el tanque5t `de soluci n, los cuales se sumar n a los1 000 `de soluci n iniciales. Es decir, despu s detminutos habr en el 000C5t/ `de soluci n en los que estar n de sal, por locual la concentraci n de sal en la soluci n que sale 000C5tkg/`:Entonces la rapidez con que sale la sal del tanque `/min/[ 000C5tkg/`] 000C5tkg/min:Por lo tanto, la rapidez de cambio de la sal en el tanque, despu s detminutos RsCsD0:2 000C5t; Mezclas5o sea, :2 :Luego, la dada por la soluci n del :2; la ecuaci n :2;la cual es una ED lineal no homog nea y tiene por factor integrante lo ;por lo que:.200Ct/3[ ]D0 )ddt[.200 ]D0 )).200 :2 .200Ct/3dtD0 )) :Ahora bien, considerando la condici n inicial, ) ) )) 10/.200/3)CD lo que, ) 2(200200Ct)3es la cantidad (en kg) de sal que hay en el tanque despu s cantidad de sal que hay en el tanque despu s de una hora (60min) 2(200200C60)3D0 2(200260)3)) 0:91D12:09) Cu l es la concentraci n de sal en el tanque cuando ste se llena?

8 Primero veamos que el tanque se llena cuando el volumen 000C5tse iguala con lacapacidad del tanque de2 000 `. Esto sucede 000)1 000C5tD2 000)5tD1 000)tD200:Es decir, el tanque se llena cuando han cantidad de sal que hay en el tanque en dicho instante 2(200200C200)3D0 2(200400)3D20 2(18)D19:75)) diferenciales ordinariasPor lo tanto, la concentraci n de sal en el tanque en este instante 000kg/`D19:752 000kg/`) :009875kg/`) 0:01kg/`: Ejemplo un tanque que contiene500gal de agua, inicialmente se disuelven10lb de sal. Luego se bombeasalmuera al tanque a raz n de4gal/min y la soluci n uniformemente mezclada se bombea hacia afuera del tanque araz n de5gal/min. Considerando que la soluci n que entra tiene sal con una concentraci n de0:1lb/gal, cantidad de sal que hay en el tanque despu s cantidad de sal en el tanque despu s de media concentraci n de sal en el tanque cuando quedan100gal de soluci cantidad (en lb) de sal en el tanque despu s inicialmente se tienen10lb de sal, rapidez de cambio de la sal en el tanque en el (rapidez con que entra la sal) (rapidez con que sale la sal): Con qu rapidez entra la sal al tanque?

9 Ya que la soluci n entra con una rapidezReD4gal/min y con una concentraci nCeD0:1lb/gal, entoncesla rapidez con que entra la sal al tanque esReCeD(4gal/min)(0:1lb/gal)D0:4lb/min: Con qu rapidez sale la sal del tanque?La rapidez con que la soluci n sale del tanque esRsD5gal/min. Pero con qu concentraci n de sal?Ya que la salmuera entra a raz n de4gal/min y la soluci n mezclada sale a raz n de5gal/min, entoncesel tanque pierde1gal de soluci n en cada minuto que transcurre. Despu s detminutos se habr n per-didotgalones de soluci n de los500gal iniciales. Es decir, despu s detminutos quedar n en el t/gal de soluci n, en los que estar n de sal, por lo que la concentraci n de sal en lasoluci n que sale ser tlb/gal:Entonces la rapidez con que sale la sal del tanque esRsCsD(5gal/min)[ tlb/gal] tlb/min:Por lo tanto, la rapidez de cambio de la sal en el tanque, despu s detminutos RsCsD0:4 tIo sea, :4 :Luego, la dada por la soluci n del :4; la ecuaci n :4 : sta es una ED lineal no homog nea y tiene por factor integrante lo siguiente:eR5500 tdtDe5 Rdt500 tDe t/ t/ 5 Ipor lo cual.

10 500 t/ 5[ ]D0 t/ 5)ddt[.500 t/ ]D0 t/ 5)).500 t/ :4 .500 t/ 5dtD 0 t/ 4 4CC)) t/5[0 t/ 4CC]D0 t/5:Ahora bien, considerando la condici n ) ) )CD10 )CD lo que, t/C t/5) t/ 40(500 t500)5es la cantidad (en lb) de sal que hay en el tanque despu s cantidad de sal que hay en el tanque despu s de media hora (30min) 30/ 40(500 30500)5D0 40(470500)5)) 29:3562D17:6438) Cu l es la concentraci n de sal en el tanque cuando quedan100gal de soluci n?Despu s detminutos hay en el tanque500 tgalones de soluci n y stos ser n100gal cuando:500 tD100)tD400. Es decir, en el tanque hay100gal de soluci n cuando han cantidad de sal en dicho instante 400/ 40(500 400500)5D0 40(100500)5D10 0:0128)) :9872lb;por lo tanto, la concentraci n de sal en el tanque en este instante :9872100lb/gal) :099872lb/gal)) 0:1lb/gal.