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1 37 CAPITULO 2 METODOLOGIA DE SUPERFICIES DE RESPUESTA En este cap tulo hablaremos de qu es la Metodolog a de SUPERFICIES de Respuesta, su representaci n gr fica, el procedimiento a seguir hasta encontrar un ptimo y los dise os experimentales que pueden utilizar. Para el desarrollo del cap tulo fueron de gran utilidad Cornell [12] (1990) y Montgomery [6] (1991), de los cuales se tom la teor a y f rmulas que se presentan a continuaci n. Definici n.

2 La Metodolog a de SUPERFICIES de Respuesta es un conjunto de t cnicas matem ticas y estad sticas utilizadas para modelar y analizar problemas en los que una variable de inter s es influenciada por otras. El objetivo es optimizar la variable de inter s. Esto se logra al determinar las condiciones ptimas de operaci n del sistema. Terminolog a. A continuaci n se presenta la terminolog a que se utilizar a lo largo del cap tulo. Factores.

3 Son las condiciones del proceso que influencian la variable de respuesta. Estos pueden ser cuantitativos o cualitativos. Cap tulo 2 Metodolog a de SUPERFICIES de Respuesta 38 Respuesta. Es una cantidad medible cuyo valor se ve afectado al cambiar los niveles de los factores. El inter s principal es optimizar dicho valor. Funci n de respuesta. Al decir que un valor de respuesta Y depende de los niveles x1, x2.

4 Xk de k factores, 1, 2,.. k, estamos diciendo que existe una funci n matem tica de x1, x2, .. xk cuyo valor para una combinaci n dada de los niveles de los factores corresponde a Y, esto es Y=f(x1, x2, .. xk.). Funci n de respuesta predicha. La funci n de respuesta se puede representar con una ecuaci n polinomial. El xito en una investigaci n de una superficie de respuesta depende de que la respuesta se pueda ajustar a un polinomio de primer o segundo grado.

5 Supongamos que la funci n de respuesta para los niveles de dos factores se puede expresar utilizando un polinomio de primer grado: donde 0, 1, 2 son los coeficientes de regresi n a estimar, x1 y x2 representan los niveles de 1 y 2 respectivamente. Suponiendo que se recolectan N 3 valores de respuesta (Y), con los estimadores b0, b1 y b2 se obtienen 0, 1 y 2 respectivamente. Al remplazar los coeficientes de regresi n por sus estimadores obtenemos: 22110xxY ++=Cap tulo 2 Metodolog a de SUPERFICIES de Respuesta 39 donde Y denota el valor estimado de Y dado por x1 y x2.

6 Superficie de respuesta La relaci n Y=f(x1, x2,.. xk.) entre Y y los niveles de los k factores 1, 2,.. k representa una superficie. Con k factores la superficie est en k+1 dimensiones. Por ejemplo cuando se tiene Y=f(x1.) la superficie esta en dos dimensiones como se muestra en la figura (Cornell [12] (1990)), mientras que si tenemos Y=f(x1, x2.) la superficie est en tres dimensiones, esto se observa en la figura (Cornell [12] (1990)). Figura Superficie de respuesta en dos dimensiones Gr fica de contornos.

7 La gr fica de contornos facilita la visualizaci n de la forma de una superficie de respuesta en tres dimensiones. En sta las curvas de los valores iguales de respuesta se grafican en un plano donde los ejes coordenados representan los niveles de los factores. Cada curva representa un valor espec fico de la altura de la superficie, es decir un valor 22110 xbxbbY++=Cap tulo 2 Metodolog a de SUPERFICIES de Respuesta 40 espec fico de Y.

8 Esto se muestra en la figura (Cornell [12] 1990). Esta gr fica nos ayuda a enfocar nuestra atenci n en los niveles de los factores a los cuales ocurre un cambio en la altura de la superficie. Regi n experimental. La regi n experimental especifica la regi n de valores para los niveles de los factores. Esto se puede hacer empleando los niveles actuales de operaci n para cada factor; si se desea explorar el vecindario se incrementa y decrementa el valor del nivel en una cantidad determinada.

9 Figura Superficie de respuesta tridimensional Polinomio de primer orden. Generalmente se desconoce la relaci n entre la respuesta y las variables independientes, por ello requerimos un modelo que aproxime la relaci n funcional entre Y y las variables independientes. Este modelo provee las bases para un nuevo experimento Cap tulo 2 Metodolog a de SUPERFICIES de Respuesta 41 que nos lleva hacia un nuevo modelo y el ciclo se repite.

10 Si la respuesta se describe adecuadamente por una funci n lineal de las variables independientes se utiliza el modelo de primer orden (Cornell [12] (1990)): Figura Gr fica de contornos Los par metros del modelo se estiman mediante el m todo de m nimos cuadrados. Una vez que se tienen los estimadores se sustituyen en la ecuaci n y obtenemos el modelo ajustado (Cornell [12] (1990)): Este modelo se utiliza cuando queremos estudiar el comportamiento de la variable de respuesta nicamente en la regi n y cuando no conocemos la forma de la superficie.