Carte di controllo Le carte di controllo per variabili

1 controllo Statistico della Qualit P. Vicard CCaarrttee ddii ccoonnttrroolllloo ppeerr vvaarriiaabbiillii Le Carte di controllo per variabili Queste note NON sostituiscono il testo di riferimento ma sono finalizzate ad agevolare lo studio del testo stesso. controllo Statistico della Qualit P. Vicard 2 Le Carte di controllo per variabili si usano per monitorare un processo mediante caratteristiche continue (misurabili) della qualit del prodotto. In tale contesto, si tengono sotto controllo : la media (x) e la variabilit (misurata mediante il range R o la deviazione standard S). In particolare le Carte utilizzate sono carta x che rappresenta come la media x del processo cambia nel tempo.

2 (Infatti se la media si sposta dal valore normale allora si produrr una frazione pi elevata di non conformi) carta R, dove R il range (valore massimo valore minimo). Questa carta riflette la dispersione all interno del campione osservato. (Anche in questo caso, se la variabilit si sposta verso valori pi alti, pur rimanendo inalterata la media, aumenta la produzione di pezzi non conformi). Generalmente queste due Carte vengono usate contemporaneamente per tenere sotto controllo sia la media sia la variabilit del processo. Vediamo come si controllo Statistico della Qualit P. Vicard 3 Carta x Sia X la caratteristica quantitativa rilevata (si assume abbia distribuzione normale di media e deviazione standard ).

3 Generalmente i dati sono divisi in sottogruppi (piccoli campioni di numerosit compresa tra 2 e 10). Indichiamo con - m il numero dei campioni1 (ad es. relativi a m periodi di tempo) e - con n il numero di unit che compongono ogni singolo campione2. Per ognuno degli m campioni calcoliamo la media aritmetica m1,..,i nxxxni=++= 1 x ha distribuzione normale di media e deviazione standard x. e non sono note e quindi necessario stimarle. 1 Generalmente, se si nella fase I di applicazione delle Carte , allora m = 20 (o 25). 2 n generalmente molto piccola (4, 5, o 6). Ci giustificabile se si usano sottogruppi razionali oppure se il costo di campionamento e di ispezione per unit elevato.

4 controllo Statistico della Qualit P. Vicard 4 Stimiamo la media del processo calcolando la media generale (ovvero la media aritmetica delle m medie dei campioni) come segue mxxxm++= 1 La linea centrale data da x I limiti di controllo sono dati da LSC = x + A2 R LIC = x A2 R La costante A2 tabulata per diversi valori di n. Con R si vuole stimare la variabilit del processo. controllo Statistico della Qualit P. Vicard 5 Per calcolare R, si calcola R per ogni sottogruppo cos : R = valore massimo nel sottogruppo valore minimo nel sottogruppo. Quindi il range generale si calcola facendo la media aritmetica dei range dei sottogruppi mRRRm++= 1 Osservazione 1: i limiti superiore e inferiore corrispondono alla regola del +3 e 3.

5 Quindi questa carta di controllo come la carta R (che vediamo ora) denota se una variazione rilevante al punto di farci concludere che il processo fuori controllo . controllo Statistico della Qualit P. Vicard 6 Osservazione 2: la possibilit di usare il range3 per stimare deriva dal fatto che esiste ed nota la relazione che lega R e nel caso in cui la variabile X sia normale. In particolare per la stima di si ha 2 R d =4. Quindi i parametri della carta di controllo sono LSC = 233 xxRndn += + LIC = 233 xxRndn = Ossia A2 = 23dn 3 L uso del range legato a tempi precedenti in cui la potenza degli strumenti di calcolo era limitata e quindi si preferiva usare stimatori di facile calcolo.

6 Lo stimatore basato sul range meno efficiente ma per dimensione campionarie minori di 10 ha una performance accettabile e per questo continua ad essere utilizzato. 4 La costante d2 tabulata per diversi valori di n. controllo Statistico della Qualit P. Vicard 7La carta R necessaria per far individuare fonti straordinarie di variabilit . Abbiamo gi individuato tutti gli strumenti per costruire questa carta. La linea centrale data da R. I limiti di controllo sono dati da LSC = D4 R LIC = D3 R Le costanti D3 e D4 sono tabulate per diversi valori di n. LIC non va preso in considerazione quando la dimensione n dei sottogruppi minore di 7.

7 controllo Statistico della Qualit P. Vicard 8 Vediamo da dove derivano D3 e D4. Per costruire i limiti di controllo della carta R abbiamo bisogno di R. Sotto l ipotesi di normalit di X, sappiamo che il range relativo, W=R/ , ha deviazione standard d3 (funzione nota di n). Allora da R=W , segue che R= W = d3 non noto e lo stimiamo con 2 R d = quindi 32R d R d = LSC = 3322331 3 RdRR RdRdd +=+=+= D4 R LIC = 3322331 3 RdRR RdRdd = = = D3 R controllo Statistico della Qualit P. Vicard 9 Nota: i limiti di controllo per x e R cos calcolati andrebbero considerati come limiti di prova (in quanto non noti a priori e quindi calcolati nella cosiddetta fase I dell impiego delle Carte di controllo ).

8 I valori x e R degli m campioni usati vanno rappresentati sulla carta rispettiva per verificare se il processo era in stato di controllo quando sono stati presi gli m campioni. Se tutti i punti sono all interno dei limiti allora si pu concludere che il processo sotto controllo e i limiti (inferiore e superiore) possono essere usati per valutare la produzione futura (in fase II). controllo Statistico della Qualit P. Vicard 10 Se uno o pi di questi al di fuori dei limiti a) vanno esaminate le ragioni di tale situazione b) il dato (o i dati) corrispondenti vanno eliminati c) vanno ricalcolati i limiti escludendo i punti eliminati.

9 D) si deve verificare che i nuovi limiti di controllo siano tali da contenere i punti rimasti. Se ci non accade necessario procedere ad ulteriori esami fintantoch tutti i punti cadono tra i limiti di controllo . Se molti punti prova sono fuori controllo allora vuole dire che il campionamento di prova stato fatto in un periodo fuori controllo . controllo Statistico della Qualit P. Vicard 11 Esempio: supponiamo di avere monitorato per sei giorni (da sabato a gioved ) il peso in grammi di pezzi prodotti da un processo Giorno Osservazioni x R Sab. 22 19 20 3 Dom. 21 20 17 4 Lun. 16 17 18 17 2 Mar. 20 16 21 19 5 Mer. 23 20 20 21 3 Gio.

10 19 16 21 5 m = 6 n = 3 +++++=x +++++= controllo Statistico della Qualit P. Vicard 12 Le costanti sono5 A2 = D3 = 0 D4 = Carta x Carta R Valore centrale x = R = LIC = 0 LSC + = = = 5 Queste costanti sono tabulate e sono fornite in fondo al libro di testo. Quando le Carte vengono costruite con l ausilio di un software (ad es. Minitab), la procedura di calcolo stessa elebora i dati e usa le tavole implementate nel software. controllo Statistico della Qualit P. Vicard 13 6543211050 Sample NumberSample RangeR Chart for pesoR= Statistico della Qualit P.