CHAPITRE 03 : SYSTEMES RETICULES

1 Terminale G nie Civil M canique Syst me r ticul page 1/8 CHAPITRE 03 : SYSTEMES RETICULES I - DEFINITIONS ET TERMINOLOGIE. II - HYPOTHESES. III - COMPRESSION OU TRACTION DANS UNE BARRE. IV - CALCUL DES EFFORTS DANS LES BARRES D UN TREILLIS: 1) m thode d isolement des n uds (m thode analytique) 2) m thode de RITTER (m thode analytique) 3) m thode CREMONA (m thode graphique) V - APPLICATION Terminale G nie Civil M canique Syst me r ticul page 2/8 I - DEFINITIONS ET TERMINOLOGIE a) Treillis (ou syst me triangul ) : Assemblage de barres rectilignes qui forment un r seau de triangles ind formables. (Figure 1) Int r t : all ger les constructions, tout en assurant leur rigidit . b) Barres : dans le cas des treillis, ce sont des poutres en acier ou en bois (le b ton arm est tr s peu utilis cause de la fissuration). Selon leur position elles portent des noms diff rents (Figure 2) : On utilise souvent des barres sym triques ; des sections sym triques doubles ou des sections sym triques simples (Figure 3) : c) N uds : points de rencontre de plusieurs barres.

2 Les n uds sont constitu s par : clous, boulons, connecteurs pour les treillis en bois ; rivets, boulons, soudure (tubes) pour les treillis en acier. Figure 1: Diff rents types de syst mes triangul s Figure 2 : D nomination des barres Figure 3 : Exemples de section des barres Terminale G nie Civil M canique Syst me r ticul page 3/8 II - HYPOTHESES : le poids des barres est n glig devant les autres forces ; les n uds sont consid r s comme tant des articulations ; les efforts ext rieurs appliqu s au syst me r ticul sont contenus dans le plan du syst me et exclusivement appliqu s aux n uds de la structure (il n y a donc que des forces ponctuelles) ; Les lignes moyennes des barres sont suppos es tre dans un m me plan et concourantes aux n uds. III - COMPRESSION OU TRACTION DANS UNE BARRE : On peut d duire des hypoth ses pr c dentes qu une barre quelconque de la structure est en quilibre sous l effet des seuls efforts qui lui sont transmis par l interm diaire des n uds.

3 Ainsi, elle ne peut tre soumise qu deux efforts oppos s, port s par l axe de la barre : Deux cas sont possibles : OU F F B A F F B A Compression simple Traction simple P P P Terminale G nie Civil M canique Syst me r ticul page 4/8 IV - DETERMINATION DES EFFORTS DANS LES BARRES D UN TREILLIS: Objectif : calculer les efforts dans les barres d un syst me treillis et d terminer si celles - ci sont tendues ou comprim es. Nous tudierons 3 types de r solutions en nous appuyant sur un exemple simple pr sent ci-contre : 1 - M thode d isolement des n uds (m thode analytique). a) calculer les inconnues de liaisons ext rieures : Ax = 0 Ay = 10 kN By = 10 kN b) isolement du n ud A et application du : Sch ma du n ud isol sur le n ud A isol Sch ma r capitulatif F/ox = 0 : RAE + RAB Cos 45 = 0 F/oy = 0 : 10 + RAB Sin 45 = 0 On trouve : En appliquant le principe des actions mutuelles sur les barres AB et AE partir du n ud A, on d duit que : On applique ainsi la m thode, de proche en proche, chaque n uds, en utilisant le principe des actions mutuelles.

4 Remarque importante : il faut d s le d part choisir l ordre de r solution des n uds de fa on ne pas avoir plus de 2 inconnues chaque fois. 5,00 m 5,00 m B D E A C 10 kN 10 kN 2,50 m B D E A C 10 kN 10 kN 10 kN 10 kN RAE = + 10,00 kN RAB = 14,14 kN 45 RAB RAE 10 kN A 14,14 kN 10 kN 10 kN A Action de la barre AB sur le n ud A Action de la barre AE sur le n ud A B A Action du n ud A sur la 14,14 kN 14,14 kN A E Action du n ud A sur la barre AE 10 kN 10 kN barres intensit s (kN) sollicitations AB 14,14 compression AE + 10,00 traction BC BE CD ED CE AB est comprim e AE est tendue Terminale G nie Civil M canique Syst me r ticul page 5/8 2 - M thode de RITTER (m thode analytique). a) calculer les inconnues de liaisons (m me calcul que pour la m thode pr c dente). b) coupure fictive dans la structure et application du : On r alise une coupure fictive destin e faire appara tre des efforts voulus des barres : ici BC, AE et BE.

5 Ainsi l avantage de cette m thode r side dans le fait de pouvoir obtenir la valeur de l effort et l tat dans une barre sans pour autant r soudre tout le syst me. On crit ensuite que les efforts exerc s dans les barres coup es permettent l quilibre du tron on isol : Equilibre : F/ox = 0 : RAE + RBC + RBE Cos 45 = 0 F/oy = 0 : 10 10 RBE Sin 45 = 0 M/B = 0 : 10 2,50 + RAE 2,50 = 0 On se retrouve avec un syst me de trois quations et de trois inconnues, que l on peut r soudre : Les valeurs trouv es correspondent aux actions des barres sur les n uds. En dessinant l quilibre des barres et des n uds comme pr c demment, on retrouve les m mes r sultats. Question : O placeriez-vous la coupure imaginaire si l on vous demandait de d terminer l effort dans la barre AB ? RAE = + 10,00 kN RBE = 0 RBC = 10,00 kN B D E A C 10 kN 10 kN 10 kN 10 kN RBC RAE RBE Coupure fictive 2,50 m 2,50 m R ponse : Terminale G nie Civil M canique Syst me r ticul page 6/8 3 - M thode graphique : CREMONA.

6 A) calculer les inconnues de liaisons : Ax = 0; Ay = 10 kN; By = 10 kN b) num rotez les diff rentes zones : Sur la structure isol e, on num rote toutes les zones d limit es : soit par des efforts, soit par des barres. L ordre de num rotation des zones n as pas d importance, mais il ne faut surtout pas en oublier ! On d signe ainsi l effort Ay = 10 kN en A par le num ro des zones qu il s pare : soit ici 1 - 2 ou 2 - 1. Le choix 1 - 2 ou 2 - 1 va d pendre du sens de rotation choisi autour des n uds. On adoptera le sens suivant : En tournant autour de A dans le sens choisi, on passe de la zone 1 la zone 2, le sens 1 - 2 correspond au sens de la force Ay qui vaut 10 kN. Traduisons l quilibre du n ud A : la barre AE ou 2 - 5 est horizontale partir de 2 ; la barre AB ou 5 - 1 est 45 par rapport l horizontale partir de 1. On obtient ainsi la position du point 5 ; il suffit de lire la valeur des efforts dans les deux barres qui arrivent en A sur le polygone des forces : AE = (2 - 5) = 10 kN AB = (1 - 5) = 14,14 kN L astuce de CREMONA consiste tracer sur une seule figure les polygones relatifs aux diff rents n uds.

7 La lecture des efforts cherch s est ainsi imm diate. c) trac s des polygones relatifs aux diff rents n uds sur une seule figure : A 1 10 kN 2 1 10 kN 5 2 45 Polygone des forces sur le n ud A 6 1 5 4 2 7 3 B D E A C 10 kN 10 kN 10 kN 10 kN 1 2 3 4 5 6 7 Polygone des forces relatif l ensemble des n uds Terminale G nie Civil M canique Syst me r ticul page 7/8 d) utilisation du CREMONA : Le CREMONA que l on vient de tracer donne : la valeur de l effort dans la barre : on fait la lecture directement l chelle sur le polygone trac l chelle. le signe des efforts dans les barres : Prenons l exemple de la barre AB (ou encore 5-1 en tournant autour de A) ; sur le CREMONA, 5-1 est obtenu en dessinant de la droite vers la gauche (sens n gatif), cela traduit que la force dans la barre pousse le n ud A. Mais par quilibre du n ud, le n ud A pousse la barre. La barre AB est donc comprim e.

8 Tableau r capitulatif : Quelque soit la m thode utilis e (analytique ou graphique), il faudra conclure par un tableau r capitulatif du type suivant : barres intensit s (kN) sollicitations AB 14,14 compression BC 10,00 compression CD 14,14 compression ED + 10,00 traction AE + 10,00 traction BE 0 aucune CE 0 aucune B A Action du n ud A sur la barre AB 14,14 kN 14,14 kN Terminale G nie Civil M canique Syst me r ticul page 8/8 V - APPLICATION : Donn es : AG = GF = FE = BC = CD AB = BG = GC = CF = FD = DE P = 10 kN Travail demand : 1) Calculez les longueurs des diff rentes barres. 2) V rifiez l isostaticit du syst me. 3) Calculez les actions de liaisons en A et E. 4) Calculez la valeur de l effort dans la barre CF et d terminez son tat (compression ou traction) par la m thode de RITTER. 5) Calculez les valeurs des efforts et les tats dans toutes les autres barres par la m thode d isolement des n uds.

9 2,00 m 1,00 m P P P B C D A G F E