Chapitre 3 Term.S Étude de fonctions Limites et …

1 Chapitre 3 tude de fonctions Limites et continuit . Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACIT S ATTENDUES COMMENTAIRES. Limites de fonctions Le travail r alis sur les suites est tendu aux fonctions , sans limite finie ou infinie d'une formalisation excessive. fonction l'infini. limite infinie d'une fonction L'objectif essentiel est de permettre aux l ves de s'approprier le en un point. D terminer la limite d'une somme, concept de limite , tout en leur donnant les techniques de base pour d'un produit, d'un quotient ou d'une d terminer des Limites dans les exemples rencontr s en terminale. limite d'une somme, d'un compos e de deux fonctions . produit, d'un quotient ou d'une D terminer des Limites par La compos e de deux fonctions est rencontr e cette occasion, mais compos e de deux fonctions .

2 Minoration, majoration et sans th orie g n rale. encadrement. Asymptote parall le l'un des axes de coordonn es. Interpr ter graphiquement les Limites obtenues. Continuit sur un intervalle. Exploiter le th or me des valeurs On se limite une approche intuitive de la continuit et on admet que Th or me des valeurs interm diaires dans le cas o la les fonctions usuelles sont continues par intervalle. interm diaires fonction est strictement monotone, On pr sente quelques exemples de fonctions non continues, en pour r soudre un probl me donn . particulier issus de situations concr tes. Le th or me des valeurs interm diaires est admis. On convient que les fl ches obliques d'un tableau de variation traduisent la continuit et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle consid r.

3 On admet qu'une fonction d rivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. Ce cas particulier est tendu au cas o f est d finie sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, born ou non, les Limites de f aux bornes de l'intervalle tant suppos es connues. (AP) Des activit s algorithmiques sont r alis es dans le cadre de la recherche de solutions de l' quation f (x) = k . I. limite d'une fonction l'infini ) limite finie d'une fonction l'infini D finition 1. : Soit f une fonction d finie sur un intervalle de la forme ] a ;+ [ et L un nombre r el donn . On dit que f (x) tend vers L quand x tend vers + lorsque : f (x) devient assez proche de L lorsque x est suffisamment grand . On crit alors xlim + . f ( x)= L . Autrement dit : D finition 1bis. : Soit f une fonction d finie sur un intervalle de la forme ] a ;+ [ et L un nombre r el donn.

4 On dit que f (x) tend vers L quand x tend vers + lorsque : tout intervalle ouvert ] a ; b [ contenant L, contient toutes les valeurs f (x), pour tout x sup rieur un certain r el A > 0 . Cette d finition peut s' crire, en choisissant des intervalles ouverts centr s en L et de rayon e > 0, aussi petit qu'on veut ; c'est- -dire : Pour tout nombre r el e > 0 (aussi petit soi-il), il existe un r el A > 0 telle que [si x > A, alors L e < f(x) < L + e ]. : Limites et continuit Abdellatif ABOUHAZIM. Lyc e Fustel de Coulanges - Massy Page 1/12. Illustration graphique : lim 2+. x + . [ ] 1. x =2. 1 1 1. Limites de r f rence : (1) lim =0 ; (2) lim k =0 k > 0 et (3) lim =0. x + x x + x x + x D'une mani re analogue, on peut noncer la limite finie d'une fonction lorsque x tend vers . Nous obtenons les m mes Limites de r f rence (1) et (2) , bien s r.

5 Asymptote horizontale : D finition 2. : Soit f une fonction d finie sur un intervalle de la forme ] a ;+ [. (resp. ] ;a [ ). Si f admet une limite finie L , lorsque x tend vers + (resp. ), on dit que la droite d' quation y = L est une asymptote horizontale la courbe de f vers + (resp. ). ) limite infinie d'une fonction l'infini D finition 1. : Soit f une fonction d finie sur un intervalle de la forme ] a ;+ [ . On dit que f (x) tend vers + quand x tend vers + lorsque : f (x) devient aussi grand que l'on veut lorsque x devient suffisamment grand . On crit alors : lim f ( x)=+ . x + . Autrement dit : D finition 1bis. : Soit f une fonction d finie sur un intervalle de la forme ] a ;+ [ . On dit que f (x) tend vers + quand x tend vers + lorsque : tout intervalle de la forme ] M ;+ [ contient toutes les valeurs f (x) pour tout x sup rieur un certain r el A > 0.

6 Cette d finition peut encore s' crire : Pour tout nombre r el M > 0 (aussi grand soit- il), il existe un nombre r el A > 0 tel que [si x >A , alors f (x) > M ]. Illustration graphique : f (x)=2 x , lim f ( x)=+ . x + . : Limites et continuit Abdellatif ABOUHAZIM. Lyc e Fustel de Coulanges - Massy Page 2/12. Limites de r f rence : (1) xlim x=+ ; (2) lim x k =+ k > 0 et (3) lim x=+ . + x + x + . D'une mani re analogue, nous pouvons crire une d finition de la limite d'une fonction, gale , lorsque x tend vers + : D finition 2. : Soit f une fonction d finie sur un intervalle de la forme ] a ;+ [ . On dit que f (x) tend vers quand x tend vers + lorsque : f (x) devient n gatif et aussi grand que l'on veut, en valeur absolue, lorsque x devient suffisamment grand . On crit alors xlim +.

7 F ( x)= . Autrement dit : D finition 2bis. : Soit f une fonction d finie sur un intervalle de la forme ] a ;+ [ . On dit que f (x) tend vers quand x tend vers + lorsque : tout intervalle de la forme ] ; M [ contient toutes les valeurs f (x) pour tout x sup rieur un certain r el A > 0 . Cette d finition peut encore s' crire : Pour tout nombre r el M < 0 (aussi grand soit- il), il existe un nombre r el A > 0 tel que [si x >A , alors f (x) < M ]. Exemple : f (x)= 2 x 2 , xlim + . f ( x)= . De m me, nous pouvons crire une d finition de la limite d'une fonction, gale . , lorsque x tend vers : Exemple : f (x)=2 x 2+1 , xlim . f (x )=+ . II. limite d'une fonction en un point ) Que signifie x a ? a) Que signifie x 0 ? Cela signifie que x est suffisamment proche de 0 ou encore que x est situ au voisinage de 0 et x prend successivement des valeurs de plus en plus proches de 0.

8 Mais comment ? Il y a une infinit de mani res. : Limites et continuit Abdellatif ABOUHAZIM. Lyc e Fustel de Coulanges - Massy Page 3/12. Mais, on distingue essentiellement deux mani res principales de tendre vers 0 : x peut tendre vers 0 en prenant des valeurs positives, on crit que x 0+ . et on lit x tend vers 0 par valeurs positives ou x tend vers 0 par valeurs sup rieures ou encore x tend vers 0 droite .. x peut tendre vers 0 en prenant des valeurs n gatives, on crit que x 0 . et on lit x tend vers 0 par valeurs n gatives ou x tend vers 0 par valeurs inf rieures ou encore x tend vers 0 gauche . b) Que signifie x a ? Cela signifie que x prend successivement des valeurs de plus en plus proches de a. Ce qui peut se traduire par (x a) 0 . Comme pour 0, on distingue deux mani res principales de tendre vers a : x tend vers a en prenant des valeurs sup rieures a, on crit que x a + et on lit x tend vers a par valeurs sup rieures ou x tend vers a droite.

9 [ x a+ ] ssi [( x a) 0 et x>a ] ssi [( x a) 0 et x a>0 ]. x tend vers a en prenant des valeurs inf rieures a, on crit que x a et on lit x tend vers a par valeurs inf rieures ou x tend vers a gauche . [ x a ] ssi [( x a) 0 et x<a ] ssi [( x a) 0 et x a<0 ]. ) limite finie d'une fonction en un point D finition 1. : Soit f une fonction d finie sur un intervalle I de , a I et L un nombre r el donn . On dit que f (x) tend vers L quand x tend vers a lorsque : f (x) devient aussi proche de L que l'on veut lorsque x est suffisamment proche de a . On crit alors lim f (x)= L . x a Autrement dit : D finition 1bis. : Soit f une fonction d finie sur un intervalle I de , a I et L un nombre r el donn . On dit que f (x) tend vers L quand x tend vers a lorsque : tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f (x) lorsque x est suffisamment proche de a.

10 Cette d finition peut encore s' crire, en choisissant des intervalles ouverts centr s en L. et de rayon e > 0, aussi petit qu'on veut ; c'est- -dire : Pour tout nombre r el e > 0 (aussi petit soi-il), il existe un r el a > 0 tel que : pour tout x I : [si a a < x < a + a , alors L e < f (x) < L + e ]. Autrement dit : [si x est suffisamment proche de a , alors f (x) est suffisamment proche de L .]. On s' loigne du programme .. : Limites et continuit Abdellatif ABOUHAZIM. Lyc e Fustel de Coulanges - Massy Page 4/12. Exemple de r f rence : Th or me fondamental : Soit P une fonction polyn me d finie sur et a I . Alors, les Limites de P(x) droite et gauche de a sont identiques et : lim P (x)= P(a). x a Exemple : Soit P la fonction polyn me d finie sur par : P (x )=3 x 2 5 x+7. lim P( x)= P( 0)=3 02 5 0+7=7 donc lim P( x)=7.