Chapitre 4.9 – Le champ magnétique généré par un solénoïde

1 Chapitre Le champ magn tique g n r . par un sol no de champ de deux boucles espac es Si l'on courbe notre ligne de courant en cercle, on peut d finir l'orientation du champ magn tique l'aide de la r gle de la main droite. Consid rons les deux anneaux portant des courants de m me intensit et de m me sens. Si l'on tudie la forme du champ magn tique produit par les points 1 et 2, on r alise que le champ magn tique provient de deux courants parall les de sens identique. Nous avons d j r solu ce probl me. De plus, si l'on tudie la forme du champ magn tique produit par les points 1 et 3, on r alise que le champ magn tique provient d'une spire unique. Nous avons galement d j r solu ce probl me.

2 Ainsi, on peut d duire la forme compl te du champ magn tique autour de deux spires. R f rence : Marc S guin, Physique XXI Volume B Page 1. Note de cours r dig e par : Simon V zina champ d'un sol no de D finition : Un sol no de est un enroulement d'un fil conducteur formant plusieurs spires parall les. Le sol no de repr sente ainsi une s quence de bobine. Si l'enroulement n'est pas trop serr , on retrouve la forme d'un champ magn tique produits par deux spires tel que d crit la section pr c dente. Si l'enroulement est tr s compact, le champ magn tique autour de chaque fil devient nul puisque les courants sont tr s pr s les uns des autres. L'addition vectorielle du champ magn tique autour de chaque fil est donc nulle.

3 On remarque ici que le sol no de parcouru d'un courant produit un champ magn tique de la m me forme qu'un aimant (avec p le nord et p le sud). Ainsi, le sol no de devient un lectro-aimant. champ magn tique sur l'axe central d'un sol no de Le module du champ magn tique g n r sur l'axe central d'un sol no de d pend du courant I circulant dans le sol no de et de la densit de spires n. De plus, le module d pend de la distance entre le point P et le sol no de et la taille du sol no de le tout repr sent l'aide de deux angle 1 et 2 : I. 0 n I 1. B= cos( 2 ) cos( 1 ) P. 2 2 B. o B : champ magn tique sur l'axe centrale au point P (T). C t 2 C t 1. n : Nombre de spires par unit de longueur ( n = N / L ).

4 L. I : Courant lectrique (A). 1 : Angle pour positionner C t 1 par rapport au point P. 2 : Angle pour positionner C t 2 par rapport au point P. 0 : Constante magn tique, 0 = 4 10 7 Ns 2 / C 2. R f rence : Marc S guin, Physique XXI Volume B Page 2. Note de cours r dig e par : Simon V zina Preuve : Afin d' valuer le champ magn tique g n r par un sol no de, utilisons la solution du champ magn tique g n r par une bobine de largeur L: I. champ magn tique g n r a P.. par une bobine : B. 0 I. B=N sin 3 ( ). 2R. L. Puisqu'un sol no de est un regroupement de plusieurs bobines plac c te c te, nous allons d couper notre sol no de en plusieurs petites tranches de largeur dx comprenant une densit de spires n.

5 Ces tranches repr sentent des bobines form es l'aide d'un nombre infinit simal de spires dN = n dx . On pourra remplacer dans notre formule pr c dente le N. par dN : champ magn tique infinit simal : x v I. dB = dN 0 sin 3 ( ) n I R. 2R. P . et dN = n dx v v dB. n = i (r gle main droite). dx Puisque l'angle est une fonction de x, valuons l'int grale sur l'angle (car la solution est exprim en fonction de 1 et 2 ) ce qui nous oblige introduire des relations trigonom trique entre x et : R R. tan ( ) = x= (Isoler x). x tan ( ). R sec 2 ( ) 2. dx = d (D riv e : d (1 / tan ( x )) = sec 2 (x ) ). tan 2 ( ) dx tan ( x ). dx =. (. R 1 / cos 2 ( )) d ( sec(x ) = 1 / cos(x ) , tan ( x ) = sin ( x ) / cos( x ) ).

6 (sin 2 ( ) / cos 2 ( )). R d . dx = (Simplifier). sin 2 ( ). R f rence : Marc S guin, Physique XXI Volume B Page 3. Note de cours r dig e par : Simon V zina valuons l'aide d'une sommation x continue de champs magn tiques v infinit simaux dB le champ magn tique I R. total au point P en se basant sur le sch ma P . ci-contre : v dB. dN = n dx R d . dx = dx sin 2 ( ). v v I. n = i (r gle main droite) dB = dN 0 sin 3 ( ) n . 2R. Ainsi : v v v I v I. B = dB B = dN 0 sin 3 ( ) n (Remplacer dB = dN 0 sin 3 ( ) n ). 2R 2R. v I v B = (n dx ) 0 sin 3 ( ) (i ) (Remplacer dN et n ). 2R. v nI v B = 0 sin 3 ( ) dx i (Factoriser les constantes). 2R. v nI Rd v B = 0 sin 3 ( ) 2.

7 I (Remplacer dx). 2R sin ( ) . v nI v B = 0 sin ( ) d i (Simplifier et factoriser consantes). 2.. v 0 n I 2 v 2 = 1. B= sin ( ) d i (Borne : = 1 2 ). v nI v B = 0 [ cos( )] 12 i (R soudre l'int grale : sin ( x )dx = cos( x ) ). 2. v nI v B = 0 [cos( )] 12 i (Factoriser signe n gatif). 2. v nI v B = 0 (cos( 2 ) cos( 1 )) i ( valuer l'int grale). 2. 0n I. B= cos( 2 ) cos( 1 ) ( valuer seulement le module du champ B). 2. R f rence : Marc S guin, Physique XXI Volume B Page 4. Note de cours r dig e par : Simon V zina Situation A : Dans un sol no de. Un sol no de de 10 000 tours poss de une longueur de 20 cm et un rayon de 5 cm. La r sistance totale du fil utilis pour produire l'enroulement est de 2.

8 On branche ce sol no de une pile de 0,5 V. On d sire valuer le module du champ magn tique produit 5 cm du centre du sol no de. valuons le courant lectrique qui circule dans le sol no de : (Loi d'Ohm). V. V = R I I=. R. I=. (0,5). (2). I = 0,25 A. Sch ma des mesures des angles : C t 1 2 C t 2. 1. P. 5 cm 5 cm 15 cm Nous avons les informations suivantes selon la g om trie du probl me : Courant circulant dans le fil : I = 0,25 A. N (10 000 ). Densit de spire : n= = n = 50 000 m -1. L (0,20). Angle 1 : tan ( 1 ) =. (5) 1 = 45 . (5). Angle 2 : tan ( ) =. (5) = 18,43 . (15). 2 = 161,6 . valuons le module du champ magn tique au point P : B=. 0 n I. cos( 2 ) cos( 1 ) B=.

9 (4 10 )(50 000)(0,25) cos(161,6 ) cos(45 ). 7. 2 2. B = 7,85 10 3 1,656. B = 1,30 10 2 T. R f rence : Marc S guin, Physique XXI Volume B Page 5. Note de cours r dig e par : Simon V zina Exercice La superposition des champs magn tiques de deux sol no des. Le sch ma ci- dessous illustre un montage qui comporte deux sol no des, A (13 tours) et B (7 tours). Les fils qui forment les sol no des ont un rayon de 1 mm et sont faits d'un mat riau dont la r sistivit est gale 2 10 6 m . (a) Calculez la r sistance des fils des sol no des A. et B. (b) Calculez le champ magn tique g n r au point P par le montage des deux sol no des. Dans tous les calculs, n gligez les segments de fils qui servent de connexion entre les piles et les sol no des.

10 10 cm y x 25 cm 12 V. A 25 cm 10 cm B. P 10 cm 15 cm 10 V. Solution La superposition des champs magn tiques de deux sol no des. valuons les param tres g om triques du sol no de A et B : Rayon fil : R = 1 mm = 0,001 m R sistivit fil : = 2 10 6 m Circonf rence fil A : C A = D A = (0,1) = 0,314 m Circonf rence fil B : C B = D B = (0,1) = 0,314 m 2. Surface circulaire A et B : A = R 2 = (0,001) = 3,141 10 6 m 2. Supposons que la longueur du fil sur le sol no de est compt e de la fa on suivante : l = N C. R f rence : Marc S guin, Physique XXI Volume B Page 6. Note de cours r dig e par : Simon V zina Voici la longueur du fil composant le sol no de A et B : N A = 13 spires l A = N A C A = (13)(0,314) l A = 4,082 m N B = 7 spires l B = N B C B = (7 )(0,314) l B = 2,198 m (a) valuons la r sistance des fils des sol no des avec la formule de la r sistivit : R=.