CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES - …

1 PRIMITIVES et int grales Cours G rard Hirsch Maths54 1 CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES 1. PRIMITIVES d une fonction D finition Soit f une fonction d finie sur un intervalle I. Une fonction F est une primitive de f sur I, si et seulement si, elle est d rivable sur I et pour tout x de I, '( )( )Fx fx= Exemple La fonction :103fxx+a admet pour primitive sur R la fonction 2:53 Fxxx+a f admet aussi la fonction 21:532Fx x x++a pour primitive sur R; en effet 1'( )'( )( ) 103Fx F x fxx===+ Th or me Toute fonction continue sur un intervalle I admet des PRIMITIVES sur I Th or me Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I Toute primitive de f sur I est de la forme :()Gx Fx C+a o C est une constante r elle D monstration G est d rivable sur I et ''GFf== PRIMITIVES et int grales Cours G rard Hirsch Maths54 2 Donc, ,'() '()()'()0xI Gx Fx GF x = = Puisque ()'0GF = sur I, alors d apr s un th or me du CHAPITRE d rivation GF C = o C est une constante r elle Par cons quent : ,() ()xIGx FxC = + Interpr tation graphique.

2 Les courbes repr sentatives des fonctions PRIMITIVES de f se d duisent les unes des autres par les translations de vecteur Cjr avec C R Exemple Soit f la fonction d finie sur R par : 432()253 5fxx x x x= ++ D terminer les PRIMITIVES F de f sur R. f est une fonction polyn me, donc f est continue sur R et elle admet des PRIMITIVES sur R. D apr s le tableau des PRIMITIVES usuelles, les fonctions : 432,,,,1xx xx xx xxxaaaaa admettent respectivement pour PRIMITIVES les fonctions : 5432,,,,5432xxxxxxxxxxaaaaa La fonction f admet pour PRIMITIVES sur R les fonctions F : 543253()5,523 2xxFxxxx C o C= + + + R Exemple Soit f la fonction d finie sur R par : () cos4 3sin2 cosfxxxx= + D terminer les PRIMITIVES F de f sur R. La fonction f est continue sur R et elle admet des PRIMITIVES sur R.

3 D apr s le tableau des PRIMITIVES usuelles, les fonctions : cos 4 ,sin 2 ,cosxxxxxxaaa admettent respectivement pour PRIMITIVES les fonctions : PRIMITIVES et int grales Cours G rard Hirsch Maths54 3 11sin 4 ,cos 2 ,sin42xxxxxx aa a La fonction f admet pour PRIMITIVES sur R les fonctions F : 13( )sin 4cos 2sin,42 Fxxxx C o C=+++ R 2. Primitive prenant une valeur donn e en un point donn Th or me Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit 0x un r el appartenant I et 0y un r el quelconque. Alors, il existe une primitive F de f, et une seule, telle que ()00 Fxy= D monstration Soit F une primitive de f sur I, alors d apr s le th or me pr c dent, toute primitive de f sur I est une fonction G de la forme :()GxF xC avec C+ aR La condition 00()Gxy= donne 0000()()FxCyou encore CyFx+== Puisque nous avons trouv une valeur et une seule de C, il existe donc une primitive et une seule de f sur I telle que ()00 Fxy=, soit la fonction 00:() ()Fx Fx y Fx+ a Interpr tation graphique Parmi toutes les courbes repr sentant les PRIMITIVES de f sur I, il en existe une et une seule passant par le point de coordonn es 00(, )xy Exemple Soit f la fonction d finie sur R par : 2.

4 32fx x x +a D terminer la primitive F de f sur R qui s annule en 1 PRIMITIVES et int grales Cours G rard Hirsch Maths54 4L ensemble des PRIMITIVES de f sur R sont les fonctions 323()232xF xxx C avec C= ++ R La condition (1)0F= impose 13(1)2032FC= ++= soit 1352326C= + = La primitive de f qui s annule pour 1x= est la fonction 3235()2326xFxxx= + Exemple Soit f la fonction d finie sur R par : :sin 2fxxa D terminer la primitive F de f sur R qui prend la valeur 1 pour 2x = L ensemble des PRIMITIVES de f sur R sont les fonctions 1()cos22F xx C avec C= + R La condition () 12F = impose 1()cos122FC = + = soit 1cos12 Cpuisque= = La primitive de f qui prend la valeur 1 pour 2x = est la fonction 11()cos222 Fxx= + PRIMITIVES et int grales Cours G rard Hirsch Maths54 53.

5 PRIMITIVES des fonctions usuelles La lecture l envers du tableau donnant les fonctions d riv es des fonctions usuelles permet de dresser un premier tableau de PRIMITIVES usuelles. ][ ][][12 FonctionPrimitiveSurd finie par( )o a est une constante( ),(),1()11(),0,,01()() 2,0,() sin()cos,() cos(nnfFde fIfx aFx ax C CIfx xxCCInnfxCCIouIxxfxFxx CCIxfxxFxx CCIfxxF+ ==+ ==+ =+ =+ =+ = ==+ =+ == + ==RRRRNRRRR22)sin,1() 1 tan() tan,,,cos22xxCCIfxxFxx C CInn nx=+ = =+ == + = + + RRRN 4. Op rations sur les PRIMITIVES Propri t Si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I alors: FG+ est une primitive de fg+ sur I k R , kF est une primitive de kf sur I Le tableau suivant d coule des r gles de d rivation des fonctions. u d signe une fonction d rivable sur un intervalle I PRIMITIVES et int grales Cours G rard Hirsch Maths54 6()()()121Pr1'(),1'1,0'2,011(,2),01nnnnF onction fimitives F sur IIuu nuC CnuC CxI avec u xuuuu C CxI avec u xuunnC CxI avec u xunu + + + + + > + NRRRRNR Exemple D terminer les PRIMITIVES de la fonction 23:(1)fxx x+a sur R La fonction f est continue sur R, l int grale existe Posons 2() 1uxx=+ alors '( )2uxx= et 31()'() ()2fxuxux= Les fonctions F d finies sur R par 424111().

6 ()(1)248 Fxu x CxCavecC=+= + + R sont les PRIMITIVES de f sur R. Exemple D terminer les PRIMITIVES de la fonction 2sin:cosxfxxasur ,22I = Sur ,22I = , le cosinus ne s annule pas et la fonction f est continue sur cet intervalle Posons () cosuxx= alors '( )sinuxx= et 2'( )()()uxfxux= Les fonctions F d finies sur ,22I = par 11()()cosF xCC avec Cuxx=+= + R sont les PRIMITIVES de f sur I. Exemple D terminer les PRIMITIVES de la fonction 1:35fxx+asur 5,3I = + PRIMITIVES et int grales Cours G rard Hirsch Maths54 7 Sur 5,3I = + , (35) 0x+> et la fonction f est continue sur cet intervalle Posons () 3 5uxx=+ alors '( )3ux= et 1'()()3()uxfxux= Les fonctions F d finies sur 5,3I = + par 12().2 ()3 533F xu xCxC avec C=+=++ R sont les PRIMITIVES de f sur 5,3I = +.

7 5. D finition d une int grale Soient f une fonction d finie sur un intervalle I et F une de ces PRIMITIVES , soient a et b deux points de I. La quantit ()()Fb Fa (encore not e []()baFx) est appel e int grale de f entre a et b et est not e ()bafxdx ()bafxdx se lit somme de a b de f (ou de f(x)dx) Attention l ordre de a et de b est important Le nombre a est appel borne inf rieure et b la borne sup rieure de l int grale. []()()()()babafxdx FxFb Fa== Remarque 1) la variable x apparaissant dans l int grale est une variable muette, on peut aussi crire : ()( )bbaaftdtoufd PRIMITIVES et int grales Cours G rard Hirsch Maths54 82) En faisant ( )0aaabalorsf x dx== 3) Le r sultat du calcul d une int grale ne d pend pas de la primitive choisie En effet si 1 FetF sont deux PRIMITIVES de f, alors elles diff rent d une constante 1 FFCavecC=+ R et [][]()()[]1()()()()()()()bbbaaaFxFx CFb CFa C Fb FaFx=+=+ += = En pratique, pour la plupart des exemples, on ne tient pas compte de la constante d int gration.

8 Exemple Calculer l int grale 212(23)xdx + L int grale existe puisque la fonction 2() 23fxx=+ est continue sur []1, 2 La fonction f admet pour primitive la fonction 32F(x)=33xx+ sur []1, 2 (On prend la plupart du temps la primitive ne faisant pas appara tre la constante r elle C) et donc 2122312162(23)(2)( 1)36315333xdxFFxx += = + =+ = Exemple Calculer l int grale 102(1)xdx La fonction 2:(1)fxx a est continue sur []0,1, l int grale existe D veloppons le carr : 21/2(1) 21 2 1xxxxx = += + Une primitive de f est la fonction 23/2234()232232xxxFxxx x= += + (On prend la plupart du temps la primitive ne faisant pas appara tre la constante r elle C) Alors 10122304141(1)(1)(0)13236xdxFF x xx = = += += PRIMITIVES et int grales Cours G rard Hirsch Maths54 9 6. Int grale et aire.

9 Soit (C) la courbe repr sentative de la fonction f dans un rep re orthogonal. D est la r gion du plan d limit par (C), l axe des abscisses et les droites d quation .xaet x b== L unit d aire est l aire du rectangle engendr par le rep re choisi. Th or me Cas d une fonction positive Si f est une fonction continue et positive sur l intervalla [],ab, l aire de D , mesur e en unit s d aire, est gale ( )bafxdx PRIMITIVES et int grales Cours G rard Hirsch Maths54 10()bafxdx =Aire (D) Corollaire Cas d une fonction n gative Si f est une fonction continue et n gative sur l intervalle [],ab, l aire de D , mesur e en unit s d aire, est gale ( )bafxdx ()bafxdx= Aire (D) Cas d une fonction de signe quelconque Si f est une fonction continue et de signe quelconque sur l intervalle [],ab, l aire de D, mesur e en unit s d aire, est gale la somme des aires des domaines situ s au-dessus de l axe des abscisses, diminu de la somme des aires des domaines situ s au-dessous de l axe des abscisses PRIMITIVES et int grales Cours G rard Hirsch Maths54 11 ()cafxdx =Aire (1D), ( )dcfxdx = Aire (2D) et ( )bdfxdx =Aire(3D) on a donc ()bafxdx = Aire (1D)23()()Aire DAire D + Exemple Dans un rep re orthonormal d unit graphique 2 cm, on consid re la partie D du plan d limit e par l axe des abscisses, l arc de courbe d quation (1)( 4)

10 Yxx x= avec 14x Calculer l aire du domaine D Une unit d aire est gale 24cm Sur l intervalle []1, 4, la fonction () ( 1)( 4)fx xxx= est continue et n gative. L aire du domaine D est gale Aire(D)=441132(1)( 4)(5 4)xxxdxxxxdx = + Soit ()443215211,25'43xxAire Dxunit s d aire = + = =2211, 25 445xcmcm= PRIMITIVES et int grales Cours G rard Hirsch Maths54 12