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CINÉTICA DEL CUERPO RÍGIDO - Monografias.com

CIN TICA DEL CUERPO R GIDO Autor : Oscar Guerrero Miramontes Indice general1. Introducci Problema a Resolver .. Proyecto .. Justificaci on .. Objetivo del Proyecto .. Objetivo General .. Objetivos Espec ficos ..32. Marco Te Definici on de un CUERPO R gido .. Rotaci on y Traslaci on de un CUERPO R gido .. Cinem atica Inversa .. Cinem atica Directa .. El Problema Cinematico Directo: ..63. Metodolog Manipulador en el Plano .. Animaci on del Manipulador en el Plano .. Ejemplos de Cinem atica Inversa .. Ejemplos de Generaci on de Trayectorias .. Aplicaci on de los par ametros DH .. Animaci on Cinem atica Inversa ..164. An alisis de Resultados185. Conclusiones22 Bibliograf a23Ap endices23IA. Cinem atica del S olido R Coordenadas Independientes de un S olido R gido .. Transformaciones Ortogonales .. Momento Angular y Energ a Cin etica Alrededor de un Punto .. Propiedades Formales de la Matriz de Transformaci on.

4.3. Posicion de la uniones en funci´ on del tiempo se observa que s´ olo´ la union tres contribuy´ o en la generaci´ on del movimiento . . . .´ 19

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1 CIN TICA DEL CUERPO R GIDO Autor : Oscar Guerrero Miramontes Indice general1. Introducci Problema a Resolver .. Proyecto .. Justificaci on .. Objetivo del Proyecto .. Objetivo General .. Objetivos Espec ficos ..32. Marco Te Definici on de un CUERPO R gido .. Rotaci on y Traslaci on de un CUERPO R gido .. Cinem atica Inversa .. Cinem atica Directa .. El Problema Cinematico Directo: ..63. Metodolog Manipulador en el Plano .. Animaci on del Manipulador en el Plano .. Ejemplos de Cinem atica Inversa .. Ejemplos de Generaci on de Trayectorias .. Aplicaci on de los par ametros DH .. Animaci on Cinem atica Inversa ..164. An alisis de Resultados185. Conclusiones22 Bibliograf a23Ap endices23IA. Cinem atica del S olido R Coordenadas Independientes de un S olido R gido .. Transformaciones Ortogonales .. Momento Angular y Energ a Cin etica Alrededor de un Punto .. Propiedades Formales de la Matriz de Transformaci on.

2 33B. Transformaciones R Rotaciones y Traslaciones en 2D .. Movimiento de los Cuerpos R gidos en 2D .. Centro de Rotaci on .. Rotaci on en 3D .. Angulos de Euler .. Movimiento de los Cuerpos R gidos en 3D ..49C. Introducci on a la Rob Manipuladores en Serie .. Manipuladores en Paralelo .. Anatom a del Robot .. Uniones .. Cinem atica Directa de Manipuladores .. 3R Mu nequera .. Par ametros de Denavit Hartenberg .. Aplicaci on de los Par ametros de DH a un Manipulador .. Cinem atica Inversa de Manipuladores .. Jacobiano .. M etodos Num ericos .. Ejemplos ..66D. Generaci on de Aproximaciones Lineales .. Aproximaciones Polinomiales ..69E. Listado de C odigo Fuente71F. Lista de Funciones ofrece MATLAB .. Informaci on Referente ActionScript .. Estructura ..75II Indice de La figura en la izquierda muestra el manipulador despu es de latransformaci on, la figura de la derecha muestra al manipuladoren su configuraci on base.

3 Geometr a del manipulador en el plano.. Animaci on manipulador en el plano usando las matrices de trans-formaci on homog eneas.. La configuraci on de los enlaces que localiza al efector final en suposici on base se muestra por el punto rojo y con un punto azul laconfiguraci on en ( ,0).. La imagen (a) muestra la configuraci on del robot donde el efectorfinal se encuentra en su posici on base y la imagen (b) muestra laconfiguraci on del robot donde el efector final se encuentra en elpunto p(1,0,2).. Posici on de la uniones en funci on del tiempo se observ o que s olola uni on tres contribuy o en la generaci on del movimiento.. La imagen muestra la configuraci on del efector final en el puntoP1= ( , , ). Con una l nea azul la trayecto-ria dePoaP1.. Movimiento realizado por las uniones en funci on del tiempo paramover el manipulador de la figura ( ) dePoap1.. Localizaci on de la Posici on el punto azul en funci on del eje dereferencia inm ovil l nea naranja.

4 Dos enlaces .. Configuraci on del efector final en su posici on base se muestrapor el punto rojo y la configuraci on despu es en el punto ( ,0)en azul.. La imagen (a) muestra la configuraci on del robot donde el efectorfinal se encuentra en su posici on base y la imagen (b) muestra laconfiguraci on del robot donde el efector final se encuentra en elpunto p(1,0,2).. Posici on de la uniones en funci on del tiempo se observa que s olola uni on tres contribuy o en la generaci on del movimiento .. La imagen muestra la configuraci on del effector final en el puntoP1= ( , , ). Con una l nea azul la trayecto-ria dePoaP1.. Posici on y velocidad de las uniones en funci on del tiempo .. Animaci on una cadena denenlaces.. Grados de libertad un s olido r gido.. Angulos Euler diagrama.. Encontrando el angulo de rotaci on.. Genealog a.. Uniones.. Ejes de coordenada diferente origen.. Enlace arbitrario con uniones en su terminaciones.. Robot basado en los parametros DH del cuadro.

5 Aproximaci on una funci on usando una interpolaci on lineal.. Valor de los par ametros.. Definir la Matriz K en Mathematica.. Sistema de Ecuaciones no lineales.. Uso de la funci on FindRoot.. C odigo en ActionScript para animar una cadena denenlaces..72 IVCap tulo 1 Introducci onEste proyecto tiene como prop osito describir la trayectoria que sigue un con-junto de cuerpos r gidos unidos entre s y con algunos de sus extremos fijos, altrasladarse de un punto a otro en una regi on del espacio. Se planter an las ecua-ciones del movimiento usando la cinem atica del CUERPO r gido y se usar a el m eto-do de Newton-Rapshon para la soluci on num erica de las ecuaciones cinem aticasno mec anica el movimiento es un fen omeno f sico que se define como todo cam-bio de posici on que experimentan los cuerpos de un sistema, o conjunto, en elespacio con respecto a ellos mismos o con arreglo a otro CUERPO que sirve dereferencia. Todo CUERPO en movimiento describe una parte de la f sica que se encarga del estudio del movimiento sin estudiar suscausas es la cinem atica.

6 La parte de la f sica que se encarga del estudio de lascausas del movimiento es la din pensaba que la naturaleza proced a de la separaci on, por mediode un eterno movimiento, de los elementos opuestos (por ejemplo, fr o-calor),que estaban encerrados en algo llamado materia primordial. Dem ocrito dec a quela naturaleza est a formada por piezas indivisibles de materia llamadas atomos, yque el movimiento era la principal caracter stica de estos, siendo el movimien-to un cambio de lugar en el partir de Galileo Galilei los hombres deciencia comenzaron a encontrar t ecnicas de an alisis que permiten una descripci onacertada del oricamente el primer ejemplo de ecuaci on del movimiento que se introdu-jo en f sica fue la segunda ley de Newton para sistemas f sicos compuestos deagregados part culas materiales puntuales. En estos sistemas el estado f sico deun sistema quedaba fijado por la posici on y velocidades de todas las part culas enun instante dado.

7 Hacia finales del siglo XVIII se introdujo la mec anica anal tica1o racional, que era una generalizaci on de las leyes de Newton aplicables en piede igualdad a sistemas de referencia inerciales y no inerciales. En concreto secrearon dos enfoques b asicamente equivalentes conocidos como mec anica La-grangiana y mec anica Hamiltoniana, que pueden llegar a un elevado grado deabstracci on y formalizaci a ResolverDada la posici on inicial de un CUERPO r gido se evaluar an sus par ametros: lasuniones, angulos,longitudes, tipo de enlace. Para poder colocar el objeto r gidoen un punto problema que se va a resolver es localizar con exactitud el punto final de unobjeto que se va a rotar o trasladar. Este es uno de los problemas fundamentalesen animaci on computacional, en rob otica y el dise no de m aquinas mec anicas. Seusar a la teor a del CUERPO s olido, angulos de euler, matrices de transformaci on,matrices de rotaci on, el Software Mathematica, el Software Matlab y el SoftwareMacromedia onLa descripci on de trayectorias es muy importante en el dise no de m aquinasmec anicas: si se conocieran las posiciones que puede desempe nar la m aquinaantes de ser construida usando simulaciones, se podr a mejorar la realizaci on desu trabajo y corregir errores ergon omicos.

8 Antes de la llegada de las computa-doras realizar los c alculos era una tarea casi imposible, la computadora redujoel tiempo para realizar los c alculos, introdujo la visualizaci on y animaci on delos resultados. La cinem atica juega un rol muy importante en la creaci on de es-tas animaciones. En este trabajo se pretende resaltar su importancia describiendoejemplos reales aplicados a robots manipuladores y cadenas de trabajo no pretende crear animaciones complejas, ya existe un gran numerode software que permite tal labor, uno de los tantos que merece menci on es elBlender ( ), el cual que es gratuito. Con animaciones simples esmas que suficiente para comprobar el uso de las transformaciones homog eneas,pero no por ser simple pierde su m erito, mucha de la teor a aplicada en los ejemp-los y algoritmos, se encuentra adjunto en software comercial. Este trabajo ense na2como generar movimiento y sus fundamentos matem del GeneralEscribir un c odigo en el Software Mathematica y el Software MATLAB paraevaluar los siguientes par ametros: el tipo de uni on, los angulos de uni on, la longi-tud de los enlaces y posici on del efector final.

9 Los resultados obtenidos de evaluarestos par ametros se introducir an en el Software Macromedia Flash y el SoftwareMATLAB para observar el movimiento previamente determinado y comprobar laefectividad del Espec ficosEscribir un c odigo en Mathematica para evaluar los par par ametros se introducen en el Software Macromedia para compro-bar que si satisfacen las condiciones dadas: que al partir de una posici oninicial se llega a la posici on previamente nalar la importancia de la Cinem atica en el area de la rob otica y de laanimaci on computarizadaConocer la teor a matem atica para la animaci on y descripci on del movimien-to de los cuerpos r tulo 2 Marco Te oricoEste trabajo se basa fundamentalmente en el movimiento de cuerpos s oli-dos r gidos, el cual se estudia en los cursos introductorios de F sica y Mec anicaCl asica. En estos cursos se obtienen las matrices de rotaci on mediante los angu-los de Euler, matrices de translaci on, la ecuacion de movimiento de Newton, seintroduce al concepto de grados de libertad y de descripci on mas detallada se encuentra en los ap on de un CUERPO R gidoUn CUERPO r gido, es un concepto, que representa cualquier CUERPO que no sedeforma y es representado por un conjunto de puntos en el espacio que se muevende tal manera que no se alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerzaactuante:| ra rb|=cSe dice que las ligaduras son hol onomas,sif(r1.)

10 ,rn,t) =cestas ligaduraseliminan grados de las ligaduras se requiere de 6 coordenadas generalizadas para describirel movimiento de un CUERPO r gido: 3 variables definen la traslaci on y 3 variablesdefinen la rotaci on. Para el caso de los angulos de euler el rango de los par ametroses el siguiente:0 < ,0 <2 y para evadir duplicaci on de resultadosel ultimo par ametro se restringe de0 < . Pero a un con estas medidas nose puede evadir la duplicaci on del todo, si = 0obtenemos el mismo resultadosiempre que + tenga un valor constante:4R( , , )= R( ,k)R( ,j)R( ,k)= cos sin 0sin cos 0001 cos 0 sin 01 0 sin 0 cos cos sin 0sin cos 0001 = cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos + cos sin sin cos sin + cos sin sin sin sin cos sin sin cos ( ) on y Traslaci on de un CUERPO R gidoLa traslaci on de un CUERPO r gido en dondeT= (tx,ty,tz)representa elvector de traslaci on yr= (rx,ry,rz)es el punto que se va trasladar se definea continuaci on:r =T+r( )La rotaci on de un CUERPO r gido en dondeRes la matriz de transformaci on sedefine a continuaci on :r =Rr( )Para un mejor manejo de las variables, la rotaci on y traslaci on de un CUERPO rigi-do se encapsulan en una forma matricial.