Circulo de Mohr - UNLP

1 Facultad de Ingenier a Universidad Nacional de La Plata ESTRUCTURAS III Para alumnos de la carrera de Ingenier a Aeron utica y Mec nica de la UNLP Circulo DE MOHR para el c lculo de tensiones principales en el plano y el espacio Autores: Ing. Federico Antico Sr. Santiago Pezzotti Revisado por: Ing. Juan Pablo Durruty -2008- ESTRUCTURAS III C rculo de Mohr Circulo de Mohr: Breve rese a: Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el c rculo de Mohr es un m todo gr fico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas.

2 Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mec nica de una pieza. Este m todo tiene aplicaci n para estados tensionales en dos y tres dimensiones. Teor a del c rculo de Mohr para dos dimensiones: Considere un cuerpo sobre el cu l act a un estado plano de cargas. Consideremos al plano de carga para nuestro sistema al plano xy (ver figura 1), de modo de que no existan esfuerzos en el sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento triangular donde se supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas. Esta suposici n se hace con el fin de no complicar por dem s la matem tica siendo el objeto de este desarrollo conocer el desarrollo matem tico a fin de ser asociado con el modelo f sico: figura 1 En la figura 1, adem s de los ejes x e y, se muestra otro par de ejes coordenados los cuales han sido rotados un ngulo respecto del eje z (normal al plano), el par de ejes x1 e y1 son normal y tangente al plano A respectivamente.

3 Queremos obtener una relaci n entre las tensiones en las reas Ax , Ay y A .Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la direcci n del eje x: + (1) Ahora evaluemos el equilibrio de fuerzas en la direcci n del eje y: ..sen0 + + = (2) 1 / 9 ESTRUCTURAS III C rculo de Mohr Considerando que Ax =A .cos y que Ay =A .sen , re escribimos las ecuaciones 1 y 2: 0A donde , = + (1-1) , donde A0 + + = (2-2) Multiplicando la ecuaci n (1-1) por cos , la (2-2) por sen y sumando ambas se llega a: + = (3) Y considerando las relaciones trigonom tricas: ()())4( = = += Se llega a: ()() + + = (5) Analizamos las ecuaciones (1-1) y la (2-2) para obtener el corte en el plano : Multiplicando la ecuaci n (1-1) por sen , la (2-2) por cos , sumando ambas y considerando las relaciones trigonom tricas (4) se llega a.

4 () = (6) Obs rvese que las ecuaciones (5) y (6) no son mas que las componentes cartesianas de los puntos correspondientes a una circunferencia en el plano xy, la ecuaci n de la circunferencia se obtiene considerando la relaci n trigonom trica , entonces reemplazando en (5) y (6) se obtiene: 22sencos1 + = ()()22xyxy222 + + = Esta circunferencia es lo que denominamos C rculo de Mohr para dos dimensiones. En esta circunferencia el ngulo formado por la recta con origen en el centro de la misma () + 2yx y un punto cualquiera perteneciente al per metro de la circunferencia, tiene valor 2 , siendo el ngulo de inclinaci n del plano para el cu l las tensiones sobre esa superficie valen y.

5 Consideremos x< y. 2 / 9 ESTRUCTURAS III C rculo de Mohr y x 2 As como se calcul el estado tensional en el plano a partir de las tensiones principales, el proceso se puede hacer de manera inversa. Conociendo el estado de carga para una cierta terna de ejes se pueden conocer las tensiones principales de un sistema dado. El estudio hecho hasta aqu es similar al que haremos para un estado tridimensional de tensiones. Teor a del c rculo de Mohr para estados tensionales tri - dimensionales: 1. Introducci n: Sea un tetraedro con tres caras ortogonales las cuales definen un punto O el cu l adoptamos como nuestro origen de coordenadas, y la cuarta cara es un plano oblicuo.

6 O Sean las tensiones y las reas correspondientes a cada una de las i caras del tetraedro. i iAEl equilibrio de fuerzas de este s lido se puede expresar a partir de la siguiente ecuaci n vectorial: = (a) Como , donde es el coseno del ngulo entre los vectores normales a los planos dA y . =i idADe esta manera la ecuaci n (a) se puede escribir de la forma: = (b) 3 / 9 ESTRUCTURAS III C rculo de Mohr Ahora la componente normal al plano oblicuo de se puede obtener proyectando esta sobre la direcci n : = . (c) Considerando que el versor tiene coordenadas cartesianas , entonces: es el versor en la direcci n Xi.

7 I = iii_t donde ,t. Considerando la ecuaci n (b) entonces la (c) se puede escribir como: = (d) Luego la tensi n total sobre el plano oblicuo se puede expresar en funci n de sus componentes normal y coincidente con el plano oblicuo: 22s2 = + , ver figura I _ _s _ figura 2 Entonces a partir de (b) y (d) se llega a: () = (e) 2. Teor a del Circulo de Mohr para estados tensionales tri - dimensionales: Supongamos que elegimos los ejes coordenados de modo que estos son los principales (ejes principales: aquellos en donde la tensi n normal de las caras es m xima o nula y el corte nulo). El tensor de tensiones en ese caso para un elemento c bico ser : [] = IIIIIIij000000 4 / 9 ESTRUCTURAS III C rculo de Mohr Si queremos conocer el versor de un cierto plano, conociendo su estado tensional y recordando (d), (e) y que la suma de las componentes cartesianas al cuadrado del versor es uno ()1232221= + + , se obtienen las siguientes ecuaciones: + + = + + = + + = Este es un sistema de tres ecuaciones con tres inc gnitas.

8 Suponga que las tensiones principales tienen magnitudes tal que:IIIIII > > . Las inc gnitas de este sistema son: 1. ()( )()( ) + = 2. ()()()() + = 3. ()( )()( ) + = Como los cuadrados de los cosenos son mayores a cero, entonces evaluando los signos de los denominadores de las ecuaciones 1,2 y 3, los numeradores de los mismos deben cumplir: ()( ) + ()() + ()( ) + Estas tres ecuaciones generan tres circunferencias en el plano y son las ecuaciones que definen los c rculos de Mohr para un estado tridimensional de tensiones, las circunferencias son sim tricas respecto del eje de ordenadas y las tensiones principales se ubican en el eje de ordenadas. Las desigualdades de esta indican el conjunto de estados tensionales posibles en ese punto para distintos planos, con distintas inclinaciones.

9 Una gr fica a modo de ejemplo se presenta a continuaci n: 5 / 9 ESTRUCTURAS III C rculo de Mohr Caso particular: Existe un caso en donde las tensiones principales son iguales en m dulo, este caso se denomina de tensiones hidroest ticas, en ste, el c rculo de Mohr se representa por un punto. Se llama as porque este caso se da cuando por ejemplo un objeto c bico diferencial se sumerge en un l quido, sus seis caras est n sometidas a la misma tensi n y esta es normal a todas las caras, no importa la inclinaci n de este objeto, las tensiones siempre ser n normales. Ejemplo pr ctico de aplicaci n de Circulo de Mohr El ejemplo a continuaci n es un ejemplo demostrativo (sin valores num ricos) del an lisis mediante el Circulo de Mohr.

10 Sea una viga empotrada con Presi n Interna, Momento Torsor y una carga P aplicada en el extremo libre. 6 / 9 ESTRUCTURAS III C rculo de Mohr Secci n: Se desea conocer el tensor de tensiones para ciertos puntos del sistema dado, seg n el estado de cargas. El tensor de tensiones ser de la forma: xx xrxrrxrr Punto 1: xx0 0 00 0 0 7 / 9 ESTRUCTURAS III C rculo de Mohr Punto 2: xxr0 0 00 0 Punto 3: xx0 0 00 0 0 Cabe destacar que tanto en el punto 1), como el 2), la tensi n de corte esta dada por el Momento Torsor.