Clase 6: Algunas Distribuciones de Probabilidad …

1 Clase 6: Algunas Distribuciones de Probabilidad Discreta La m s simple de todas las Distribuciones de Probabilidad discreta es una donde la toma cada uno de sus valores con la misma Probabilidad . Tal distribuci n se denomina distribuci n uniforme discreta. Si la X toma los valores x1,x2,..,xk , con id nticas probabilidades, entonces la distribuci n uniforme discreta est dada por Ejemplo 1: Cuando se lanza un dado honesto, cada elemento del EM ocurre con Probabilidad 1/6. Por lo tanto tenemos una distribuci n uniforme, 2 Distribuci n Uniforme discreta La media y la varianza de la distribuci n uniforme discreta f(x;k) son Muchas veces, un experimento estad stico consiste en pruebas repetidas, cada una con dos posibles resultados que se pueden etiquetar como xito o fracaso. La aplicaci n m s obvia tiene que ver con la prueba de art culos a medida que salen de una secci n de montaje, donde cada prueba o experimento puede indicar si un art culo est defectuoso o no.

2 Podemos elegir definir cualquiera de los resultados como xito. Si los ensayos que se repiten son independientes y la Probabilidad de xito permanece constante entre cada uno de ellos, esto da lugar a un proceso denominado proceso de Bernoulli. Cada ensayo se llama experimento Bernoulli. 3 ..Distribuci n Uniforme discreta M s exactamente, el proceso de Bernoulli debe tener las siguientes propiedades: experimento consiste en n pruebas que se repiten. prueba conduce un resultado posible: xito o fracaso. Probabilidad de un xito, denotado con p, permanece constante en cada prueba. pruebas que se repiten son independientes. Ejemplo 2: Consideremos el conjunto de experimentos de Bernoulli en el que se seleccionan tres art culos al azar de un proceso de ensamblaje, se inspeccionan y se clasifican como defectuosos o no defectuosos. Un art culo defectuoso se designa como xito. El n mero de xitos es una X que toma valores integrales de 0 a 3.

3 Los ocho resultados los conocemos de la Clase 5, Ejemplo 1 (p gina 2). 4 Proceso de Bernoulli Como los art culos se seleccionan de forma independiente de un proceso que supondremos produce 25% de art culos defectuosos, P(NDN)=P(N)P(D)P(N)=(3/4)(1/4)(3/4)=9/64 . C lculos similares dan las probabilidades para los dem s resultados posibles. La distribuci n de Probabilidad de X es x 0 1 2 3 f(x) 27/64 27/64 9/64 1/64 El n mero X de xitos en n experimentos de Bernoulli se denomina variable aleatoria binomial. La distribuci n de Probabilidad de la X se llama distribuci n binomial, y sus valores se denotar n como b(x; n,p) pues depende del n mero de pruebas y de la Probabilidad de xito en una prueba dada. As , para la distribuci n de Probabilidad de X, el n mero de defectuosos es P(X=2)=f(2)=b(2; 3,1/4)=9/64. 5 ..Proceso Bernoulli Generalizando ahora el ejemplo anterior para obtener una f rmula para b(x; n,p).

4 Es decir, deseamos una f rmula que de la Probabilidad de x xitos en n pruebas para un experimento binomial. Un experimento de Bernoulli puede tener como resultado un xito con Probabilidad p y un fracaso con Probabilidad q=1-p. Entonces la distribuci n de Probabilidad de la binomial X, el n mero de xitos en n pruebas independientes, es Notar que cuando n=3 y p=1/4, la distribuci n de Probabilidad de X, el n mero de art culos defectuosos, se puede escribir como 6 Distribuci n binomial La distribuci n binomial deriva su nombre al hecho de que los n+1 t rminos en la expansi n binomial de (q+p)n corresponden a los diversos valores de b(x; n,p) para x=0,1,2,..,n. Es decir, Como p+q=1 vemos que Condici n que debe ser v lida para cualquier distribuci n de Probabilidad . Con frecuencia, nos interesamos en problemas donde se necesita calcular P(X<r) o P(a<=X<=b). 7 ..Distribuci n binomial Ejemplo 3: La Probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sangu nea es Si se sabe que 15 personas contraen la enfermedad cu l es la Probabilidad de que a) sobrevivan al menos 10, b) sobrevivan de 3 a 8 y c) sobrevivan exactamente 5?

5 Sea X el n mero de personas que sobreviven 8 ..Distribuci n binomial La distribuci n binomial se aplica en muchos campos cient ficos. Un ingeniero industrial est interesado en la proporci n de defectuosos en un proceso industrial. Esta distribuci n se aplica en cualquier situaci n donde el resultado de un proceso es dicot mico y los resultados del proceso son independientes y la Probabilidad de xito es constante de una prueba a otra. La media y la varianza de la distribuci n binomial b(x; n,p) son =E(X)=np y 2=Var(X)=npq Es claro, que en muchas aplicaciones hay m s de dos resultados posibles. Por ejemplo, el color de las cr as de los conejillos de indias pueden ser rojos, negros o blancos. A menudo la dicotom a defectuoso o no defectuoso en situaciones de ingenier a es ciertamente una gran simplificaci n. En realidad, con frecuencia hay m s de dos categor as que caracterizan art culos o partes que salen de una secci n de producci n.

6 9 ..Distribuci n binomial El experimento binomial se convierte en un experimento multinomial si cada prueba tiene m s de dos resultados posibles. Por ello la clasificaci n como ligero, pesado o aceptable y el registro de los accidentes automovil sticos de acuerdo con el d a de la semana constituyen experimentos multinomiales. En general, si una prueba dada puede tener como consecuencia cualquiera de los k resultados posibles E1, E2,..,Ek con probabilidades p1 , p2 ,.., pk , entonces la distribuci n multinomial dar la Probabilidad de que E1 ocurra x1 veces; E2 ocurra x2 veces; ..; y Ek ocurra xk veces en n pruebas independientes, donde x1+x2+..+xk=n Denotaremos esta distribuci n de Probabilidad conjunta como f(x1,x2,..,xk; n,p1,p2,..,pk) Claramente p1+p2+..+pk=1. 10 Experimentos Multinomiales Para derivar la f rmula general, procedemos como en el caso binomial. Como las pruebas son independientes, cualquier orden especificado que produzca x1 resultados para E1, x2 para E2.

7 ,xk para Ek ocurrir con Probabilidad p1x1 pkxk. El n mero total de rdenes que den resultados similares para las n pruebas es igual al n mero de particiones de n pruebas en k grupos de x1 en el primer grupo; x2 en el segundo grupo;..; y xk en el k- simo grupo. Esto se puede hacer en formas. Como todas las particiones son mutuamente excluyentes y ocurren con igual Probabilidad , obtenemos la distribuci n multinomial al multiplicar la Probabilidad para un orden espec fico por el n mero total de particiones. 11 ..Experimentos Multinomiales Si una prueba dada puede conducir a los k resultados E1, E2,..,Ek con probabilidades p1 , p2 ,.., pk , entonces la distribuci n de Probabilidad de las X1, X2,..,Xk ,que representan el n mero de ocurrencias para E1, E2,..,Ek en n pruebas independientes es con La distribuci n multinomial deriva su nombre del hecho que los t rminos de la expansi n multinomial de (p1+p2+.)

8 +pk)n corresponden a todos los posibles valores de f(x1,x2,..,xk; n,p1,p2,..,pk) 12 ..Experimentos Multinomiales Ejemplo 4: Si se lanza seis veces un par de dados. Cu l es la Probabilidad de obtener una suma siete u 11 dos veces, un par igual una vez y cualquier otra combinaci n tres veces? Listamos los siguientes eventos posibles E1: ocurre una suma 7 u 11 E2: ocurre un par igual E3: no ocurre ni un par igual ni una suma 7 u 11. Las probabilidades correspondientes para una prueba dada son p1=2/9, p2=1/6 y p3=11/18. Estos valores permanecen constantes para todas las seis pruebas. Al usar la distribuci n multinomial x1=2, x2=1 y x3=3, entonces 13 ..Experimentos Multinomiales Si nos interesa la Probabilidad de seleccionar x xitos de los k art culos considerados como xito y n-k fracasos de los cuales N-k art culos que se consideran fracasos cuando se selecciona una muestra aleatoria de tama o n de N art culos.

9 Esto se conoce como experimento hipergeom trico; es decir, uno que posee las siguientes dos propiedades: selecciona sin reemplazo una muestra aleatoria de tama o n de N art culos. de los N art culos se pueden clasificar como xitos y N-k se clasifican como fracasos. El n mero X de xitos de un experimento hipergeom trico se denomina variable aleatoria hipergeom trica. En consecuencia, la distribuci n de Probabilidad de esta variable se llama distribuci n hipergeom trica, y sus valores se denotan como h(x; N,n,k), debido a que dependen del n mero de xitos k en el conjunto N del que seleccionamos n art culos. 14 Distribuci n hipergeom trica La distribuci n de Probabilidad de la hipergeom trica X, el n mero de xitos en una muestra aleatoria de tama o n que se selecciona de N art culos de los que k se denominan xitos y N-k fracasos, es Ejemplo 5: Se selecciona al azar un comit de cinco personas entre tres qu micos y cinco f sicos.

10 Calcular la distribuci n de Probabilidad para el n mero de qu micos en el comit . Sea la X el n mero de qu micos en el comit . Se satisfacen las dos condiciones de un experimento hipergeom trico. 15 .. Distribuci n hipergeom trica Ejemplo 6: Lotes de 40 componentes cada uno se denominan aceptables si no contienen m s de tres defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la selecci n de cinco componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. Cu l es la Probabilidad de que se encuentre exactamente un defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el lote? Utilizando la distribuci n hipergeom trica con n=5, N=40, k=3 y x=1, entonces 16 .. Distribuci n hipergeom trica La media y la varianza de la distribuci n hipergeom trica h(x;N,n,k) son Consideremos un experimento donde las propiedades son las mismas que se indican en el experimento binomial, con la excepci n de que las pruebas se repetir n hasta que ocurra un n mero fijo de xitos.