Transcription of CONTRAINTES ET DÉFORMATIONS
1 6 CONTRAINTES ET D FORMATIONS CHARGEMENT UNIAXIAL Introduction Lorsqu'un corps est soumis des forces ext rieures, il y a un changement de sa forme ou de ses dimensions. Ce changement s'appelle d formation. Tous les corps se d forment sous l'effet des forces qui s'exercent sur eux. Cette d formation est plus ou moins grande d pendamment de la grandeur des forces et des mat riaux qui sont en cause. Une structure peut tre construite afin de supporter un millier de tonnes mais se d formera tout de m me sous le poids d'un seul homme. videmment, dans ce cas, la d formation sera minime mais elle n'en sera pas moins l . Cette premi re section vise surtout l' tude des d formations se faisant suivant l'axe longitudinal du mat riau.
2 Les forces agissant sur les corps tendront donc tirer ou comprimer le corps. Barreau en traction ou en compression La figure repr sente un barreau droit, de section A (en m2) et de longueur initiale L0 (en m) soumis une force de traction P (en N). L'exp rience prouve que, sous l'effet de la force P, les extr mit s s' loignent l'une de l'autre; le barreau subit donc un allongement (en m). Le barreau se comporte en fait comme un ressort; toutefois, pour un barreau de m tal, l'allongement est presque invisible l'oeil nu. 85 Fig. D finitions: D formation: C'est la modification que subit un corps sous l'effet de la force qu'il subit. D formation longitudinale ( ): C'est l'allongement ou le raccourcissement que subit une pi ce sous l'effet d'un effort de traction ou de compression.
3 [m] = L - L0 [m] ( ) D formation unitaire ( ): C'est la d formation par unit de longueur. La d formation n'a pas d'unit [m/m]. = L0 = L - L0L0 ( ) O L0 : longueur de la tige sans charge L : longueur de la tige supportant une charge P 86 EXEMPLE Quel est la d formation unitaire que subit une pi ce de m tal de 5 m de long qui s' tire de 2 mm sous l'action d'une charge de 150 kN? Solution: = L0 = 0,002 m5 m = 0,0004 = 4 x 10-4 Nous savons par exp rience que tout d pendant de l'intensit de la force qu'on exerce sur une pi ce ou partie d'une structure, elle se d forme de fa on minime et temporaire ou de fa on prononc e et permanente. Exp rimentalement, on note que la d formation est proportionnelle la charge que l'on place sur la pi ce.
4 (voir figure ) Plus pr cis ment, un anglais; Robert Hooke a nonc la loi suivante: Fig. Loi de Hooke: Lorsqu'on charge un mat riau, si la contrainte produite demeure inf rieure sa limite lastique, sa d formation est proportionnelle la contrainte qu'il subit. = E [N/m2] ou [Pa] ( ) o E: est la constante de proportionnalit appel e module d' lasticit ou module de Young. [Pa](voir figure 6-2) 87 Afin de bien identifier les limites de la loi de Hooke, proc dons encore quelques d finitions. D finitions: lasticit : Propri t qu'a un corps, apr s avoir t d form par une charge, de reprendre sa forme initiale lorsque la charge est enlev e. Limite lastique : C'est la contrainte maximum que peut supporter un mat riau sans danger de d formation permanente.
5 Module de Young ( lasticit ) : C'est la constante de proportionnalit entre la contrainte qu'un mat riau subit et sa d formation unitaire. C'est une constante propre chaque mat riau. Plasticit : Propri t qu'a un corps de conserver partiellement les d formations produites par une charge lorsque celle-ci est enlev e. La d formation plastique se produit quand la contrainte d passe la limite d' lasticit . Quand une pi ce subit un allongement (ou raccourcissement) axial, elle subit en m me temps, une contraction (dilatation) transversale. Si la contrainte axiale demeure inf rieure la limite lastique, le rapport entre la d formation transversale et la d formation unitaire axiale demeure constant. Afin de bien saisir l'importance de cette constatation, r f rons-nous la figure Pour les besoins de cette analyse nous donnerons des indices aux allongements unitaires; ainsi nous appellerons L d formation unitaire longitudinale (g n ralement appel e simplement) et R d formation unitaire radiale.
6 PPL2RL02R0 Fig. 88 N cessairement, tout comme pr c demment: D finitions: Allongement longitudinal : L = L - L0 [m] ( ) Allongement radial : R = R - R0 [m] ( ) D formation unitaire longitudinale : L = LL0 ( ) D formation unitaire radiale : R = RR0 ( ) Coefficient de Poisson ( ) : C'est le rapport entre les d formations unitaires transversales et axiales, quand la d formation a lieu dans les limites d' lasticit . = - R L ( ) N cessairement, toutes ces lois ne sont valables que si la contrainte ne d passe pas la limite lastique. Le tableau de la page suivante donne les valeurs des modules d' lasticit et du coefficient de Poisson pour diff rents mat riaux. 89 Mat riau Module d' lasticit Coefficient de Poisson Module de rigidit Coef.
7 De dilatation lin ique Masse volumique E [GPa] G [GPa] [10-6 C-1] [kg/m3] Acier au carbone 193-220 0,26-0,29 76-82 10-13 7720-7860 Acier inoxydable 193-207 0,3 73 15-17 7640-7910 Acrylique 2,4-3,4 0,35 1,03 90 1160 Aluminium (et alliages) 68,2-78,5 0,32-0,34 25,5-26,5 20-24 2560-2880 Caoutchouc 0,76 x 10-3-4,1 x 10-3 0,5 0,34 x 10-3-1,38 x 10-3 126-198 970-1250 Cuivre 117-124 0,33-0,36 40-46 16,6-17 8940-8970 Fer 200 0,28 80 12 7850 Fonte 90-145 0,21-0,30 36-56 10,4 6950-7330 Glace 2.
8 8 Laiton 100-110 0,33-0,36 37-41 20-21 8360-8500 Poly thyl ne 0,138-0,380 0,45 0,117 180 910 Titane 106-114 0,34 41 8,8 4510 Verre 60 0,24 31 9 2500 Tableau : Propri t s m caniques de quelques mat riaux la temp rature ambiante 90 EXEMPLE On applique une charge P de 285 kN la tige de la figure ci-dessous et elle s'allonge de 3,8 mm.
9 La tige a une section carr e de 20 cm par 20 cm. Calculer la d formation unitaire, la contrainte en traction et son module d' lasticit . Solution: On a: L0 = 6 m A = 20 cm x 20 cm = 0,2 m x 0,2 m = 0,04 m2 P = 285 kN = 285 x 103 N = 3,8 mm = 3,8 x 10-3 m Donc la d formation unitaire vaut: = L0 = 3,8 x 10-3 m6 m = 0,00063 Et la contrainte normale (tension): = PA = 285 x 103 N0,04 m2 = 7125000 Pa = 7,125 MPa Module d' lasticit : = E P6 m Fig. d'o E = = 7,125 x 106 Pa0,00063 = 11309523810 Pa = 11,3 GPa EXEMPLE Une barre d'acier (module d' lasticit E = 200 GPa) de 3 m de longueur et de section carr e ayant 12,5 mm de c t est sollicit e par une tension de 21360 N. Quel est son allongement total? Solution: On a: A = 12,5 mm x 12,5 mm = 12,5 x 10-3 m x 12,5 x 10-3 m = 1,56 x 10-4 m2 = PA = 21360 N1,56 x 10-4 m2 = 13670400 Pa = 136,7 MPa et = E d'o = E = 136,7 x 106 Pa200 x 109 Pa = 0,00068352 finalement: = L0 d'o = L0 = 0,0068352 x 3 m = 0,00205 m = 2,05 mm 91 EXEMPLE La tige ci-dessous poss de un diam tre de 2 cm lorsqu'elle n'est pas charg e.
10 Que devient le rayon de la tige dans la section A si = 0,25 et E = 160 GPa? 12 000 N6 000 N24 000 NA6 000 N24 000 NNVM(a)(b) Fig. Solution: quilibre de rotation: MA = M = 0 quilibre de translation: Fy = V = 0 Fx = -N -6 000 + 24 000 = 0 D'o N = 18 000 N (tension) On a: A = d24 = (0,02 m)24 = 3,14 x 10-4 m2 Donc la contrainte normale vaut: = NA = 18 000 N3,14 x 10-4 m2 = 57 295 780 Pa = 57,3 MPa On sait que: = E D'o on calcule l'allongement unitaire longitudinal, = E = 57,3 x 106 Pa160 x 109 Pa = 0,000358 Et partir de la loi de Poisson, = - R D'o R = - = -0,25 x 0,00358 = -8,95 x 10-5 Comme R = (R - R0)/R0 donc R -R0 = R(R0) --> R = R0 + R(R0) R = 0,01 m + (-8,95 x 10-5 x 0,01 m) = 0,00999911 m = 0,999911 cm 92 Diagramme d'essai de traction Un essai de traction classique consiste soumettre une prouvette de forme cylindrique une charge axiale de traction P.
