CORRIGES DES EXERCICES D’ELECTROMAGNETISME

1 CORRIGE S DES EXERCICES . D'ELECTROMAGNE TISME. Christian Carimalo Calculs directs de champs e lectrostatiques cre e s par des distributions continues de charges I. Distribution line ique 1 ) Tout plan contenant Oz est un P ` . Donc en tout point en dehors de la spire, E 0 ;. de plus, en chacun des points de Oz, intersection d'une infinite de P ` , E 0. Le plan xOy est aussi un P ` . En chacun de ses points en dehors de la spire, Ez 0. Pour cette distribution, on a invariance par rotation autour de Oz : E E p , zq, Ez Ez p , zq. az 2 ) E pM pzqq ez . 2 0 rz 2` a2 s3{2. 1 q 3 ) E ez pzq ou pzq `1 si z 0 et pzq 1 si z 0 ; q 2 a est la 4 0 z 2. charge totale de la spire. Comme attendu, a tre s grande distance la spire est vue comme une charge ponctuelle q situe e au point O et le champ devient celui de cette charge. ======================================== =========.}

2 II. Deux spires circulaires C1 et C2 .. 1 ) Le plan xOz est un P ` : Ey px, 0, zq 0. 2 ) Le plan zOy est un P ` et le plan xOy est un P : Ex p x, zq Ex px, zq, Ex px, zq . Ex px, zq, Ez p x, zq Ez px, zq, Ez px, zq Ez px, zq. Par suite, Ez est une fonction paire de x et une fonction paire de z, tandis que Ex est une fonction impaire de x et une fonction impaire de z. D'ou Ez px, zq a1 ` c1 z 2 ` c3 x2 , Ex px, zq c12 xz BEx BEz 3 ) , d'ou c12 2c3 . Bz Bx R z a R z`a 4 ) E1z p0, zq , E2z p0, zq ;. 2 0 rR ` pz aq2 s3{2. 2 2 0 rR ` pz ` aq2 s3{2. 2. Ra Ez E1z ` E2z , d'ou a1 . Il faut effectuer soit un de veloppement de Ez 0 ` a2 s3{2. rR2. au second ordre suivant z{a, soit, plus simplement, une double de rivation de Ez par rapport 3aR 3R2 2a2. a z, pour obtenir c1 . On voit qu'au voisinage de O, Ez p0, zq ne de pend 4 0 rR2 ` a2 s7{2 c 3.}}}}}

3 De z qu'au 4e me ordre suivant z{a si a R . 2. ======================================== =========. III. Distributions surfaciques Disque - 1 ) Voir I. 1 ).. z 1 1. 2 ) E Epzq ez avec Epzq ? 2 . Lorsque z tend vers ze ro par valeurs 2 0 |z| z ` a2. Christian Carimalo 3 Calculs directs de champs . positives, Epzq tend vers Ep0` q . Lorsque z tend vers ze ro par valeurs ne gatives, Epzq 2 0.. tend vers Ep0 q . La discontinuite du champ en z 0 est Ep0` q Ep0 q . 2 0 0. Q 1. 3 ) Prenant z positif et z " a, le champ devient Epzq ou Q a2 est la charge 4 0 z 2. totale du disque. Ici encore, a tre s grande distance, la distribution de charge totale non nulle est vue comme une charge ponctuelle. 4 ) Lorsque a tend vers l'infini, le choix de l'origine des coordonne es devient arbitraire. En . utilisant l'expression pre ce dente de Epzq, on trouve, pour tout point de l'espace : Epzq.}

4 2 0.. si z 0, et Epzq si z 0. 2 0. ======================================== =========. Sphe re - 1 ) Etant donne un point M en dehors de la distribution, tout plan conte- nant OM est un P ` . Le champ en M est donc porte par l'intersection de tous ces plans, . c'est-a -dire par OM : il est radial au sens des coordonne es sphe riques de finies par rap- port a un trie dre O, x, y, z. Le choix des axes du trie dre est arbitraire car la distribution est invariante sous une rotation quelconque autour de O. Il s'ensuit que la composante ra- . diale du champ ne doit de pendre que de r OM : E Eprq er , avec er cos ez . ` sin cos ex ` sin ey .. PM. 2 ) E d . 4 0 sphe re PM3.. Pour l'inte gration, on peut choisir Oz suivant OM , cela ne fait aucune diffe rence. Posons . h OM , OP R er ; on a alors P M h ez R er , P M 2 h2 ` R2 2Rh cos , d R2 sin d d.

5 D'ou . `1. h Ru E ez R2 2 du avec u cos . 4 0 1 rR2 ` h2 2 Rhus3{2. `1. B `1.. h Ru du Or, I du 2 3{2. et 1. 2. rR ` h 2 Rhus Bh 1 rR ` h 2 Rhus1{2. 2 2. `1. du 1 a 2 `1. 2 2 Rhu . 1. 2 2 1{2. R ` h rR ` h |R h|s. 1 rR ` h 2 Rhus Rh 1 Rh B 2 B 2 2. Pour h R, on a I 0, tandis que pour h R, I 2 . Ainsi, Bh R . Bh h h Q OM. E 0 pour tout point inte rieur a la sphe re et E pour tout point exte rieur 4 0 OM 3. a la sphe re, ou Q 4 R2 est la charge totale de la sphe re. Dans ce dernier cas, la sphe re appara t comme une charge ponctuelle Q en O. Au passage a travers la sphe re, le champ . subit une discontinuite e gale a E rOM R`0s E rOM R 0s er avec er OM {R. 0. ======================================== =========. Christian Carimalo 4 Calculs directs de champs IV. Champ du plan xOy charge en entier avec la densite : . E1 ez pour z 0, ez pour z 0.}}}}}

6 2 0 2 0. Champ en un point de l'axe z 1 z d'un disque de centre O et de rayon R charge avec la densite . : . z z E2 ez ? 2. 2 0 |z| z ` R2. On obtient la distribution propose e en superposant les deux distributions ci-dessus. On trouve le champ total en un point de l'axe z 1 z : z . E ? 2 2. ez 2 0 z ` R. Il ne pre sente aucune discontinuite en z 0. Christian Carimalo 5 Calculs directs de champs Syme tries et utilisation du the ore me de Gauss pour des calculs de champs e lectrostatiques I. Distribution line ique. Une ligne 1 ) Invariance par rotation autour de z 1 z ; invariance par translation paralle le a z 1 z. Tout plan contenant z 1 z est un P ` ; tout plan perpendiculaire a z 1 z est un P ` . Le syste me de coordonne es cylindriques , , z construit autour de z 1 z est le plus approprie pour e tudier le champ.. 2 ) Au sens de ces coordonne es cylindriques, le champ est radial : E E e et du fait des invariances, E ne de pend que de ( et z ne sont pas des variables sensibles).

7 3 ) 4 ) Les e quipotentielles sont des cylindres d'axe z 1 z et donc de finies par constante. L'amplitude du champ reste constante sur une e quipotentielle. On constitue une surface de Gauss en prenant un morceau d'e quipotentielle de rayon , que l'on ferme par deux disques d'axe z 1 z et de me me rayon . Le champ e tant radial, son flux a travers les deux disques est nul, tandis que son flux a travers le morceau d'e quipotentielle est 2 hE p q. D'apre s le h the ore me de Gauss applique a cette surface ferme e, ce flux est aussi e gal a . On en de duit 0.. E p q pour tout 0. 2 0 . ======================================== =========. II. Distributions surfaciques 1 ) Plan infini uniforme ment charge .. On fait le choix d'utiliser un syste me de coordonne es carte siennes ou le plan charge est pris comme plan xOy. Du fait de l'extension infinie de la distribution, la position de l'origine O peut e tre choisie arbitrairement : on a une invariance par translation paralle le au plan charge.

8 Cela signifie que les variables x et y ne sont pas des variables sensibles. Tout plan contenant z 1 z (et donc perpendiculaire au plan charge ) est un P ` . En un point donne en dehors des charges, e tant a l'intersection de tous ces P ` , le champ est donc oriente suivant . z 1 z, E ez Ez , ou , du fait de ladite invariance, on doit avoir Ez Epzq. Le plan xOy est lui-me me un P ` . On en de duit Ep zq Epzq. Les surfaces e quipotentielles sont des plans paralle les au plan charge , donc de finies par z constante. On voit que sur une e quipotentielle, l'amplitude du champ reste constante. Une surface de Gauss utilisant ces syme tries est astucieusement constitue e comme suit : un morceau de surface cylindrique de rayon a et d'axe z 1 z, ferme e a ses extre mite s par deux disques d'axe z 1 z et de rayon a, l'un a la cote z 0, l'autre a la cote z.

9 Compte tenu de son orientation, le flux du champ a . travers la surface cylindrique est nul, tandis que son flux total a travers les deux disques est a2 rEpzq Ep zqs 2 Epzq a2 . D'apre s le the ore me de Gauss, le flux du champ a travers a2 . ladite surface de Gauss est . D'ou Epzq Ep zq pour tout z 0. 0 2 0. ======================================== =========. Christian Carimalo 6 Syme tries et The ore me de Gauss 2 ) Sphe re uniforme ment charge Soit O le centre de la sphe re, R son rayon. Le centre O est privile gie et est chois naturellement comme origine d'un syste me de coordonne es. La densite de charges sur la sphe re e tant uniforme, cette distribution posse de la syme trie sphe rique. Etant donne un point M , tout . plan contenant OM est un P ` et le champ doit donc e tre porte par OM . Choisissant le repe rage de l'espace au moyen de coordonne es sphe riques construit autour de O, on a.

10 E pM q er Er pr, , q. Comme une rotation quelconque de la sphe re autour de son centre laisse la distribution invariante vis-a -vis de M , les coordonne es et ne sont pas des variables sensibles (ce qui signifie que le choix des axes est arbitraire). Par conse quent, Er Eprq. Les e quipotentielles sont des sphe res de centre O. Ce sont des surfaces de Gauss. Sur chacune d'elles, le champ garde une amplitude constante et le flux du champ a travers celle de rayon r vaut ainsi 4 r2 Eprq. D'un autre co te , le the ore me de Gauss indique que ce flux est aussi Q. e gal a : 0 si r R et si r R, ou Q 4 R2 est la charge totale de la sphe re charge e. 0. Q R2. On a donc : Eprq 0 pour r R, Eprq pour r R. 4 0 r2 0 r2. Comme pour toute distribution superficielle de charges, le champ subit une discontinuite au . passage a travers cette distribution : EpR ` 0q EpR 0q.