CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 ESERCIZI

1 CORSO DIANALISIMATEMATICA1 ESERCIZIC arlo Ravaglia16 settembre 2015ivIndice1 Numeri Ordine fra numeri reali .. Funzioni reali .. Radici aritmetiche .. Valore assoluto .. Polinomi .. Equazioni .. Disequazioni .. Dominio naturale di funzioni .. 232 Numeri Parte reale, parte immaginaria, modulo .. Rappresentazione di sottoinsiemi diC.. 263 Lo spazio euclideo Composizione di funzioni .. Componenti di una funzione vettoriale .. Prodotto scalare e norma .. Distanza .. 294 Topologia di Intorni inRN.. Gli spazi topologiciR,R(+)eR( ).. Funzioni continue .. Limiti .. 345 Confronto Confronto asintotico .. Principio di sostituzione .. Asintoti .. 40vviINDICE6 Serie convergenti .. Serie geometrica .. Serie a termini positivi .. Limiti di successioni .. 547 Serie di Serie di potenze .. Esponenziale, seno, coseno.

2 Limiti .. Serie .. 668 Derivate .. Massimo, minimo .. Teorema del valor medio .. Derivabilit`a e derivata .. Studio funzione .. Polinomio di Taylor .. 839 Funzioni elementari Funzione esponenziale reale .. Potenze di esponente reale .. Funzioni esponenziali di basea.. Funzioni circolari .. Funzioni elementari reali .. Massimi e minimi di funzioni .. Equazioni reali .. Limiti .. Serie .. Derivabilit`a e derivate .. Studio di funzione .. 10710 Argomento di un numero Argomento di un numero complesso .. Radici complesse .. Logaritmi complessi .. 13311 Primitive ed Integrali di base .. Integrali per decomposizione .. Integrali immediati .. Funzione integrale .. Integrazione per sostituzione .. Integrazione per parti .. Integrazione delle funzioni razionali .. Integrazione di alcune funzioni irrazionali.

3 Integrazione di alcune funzioni trascendenti .. di vario tipo .. 15612 Sviluppi in Limiti .. Asintoti .. Serie .. 17513 Integrali Integrali impropri .. Valore di un integrale improprio .. Convergenza di integrali impropri .. Convergenza e valori di integrali impropri .. Integrali impropri su intervalli aperti .. Integrali impropri su intervalli privati di punti .. 194viiiINDICEC apitolo 1 Numeri Ordine fra numeri {1n 1;n N }.(a) Dire seAammette massimo e in caso affermativo determinarlo.(b) Dire seAammette minimo e in caso affermativo determinarlo.(c) Dire seAammette estremo superiore inRe in caso affermativo determi-narlo.(d) Dire seAammette estremo inferiore inRe in caso affermativo (a)Aammette massimo e max(A) = 0.(b)Anon ammette minimo.(c)Aammette estremo superiore e sup(A) = 0.(d)Aammette estremo inferiore e inf(A) = ciascuno dei seguenti insiemi(a)A={3n 1n;n N },(b)A={n+2n;n N },(c)A={3n2+1n2;n N },(d)A={1n2+1;n N},12 CAPITOLO 1.

4 NUMERI REALI dire seAammette massimo e seAammette minimo; dire seA`e limitato supe-riormente, seA`e limitato inferiormente, seA`e limitato; determinare l estremosuperiore e l estremo inferiore diArispetto a (R, ).Risoluzione.(a) Per ognin Nsi ha3n 1n= 3 1n; l insiemeA`e quindi formato da puntiche al crescere dinsi avvicinano crescendo a 3 senza mai raggiungerlo;quindi si ha:Anon ammette massimo;Aammette minimo e min(A) = 2;A`e limitato superiormente;A`e limitato inferiormente;A`e limitato;si ha sup(A) = 3;si ha inf(A) = 2.(b) Si han+2n= 1 +2n. L insiemeA`e fatto di infiniti punti che al crescere dinsi avvicinano decrescendo a 1 senza mai raggiungerlo; quindi si ha:Aammette massimo e si ha max(A) = 3;Anon ammette minimo;A`e limitato superiormente;A`e limitato inferiormente;A`e limitato;si ha sup(A) = 3;si ha infA= 1.(c) L insiemeA`e l immagine della successione(3n2+1n2)n N .Si ha3n2+1n2= 3 +1n2; quindi la successione(3n2+1n2)n N `e decrescente; siha poi limn 3n2+1n2= 3 e3 A; si ha quindi:Aammette massimo e si ha max(A) = 4;Anon ammette minimo;A`e limitato superiormente;A`e limitato inferiormente;A`e limitato;si hasup(A) = 4;si hainfA= 3.

5 (d)L insiemeA`e l immagine della successione(1n2+1)n successione(1n2+1)n N`e decrescente; al crescere dini punti1n2+1siavvicinano decrescendo a0 senza mai raggiungerlo; si ha quindi:Aammette massimo e si ha max(A) = 1;Anon ammette minimo;A`e limitato superiormente;A`e limitato inferiormente;A`e limitato; ORDINE FRA NUMERI REALI3si hasup(A) = 1;si ha infA= {1x;x ] ,0[};dire seAammette massimo e seAammette minimo; determinare l estremosuperiore e l estremo inferiore diArispetto :] ,0[ R, x 1x,si haA=f(] ,0[) =] ,0[. QuindiAnon ammette massimo,Anonammette minimo,sup(A) = 0, inf(A) = . ciascuno dei seguenti insiemi(a)A= [ 2,2] Q,(b)A= [ 2, 2] Q,(c)A= [0, 2] (R Q),(d)A=] , 2] Q,dire seAammette massimo e seAammette minimo; dire seA`e limitato supe-riormente, seA`e limitato inferiormente, seA`e limitato; determinare l estremosuperiore e l estremo inferiore diArispetto a (R, ).Risoluzione.

6 (a)Per ognix Asi ha 2< x 2; inoltre 2 A; inoltre vi sono punti diAvicini come si vuole a 2; quindi si ha:Aammette massimo e max(A) = 2;Anon ammette minimo;A`e limitato superiormente;A`e limitato inferiormente;A`e limitato;si hasup(A) = 2;si hainf(A) = 2.(b)Per ognix Asi ha 2< x < 2; inoltre vi sono punti diAvicini comesi vuole a 2 e a 2; quindi si ha:Anon ammette massimo;Anon ammette minimo;A`e limitato superiormente;A`e limitato inferiormente;A`e limitato;si hasup(A) = 2;si ha inf(A) = 1. NUMERI REALI(c)Per ognix Asi ha 0< x 2; inoltre 2 Ae vi sono punti diAvicini come si vuole a 0; quindi si ha:Aammette massimo e si ha max(f) = 2;Anon ammette minimo;A`e limitato superiormente;A`e limitato inferiormente;A`e limitato;si hasup(A) = 2;si ha inf(A) = 0.(d)Per ognix Asi hax < 2; inoltre 2 Ae vi sono punti diAvicinicome si vuole a 2 e inferiori di un arbitrario numero reale; quindi si ha:Anon ammette massimo;Anon ammette minimo;A`e limitato superiormente;Anon `e limitato inferiormente;Anon `e limitato;si hasup(A) = 2;si ha inf(A) =.

7 Un esempio di un sottoinsieme di{x R;x < 1}dotato diestremo superiore in (R, ), ma non di ] , 2[. l insieme dei maggioranti diRrispetto all insiemeordinato (R, ). insieme dei maggioranti diRrispetto aR`e{+ }. un esempio di una funzione definita su{x R;x 1}limitatainferiormente, ma non dotata di : [1,+ [ R,x Funzioni l estremo superiore e l estremo inferiore inRdellaseguente funzione:f:R R, x haf(R ) =]0,+ [; quindi si hasup(f) = + , inf(f) = approssimativamente in uno stesso sistema di assi i graficidif: [0,1] R, x x2e dig: [0,1] R, x FUNZIONI REALI5mettendo in evidenza il legame fra i :] ,1] R, x xperx 1 1 per 1< x 02xper 0< x 1;(a)tracciare approssimativamente il grafico dif;(b)determinare l immagine dif;(c)dire sefammette massimo e minimo e in caso affermativo determinarli;(d)dire sef`e limitata superiormente, limitata inferiormente, limitata;(e)determinare l estremo superiore e l estremo inferiore difrispetto a(R, ).

8 Risoluzione.(a)Si 1 ..(b)Si haf(] ,1]) =] , 1] ]0,2].(c)fammette massimo e max(f) = 2;fnon ammette minimo.(d)f`e limitata superiormente;fnon `e limitata inferiormente;fnon `e limitata.(e)Si ha sup(f) = 2, inf(f) = . : [ 2,0] R, x x2; determinaref([ 2,0]), provare chef`e iniettiva e trovare la funzione inversa haf([ 2,0]) = [0,4].6 CAPITOLO 1. NUMERI REALIPery [0,4] e per ognix [ 2,0] si haf 1(y) =xse e solo sef(x) =y, cio`ese e solo sex2=y; quindi si hax= y; poich`ex 0, si hax= y; ci`oprova chef`e iniettiva e che si haf 1: [0,4] R, y y . : [ 1,0[ R, x 1x2; determinaref([ 1,0[), provare chef`e iniettiva e trovare la funzione inversa haf([ 1,0[) = [1,+ [.Pery [1,+ [ ex [ 1,0[ si haf 1(y) =xse e solo sef(x) =y, cio`e se esolo se1x2=y; quindi si hax= 1 y; poich`ex <0, si hax= 1 y; ci`o provachef`e iniettiva e che si haf 1: [1,+ [ R, y 1 :R R, x x2 3x+ 2;(a)determinare l immagine dif;(b)dire sef`e (a)L immagine dif`e l insieme delley Rtali che l equazione di incognitax R,x2+x+ 1 =y, ammette almeno una soluzione.]]]]]]]]

9 L equazione `eequivalente ax2 3x+ 2 y= 0; tale equazione ha soluzioni se e solose9 4(2 y) 0, cio`e se e solo sey 14; l immagine dif`e quindi[ 14,+ [.(b)La funzionef`e iniettiva se e solo se per ogniyappartenente all immagine difl equazione di incognitax R,x2 3x+2 =yammette una ed una solasoluzione. Siay 14; l equazione sopra `e equivalente ax2 3x+2 y= 0;tale equazione pery = 14ha due soluzioni; quindifnon `e :R { 12} R, x x2x+1;(a)determinare l immagine dif;(b)dire sef`e iniettiva;(c)in caso affermativo, determinaref (a)L immagine dif`e l insieme delley Rtali che l equazione di incognitax R { 12},x2x+1=y, ammette almeno una soluzione.`E quindi anche uguale all insieme delley Rtali che l equazione diincognitax R{x2x+1=yx = 12, RADICI ARITMETICHE7ammette almeno una equazione `e equivalente a{x= (2x+ 1)yx = equazione di incognitax R,x= (2x 1)y, non ha la soluzionex= 12;quindi l equazione di incognitax R{x= (2x+ 1)yx = 12`e equivalente all equazione di incognitax R,x= (2x+ 1)y ,quindi ax= 2xy+y; quindi a (1 2x)y equazione ha soluzionix Rse e solo se1 2y = 0, cio`e se e solo sey = immagine dif`e quindiR {12}.]]}}}

10 (b)La funzionef`e iniettiva se e solo se per ogniyappartenente all immaginedifl equazione di incognitax R { 12},x2x+1=y, ammette una eduna sola soluzione. Siay R {12}; l equazione sopra `e equivalente all e-quazione di incognitax R,x(1 2y) =y; tale equazione ha una ed unasola soluzionex=y1 2y. quindif`e iniettiva.(c)Si haf 1:R {12} R { 12}, y y1 Radici unm Rper cuim+ 2 m+ 3sia un numero 1 si ham+2 m+3=3 4=32; `e quindi sufficiente sceglierem= approssimativamente il grafico dif:R R, x 1perx <0 xper 0 x 1x 1 perx > 1. NUMERI 1 : [0,+ [ R, x x+ 1 ;(a)disegnare approssimativamente il grafico dif;(b)determinare l immagine dif(si pu`o rispondere utilizzando il grafico dif);(c)provare chef`e iniettiva;(d)determinaref 1;(e)disegnare approssimativamente il grafico dif (a) (b)La proiezione del grafico sull assey`e [1,+ [; si ha quindif([0,+ [) =[1,+ [.Precisamente, sey R,yappartiene all immagine difse e solo sel equazione di incognitax R+ x+ 1 =yammette almeno una equazione `e equivalente all equazione x=y 1 Pery 1<0 l equazione non ha soluzioni; pery 1 0 l equazione `eequivalente ax= (y 1)2; quindi ha soluzioni.]]]]]]]]