Cours de Mécanique des Milieux Continus - mmaya.fr

1 Arts et M tiers ParisTech Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY. Cours de M canique des Milieux Continus Ann e scolaire 2014 2015. Michel MAYA. Arts et M tiers ParisTech Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY. Ce Cours est en constante am lioration en partie gr ce aux retours que vous pouvez apporter par vos commentaires. Ces derniers sont les bienvenus sous forme de mails l'adresse : Dans le cadre des am liorations, un travail est fait pour avoir une version multim dia sonore. L'avancement de ce travail est consultable sur : Mais il est aussi possible de trouver d'autres ressources sur : 26/08/2014 M canique des Milieux Continus Page 2. Arts et M tiers ParisTech Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY. Sommaire Sommaire .. 3. Descriptions de la M canique des Milieux Continus .

2 5. Domaine d' tude .. 5. Hypoth se de continuit .. 6. Variables d' 8. R f rentiels - R p res .. 8. Description Lagrangienne .. 9. Description Eul rienne .. 10. D rivation temporelle .. 11. D formations d'un milieu continu .. 13. Tenseur Gradient .. 13. Exemple dans le cas d'une d formation homog ne triaxiale .. 14. Etude tridimensionnelle des d 14. Interpr tation des r sultats .. 16. Base 18. Tenseur des d formations lin aris .. 18. Etude des petites perturbations .. 21. Directions principales ; d formations principales .. 22. Repr sentations graphiques .. 24. Conditions de compatibilit .. 26. Vitesse de d formation .. 28. Taux de d formation lagrangien .. 28. Taux de d formation eul rien .. 29. Interpr tation du tenseur taux de d formation .. 30. Etat de contrainte dans les Milieux Continus .

3 31. Lois de conservation .. 31. D riv e particulaire d'une int grale de volume .. 31. Th or me de la 32. Th or me de l'int grale nulle .. 33. Expression g n rale d'une loi de conservation .. 33. Contraintes dans un domaine mat riel .. 34. Loi fondamentale de la m canique .. 34. Vecteur contrainte .. 35. Tenseur des 36. Equilibre dynamique .. 38. Propri t s du tenseur des contraintes .. 41. 26/08/2014 M canique des Milieux Continus Page 3. Arts et M tiers ParisTech Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY. Lois de Comportement des Milieux Continus .. 45. Bilan des Equations .. 45. Th or me de l' nergie cin 46. Thermodynamique des Milieux Continus .. 49. Premier Principe de la thermodynamique .. 49. Second Principe de la 50. Equation de la chaleur .. 51.

4 Thermo- lasticit lin 53. Premi re approche de l' lasticit lin aire .. 53. Deuxi me approche de l' lasticit lin aire .. 55. Convention d' criture .. 57. Sym trie plane .. 59. Mat riau orthotrope .. 59. Mat riau isotrope transverse .. 61. Mat riau isotrope .. 62. Elasticit lin aire .. 63. Loi de comportement .. 63. Equations suppl mentaires en lasticit .. 65. Equations de 65. Equations de BELTRAMI .. 66. Crit res de limite 68. Les r sultats d'essai .. 68. Les diff rents crit 71. Les sch mas de r solution .. 73. Th or me d'unicit .. 73. Sch mas de r solution .. 74. Exemple d'application .. 74. Elasticit 78. D finition des tats plans .. 78. Fonction d' 81. Exemple d'application : flexion simple d'une poutre rectangulaire .. 82. Elasticit plane en coordonn es polaires.

5 84. Application en coordonn es polaires .. 85. Quelques formules .. 87. Elasticit lin aire en coordonn es polaires .. 88. 26/08/2014 M canique des Milieux Continus Page 4. Arts et M tiers ParisTech Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY. Descriptions de la M canique des Milieux Continus Domaine d' tude L'objectif de ce Cours est de pr senter (h las succinctement) la m canique des Milieux Continus . Nous allons trouver dans ce Cours l'application du principe fondamental de la m canique tous types de domaines mat riels. En particulier nous pourrons nous int resser aussi bien des domaines ayant des comportements de corps solide ou des comportements de fluide (liquide ou gaz). La g n ralit de ce Cours appara t ainsi vidente. T C. 600. Compression isotherme Il est noter que la distinction 500 entre ces diff rents tats de la mati re Echauffement n'est pas vidente.

6 Ainsi comment ne pas 400 Point critique 374 isobare s'interroger devant le ph nom ne de K. D tente changement d' tat liquide-vapeur-liquide 300 isentropique pour un cycle englobant dans le Vapeur diagramme Temp rature - Entropie le 200 Liquide M lange point K sommet de la courbe d' bullition. 100. diphasique 0 s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 kJ/K kg Le dictionnaire ne nous aide pas particuli rement dans notre d marche de distinction. Ainsi Le Petit Larousse donne les d finitions suivantes : *Fluide Se dit des corps (gaz et liquides) qui n'ayant pas de forme propre, sont d formables sans effort. *Gaz Tout fluide a riforme (qui a les propri t s physiques de l'air (fluide gazeux qui forme l'atmosph re)). Un des trois tats de la mati re, caract ris par la compressibilit et l'expansibilit.

7 *Liquide Qui coule ou qui tend couler. Se dit d'un tat de la mati re pr sent par les corps n'ayant pas de forme propre, mais dont le volume est invariable. *Solide Qui a une forme propre. Comment avec ces d finitions trouver la fronti re entre un solide plus ou moins mou et un liquide plus ou moins visqueux? Le sable est-il un solide ou un fluide? Certaines peintures ont un comportement de solide mais apr s brassage deviennent fluides. Le verre est un solide notre chelle de temps, mais avec les si cles, on constate que c'est un liquide tr s forte viscosit . Le yaourt peut tre consid r comme un fluide . m moire. Et encore nous ne dirons rien des Alliages M moire de Forme (AMF). 26/08/2014 M canique des Milieux Continus Page 5. Arts et M tiers ParisTech Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY.

8 Comme on peut le constater, la d termination n'est pas simple et peut tre fonction de nombreux param tres (Pression, Temp rature, Temps ..). En cons quence, on peut consid rer que la d marche du m canicien qui consiste regrouper dans un seul enseignement l' tude m canique de ces diff rents tats de la mati re est l gitime, mais quelle risque de se heurter de nombreuses difficult s. L' tude de ces diff rents comportements est appel e la Rh ologie. Pour mener bien une tude de m canique, la notion de r f rentiel est essentielle. D'une part, afin de conna tre les volutions cin matiques d'un domaine mat riel on devra lui associer un r f rentiel, et d'autre part le Principe Fondamental de la M canique s'appuie sur l'existence d'un rep re privil gi appel "Rep re Galil en".

9 Un rep re est d fini par la donn e d'une base vectorielle associ e une origine. Il est noter qu'en aucun cas il n'est fait l'obligation d'une base orthonorm e. Bien videment, pour des questions de simplifications, nous essaierons toujours d'employer de telle base, mais nous pourrons aussi constater que suite aux d formations impos es notre domaine, nous ne pourrons pas constamment conserver cette notion d'orthogonalit . Le m canicien est ainsi tout naturellement guid vers l'utilisation des notations tensorielles. A ce sujet, il est noter que l'alg bre et l'analyse tensorielle profess es en math matique sont des enseignements directement issus de notions m caniciennes. Le mot tenseur ne provient-il pas du mot tension ? Ainsi on peut constater ce que la science m canicienne a apport la connaissance des autres sciences.

10 Cette remarque peut aussi bien s'adapter aux m thodes de r solutions num riques fortement issues de la m thode des l ments finis. Hypoth se de continuit . Nous allons orienter notre tude sur des domaines mat riels Continus subissant des transformations continues. Dans cette simple phrase on peut constater l'importance de l'hypoth se de continuit . De nouveau le Petit Larousse ne nous est que d'un faible secours (Continu : non divis dans son tendue, non interrompu dans sa dur e). Continuit du domaine mat riel tudi . Pour le physicien, la continuit du domaine sera traduite math matiquement par le fait que les fonctions caract ristiques du domaine sont des fonctions continues au sens math matique du terme. Ainsi, si on consid re des grandeurs physiques telles que la masse volumique, la temp rature, la pression, on doit pouvoir les repr senter par des fonctions continues.