Cours de mécanique quantique - Université Grenoble Alpes

1 1. Notes de Cours sur M canique quantiquela Universit Joseph Fourier, Grenoble ;. Master Physique M1. (version : 11 novembre 2015). Fr d ric Faure ~faure 2. Table des mati res Introduction .. 9. Rappels de m canique classique .. 11. I Les fondements 17. 1 Une particule quantique sans spin, 1 dimension (I) 19. Espace des tats : les fonctions d'ondes .. 19. Espace vectoriel des fonctions d'ondes .. 19. Exemples importants .. 20. Le produit scalaire .. 23. Vecteur dual, espace dual .. 25. Op rateurs di rentiels x , p , H .. 26. D nitions .. 26. Op rateurs lin aires.

2 27. Op rateurs adjoints et autoadjoints .. 28. volution d'un tat quantique .. 30. L' quation d' volution .. 30. Exemples d' volutions d'ondes (images et lms) .. 31. Bases, et changement de bases .. 41. Base orthonorm e .. 41. Relation de fermeture .. 43. Expression d'un op rateur dans une base .. 44. Changement de base (*) .. 45. Spectre d'op rateurs .. 45. D nition et propri t s g n rales .. 45. Spectre de l'op rateur x , base de position .. 48. Spectre de l'op rateur p , base d'impulsion .. 51. Spectre de l'op rateur H , base des tats stationnaires .. 53. Spectre d'op rateur et r sultat d'une mesure.

3 57. Op ration id ale de mesure d'un syst me quantique .. 57. Sur la di cult d'interpr ter la m canique quantique .. 64. Valeurs moyenne et variance de l'observable .. 66. Relation d'incertitude et relations de commutation .. 70. 3. 4 TABLE DES MATI RES. R sum du chapitre 1 .. 72. Fonction d'onde .. 72. Evolution d'un tat quantique t (x) .. 75. Signi cation probabiliste de la fonction d'onde (x) .. 79. Conseils de Lecture .. 85. 2 Une particule quantique sans spin 1 dimension (II) 87. Interpr tation des op rateurs x , p , H comme g n rateurs .. 87. H g n re les translations dans le temps.

4 87. Groupe des translations des tats quantiques en espace .. 92. Groupe des translations en impulsion (*) .. 94. G n rateurs en m canique classique (*) .. 95. Repr sentation de Heisenberg (*) .. 96. Le potentiel harmonique ; Spectre de H et volution .. 98. Importance du potentiel Harmonique en physique .. 98. R solution alg brique du spectre .. 102. Application : Mod le d'Einstein (1907) sur la capacit calori que des mat riaux .. 110. Application : les modes quantiques du champ lectromagn tique dans le vide.. 112. Un e et surprenant du vide quantique de photons : la force de Casimir (1948).

5 118. (*) Les tats coh rents et leur volution par l'oscillateur harmonique 120. Correspondances classique- quantique l'aide du paquet d'onde Gaussien . 130. Comptage semi-classique du nombre d' tats. La loi de Weyl.. 130. Applications .. 133. (*) R gle de quanti cation semi-classique de Bohr-Smmerfeld .. 136. (*) Repr sentation quantique dans l'espace de phase .. 139. Conseils de Lecture .. 143. 3 Une particule 3 dimensions sans spin 145. Une particule 3 dimensions sans spin .. 145. Espace des tats H .. 145. L'espace H comme produit tensoriel H = Hx Hy Hz .. 146.

6 (*) L'oscillateur Harmonique 2 dimensions .. 149. Particule charg e dans un champ lectromagn tique .. 149. Dynamique classique et invariance de Jauge .. 150. quation de Schr dinger et invariance de Jauge quantique .. 153. E et Aharonov-Bohm .. 155. Interpr tation g om trique de l'invariance de Jauge quantique , et autres th ories de Jauges (*) .. 157. Remarque importante sur la n cessit d'une th orie quantique du champ lectromagn tique .. 168. TABLE DES MATI RES 5. (*) Niveaux de Landau et spectre fractal de Hofstadter .. 169. Conseils de Lecture .. 171. 4 Particule de spin 1/2 173.

7 L'espace des tats de spin .. 173. Rotation de 2 et 4 d'un spin .. 176. G n rateurs des rotations et matrices de rotation .. 177. (*) Repr sentation de l' tat de spin sur la sph re de Bloch .. 181. Groupe SU(2) de rotation du spin, et relations de commutation .. 184. Non commutativit du groupe et relations de commutation .. 184. Rotation autour d'un axe ~u quelconque .. 187. (*) Alg bre de Lie des rotations .. 188. (*) Groupe de Lie des rotations .. 188. (*) Repr sentation des op rateurs de rotation dans une base : groupe des matrices SU(2) .. 189. (*) Espace quantique total d'une particule 3 dimensions avec spin 1/2.

8 190. Remarques .. 190. Une base de Htot et champ spinoriels .. 190. Autres degr s de libert internes .. 191. Mesure de spin, application r cente : la Cryptographie quantique .. 192. Cryptographie classique sym trique clef secr te .. 192. Le protocole pour partager une clef secr te .. 193. Interaction du spin avec le champ lectromagn tique .. 195. Cas de l' lectron .. 195. Autres particules de spin 1/2 .. 196. volution du spin seul, pr cession de Larmor .. 197. R sonance Magn tique Nucl aire ( ) et Imagerie Magn tique R sonante ( ) .. 199. Conseils de Lecture.

9 202. 5 Plusieurs particules 203. Plusieurs particules discernables .. 203. Pour deux particules .. 203. Op rateurs de Htotal .. 204. Pour N particules .. 204. Non localit de la m canique quantique , le paradoxe .. 205. tats enchev tr s : tats surprenants de l'espace total .. 205. Description quantique orthodoxe .. 205. Objection de Einstein-Podolsky-Rosen ( ) sur la non localit . (1935) .. 208. Th ories locales variable cach es et in galit s de Bell (1964) .. 209. Violation de l'in galit par la m canique quantique (1976) .. 210. Egalit de (1989) .. 212. 6 TABLE DES MATI RES.

10 Plusieurs particules identiques .. 217. Deux particules identiques .. 217. Plusieurs particules identiques .. 220. Aper u sur les particules l mentaires et forces l mentaires (*) .. 224. Liste des particules l mentaires .. 224. Les particules compos es .. 226. II Outils et m thodes 229. 6 Sym tries et r gles de conservation 231. Propri t s et m thodes de base .. 231. Spectre commun de deux op rateurs qui commutent .. 231. Application : recherche du spectre de H .. 232. Loi de conservation et groupe de sym trie dynamique .. 233. Impulsion totale et conservation.