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Cours de m ecanique des uides - perso.mines-albi.fr

Cours de m ecanique des fluides Olivier LOUISNARD. 25 septembre 2012. i Cette cr eation est mise `a disposition selon le Contrat Paternit e-Pas d'Utilisation Commerciale-Pas de Modification France disponible en ligne http ou par courrier postal a`. Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA. Sommaire Introduction 3. 1 Description d'un fluide 7. Qu'est-ce qu'un fluide ? .. 7. Propri et es.. 8. Description comme un milieu continu.. 8. S eparation des echelles .. 8. D efinition de la masse volumique .. 10. Vitesse et quantit e de mouvement .. 12. Grandeurs energ etiques .. 12. Grandeurs locales et globales .. 13. Volume fixe ou mobile ? .. 14. 2 Introduction aux bilans 15.

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1 Cours de m ecanique des fluides Olivier LOUISNARD. 25 septembre 2012. i Cette cr eation est mise `a disposition selon le Contrat Paternit e-Pas d'Utilisation Commerciale-Pas de Modification France disponible en ligne http ou par courrier postal a`. Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA. Sommaire Introduction 3. 1 Description d'un fluide 7. Qu'est-ce qu'un fluide ? .. 7. Propri et es.. 8. Description comme un milieu continu.. 8. S eparation des echelles .. 8. D efinition de la masse volumique .. 10. Vitesse et quantit e de mouvement .. 12. Grandeurs energ etiques .. 12. Grandeurs locales et globales .. 13. Volume fixe ou mobile ? .. 14. 2 Introduction aux bilans 15.

2 Introduction intuitive .. 15. Transport diffusif et convectif .. 17. Qu'est ce qu'un flux ? .. 17. Transport diffusif (parenth`ese) .. 18. Flux convectif .. 19. Bilan d'une grandeur volumique dans un milieu continu .. 23.. Ecriture g en erale .. 23. iii iv SOMMAIRE. Une g eom etrie particuli`ere : le tube de courant .. 24. Une approximation utile : l' ecoulement piston .. 25.. Equations de conservation pour un fluide .. 29. Conservation de la masse .. 29. Conservation de la quantit e de mouvement .. 29. Conservation de l' energie .. 30. Synth`ese .. 31. 3 Forces exerc . ees sur un fluide 33. Introduction .. 33. Force volumiques .. 33. Forces de contact : pression .. 34. Origine microscopique.. 34. Equilibre d'une colonne d'eau.

3 36. G en eralisation.. 38. Loi de l'hydrostatique.. 39. Applications.. 40. Extension en r ef erentiel non galil een.. 41. Pouss ee d'Archim`ede.. 42. Moment des forces de pression.. 43. Forces de contact : frottement visqueux.. 44. Mise en evidence : exp erience de Couette.. 44. La viscosit e.. 45. Origine microscopique.. 46. Le nombre de Reynolds.. 46. Le mod`ele de fluide parfait.. 48. SOMMAIRE v . Ecriture tensorielle des forces de contact .. 49. 4 Equations du mouvement d'un fluide 53. Sous forme de bilans volumiques .. 53. Conservation de la masse.. 53. Conservation de la quantit e de mouvement.. 54. Conservation de l' energie.. 56. Compl ement : th eor`eme de l' energie cin etique.. 57. Conditions aux limites.

4 58. Application aux ecoulements en tuyauterie.. 60. Pr eliminaire.. 60. Conservation de la masse.. 60. Conservation de la quantit e de mouvement.. 61. Conservation de l' energie.. 63. Th eor`eme de l' energie cin etique.. 65.. Equations locales.. 67. Contexte .. 67. Obtention .. 67. Un jeu d' equations complet ? .. 70. Cas du fluide incompressible .. 70. 5 Mouvement du fluide parfait incompressible. Formule de Bernoulli 73. Rappel des hypoth`eses et equations .. 73. Formule de Bernoulli .. 75. Hypoth`eses-Enonc e .. 75. D emonstration .. 75. Commentaires .. 75. vi SOMMAIRE. Applications .. 76. Probl`emes de vidange .. 76. Pression dynamique. Forces sur un obstacle.. 78. Notion de charge .. 80. 6 Pertes et gains de charge.

5 Formule de Bernoulli g . en . eralis . ee 82. Formule de Bernoulli g en eralis ee .. 82. Frottement visqueux : v 6= 0 .. 83. Pertes de charge r eguli`eres .. 84. Pertes de charge singuli`eres .. 85. Exemple .. 85. u=. Cas des machines tournantes : W 6 0 .. 88. Turbines, moulins, eoliennes .. 88. Pompes .. 89. Applications aux r eseaux de fluide .. 91. Circuit ferm e .. 91. Caract eristique d'une pompe .. 91. Point de fonctionnement .. 92. 7 Equations de Navier-Stokes 95. Le mod`ele de fluide newtonien .. 95. Approche par l'exp erience de Couette .. 95. Equations du mod`ele newtonien .. 97. Le tenseur gradient de vitesses.. 98. Equations de Navier-Stokes .. 99. Adimensionnalisation .. 100. Classification des ecoulements.

6 102. SOMMAIRE vii Diffusion de quantit e de mouvement et viscosit e cin ematique . 103. Deux ecoulements visqueux unidirectionnels .. 104. Ecoulement de Couette .. 104. Ecoulement de Poiseuille .. 105. G en eralisation : ecoulements unidirectionnels .. 109. Mise en equation .. 109. Cas stationnaire. Perte de charge .. 110. Cas instationnaire. Diffusion de quantit e de mouvement .. 110. 8 Ecoulements rampants 113. Equations .. 113. Propri et es des ecoulements rampants .. 114. R eversibilit e temporelle .. 114. R eversibilit e spatiale .. 115. Equation de la vorticit e .. 115. Applications .. 117. Force sur un obstacle .. 117. Rh eologie des suspensions .. 118. Micro-fluidique .. 119. 9 Couche limite 121. Pr esentation g en erale.

7 121. Etude sans equations .. 122. Observations exp erimentales.. 122. Analyse dimensionnelle.. 123. Physique des couches limite.. 124. Frottement a` la paroi. Coefficients de train ee .. 126. SOMMAIRE 1. R esultats pratiques pour la plaque plane.. 128. Th eorie de Prandtl.. 129. Principe g en eral .. 129. Cas de la plaque plane : solution auto-similaire et equation de Blasius .. 132. D ecollement des couches limites .. 135. Cas d'un profil auto-similaire. Equation de Falkner-Skan .. 137. Cas d'un profil non auto-similaire.. 139. Forces de train ee .. 140. Train ee de pression et tra n ee visqueuse .. 140. Train ee sur diff erents profils .. 143. A Puissance du poids et premier principe 147. B Quelques formules d'analyse vectorielle 149.

8 Terme convectif de l' equation de Navier-Stokes .. 149. Formules de Green et Ostrogradski .. 149. D erivation de produits .. 150. D eriv ee particulaire .. 150. Analyse vectorielle en coordonn ees cylindriques .. 151. C Rappel sur les forces d'inertie 153. Rappel : composition des acc el erations .. 153. Forces d'inertie .. 154. D D . emonstration du th . eor`. eme de l' . energie cin . etique 155. E Diverses formes de l' . equation de conservation de l' . energie 157. Introduction La m ecanique des fluides est une discipline ancienne, d'applications tr`es vari ees et encore en pleine evolution. Il convient de toujours garder a` l'esprit que l' evolution de cette discipline a eu, tout au long de l'histoire de l'humanit e, deux moteurs, fortement imbriqu es : l'explication des ph enom`enes naturels : les vagues, le vent, la force de r esistance sur un corps en mouvement dans l'air ou l'eau, l'aspiration d'une chemin ee, le mouvement des bulles, la chute d'objets l eger (les feuilles des arbres), les vibrations provoqu ees par un ecoulement.

9 L'exploitation des fluides a` des fins pratiques : fabrication d'embarcations, pompage de puits, adduction d'eau, application energ etiques (moulins `a eau ou a` vent), propulsion et sustentation des a eronefs, bateaux, sous-marins, forces de frottement sur les v ehicules ou sur l'homme dans le domaine du sport (cyclisme, natation).. La m ecanique des fluides a cet avantage sur d'autres disciplines de la physique qu'elle fait partie de notre quotidien. Aussi, il est toujours bon d'appr ehender un ecoulement de fluide tout d'abord avec sa seule intuition. Les equations de la m ecanique des fluides ont une structure math ematique complexe, et doivent etre vues comme un ultime recours pour d ecrire ou quantifier un ph enom`ene, l`a ou l'intuition s'arr ete.

10 Les equations ne sont pas la m ecanique des fluides, elles la d ecrivent. Cette accessibilit e ne doit pas masquer cependant le fait que certains aspects, notamment la turbulence, restent encore mal compris, m eme si l'astuce des chercheurs et ing enieurs l'ont rendue accessible `a la simulation quotidienne. A titre de pr eliminaire a` ce Cours , on pourra par exemple se poser les questions suivantes : pourquoi les portes claquent dans un courant d'air ? pourquoi les bulles remontent dans l'eau ? pourquoi un avion ne tombe-t'il pas sous son propre poids ? comment faire monter un fluide d'un point bas `a un point haut ? la quantit e d'eau sortant d'un tuyau par unit e de temps est-elle egale `a celle qui y rentre ?


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