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COURS DE MATHEMATIQUES PREMI´ ERE ANN` EE (L1)´ …

COURS DE MATHE MATIQUES PREMIE RE ANNE E (L1). UNIVERSITE DENIS DIDEROT PARIS 7. Marc HINDRY. Introduction et pre sentation. page 2. 1 Le langage mathe matique page 4. 2 Ensembles et applications page 8. 3 Groupes, structures alge briques page 23. 4 Les corps des re els R et le corps des complexes C page 33. 5 L'anneau des entiers Z page 46. 6 L'anneau des polyno mes page 53. 7 Matrices page 65. 8 Espaces vectoriels page 74. 9 applications line aires page 84. 10 Introduction aux de terminants page 90. 11 Ge ome trie dans le plan et l'espace page 96. Appendice : Re sume d'alge bre line aire page 105. 12 Suites de nombres re els ou complexes page 109. 13 Limites et continuite page 118.

14 D´eriv´ees et formule de Taylor page 125 15 Int´egration page 135 ... Nous avons essay´e d’agr´ementer le cours d’applications et de motiva-tions provenant de la physique, de la chimie, de l’´economie, de l’informatique, des sciences ... raccourci des “formules” est notamment une aide pr´ecieuse pour l’esprit).

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1 COURS DE MATHE MATIQUES PREMIE RE ANNE E (L1). UNIVERSITE DENIS DIDEROT PARIS 7. Marc HINDRY. Introduction et pre sentation. page 2. 1 Le langage mathe matique page 4. 2 Ensembles et applications page 8. 3 Groupes, structures alge briques page 23. 4 Les corps des re els R et le corps des complexes C page 33. 5 L'anneau des entiers Z page 46. 6 L'anneau des polyno mes page 53. 7 Matrices page 65. 8 Espaces vectoriels page 74. 9 applications line aires page 84. 10 Introduction aux de terminants page 90. 11 Ge ome trie dans le plan et l'espace page 96. Appendice : Re sume d'alge bre line aire page 105. 12 Suites de nombres re els ou complexes page 109. 13 Limites et continuite page 118.

2 14 De rive es et formule de taylor page 125. 15 Inte gration page 135. 16 Quelques fonctions usuelles page 144. 17 Calcul de primitives page 153. 18 Inte grales impropres page 162. 19 Courbes parame tre es et de veloppements limite s page 167. 20 Equations diffe rentielles page 178. 21 Fonctions de plusieurs variables page 189. 1. Tous les chapitres sont importants. Le premier chapitre est volontairement bref mais fondamental : il y aura inte re t a revenir sur les notions de langage mathe matique et de raisonnement tout au long du COURS , a l'occasion de de monstrations. Les chapitre 19. et 20 reposent sur une synthe se de l'alge bre (line aire) et de l'analyse (calcul diffe rentiel et inte gral) tout en e tant assez ge ome triques.

3 Le chapitre 21 (fonctions de plusieurs variables). appartient en pratique pluto t a un COURS de deuxie me anne e; il a e te ajoute pour les e tudiants de sirant anticiper un peu ou ayant besoin, par exemple en physique, d'utiliser les fonctions de plusieurs variables et de rive es partielles, de s la premie re anne e. L'ordre des chapitres. L'ordre choisi n'est que l'un des possibles. En particulier on pourra vouloir traiter l' analyse (chapitres 12-20) en premier : pour cela on traitera d'abord le chapitre sur les nombres re els et complexes (ou la notion de limite est introduite tre s to t), le principe de re currence et on grapillera quelques notions sur les polyno mes et l'alge bre line aire.

4 La se quence d'alge bre line aire (chapitres 7-11) est tre s inspire e de la pre sentation par Mike Artin (Algebra, Prentice-Hall 1991) mais on peut choisir bien d'autres pre sentations. On pourra aussi par exemple pre fe rer e tudier Z avant R et C (du point de vue des constructions, c'est me me pre fe rable!). Le chapitre 16 sur les fonctions usuelles peut e tre aborde a peu pre s a n'importe quel moment, quitte a s'appuyer sur les notions vues en terminale. Nous refusons le point de vue : .. cet ouvrage part de ze ro, nous ne supposons rien . Au contraire nous pensons qu'il faut s'appuyer sur les con- naissances de terminale et sur l'intuition (notamment ge ome trique).

5 Il semble parfaitement valable (et utile pe dagogiquement) de parler de droites, courbes, plans, fonction exponen- tielle, logarithme, sinus, etc .. avant de les avoir formellement introduit dans le COURS . Il semble aussi dommage de se passer comple tement de la notion tre s intuitive d'angle sous pre texte qu'il s'agit d'une notion de licate a de finir rigoureusement (ce qui est vrai). Illustrations : Nous avons essaye d'agre menter le COURS d' applications et de motiva- tions provenant de la physique, de la chimie, de l'e conomie, de l'informatique, des sciences humaines et me me de la vie pratique ou re cre ative. En effet nos pensons que me me si on peut trouver les mathe matiques inte ressantes et belles en soi, il est utile de savoir que beaucoup des proble mes pose s ont leur origine ailleurs, que la se paration avec la physique est en grande partie arbitraire et qu'il est passionnant de chercher a savoir a quoi sont applique es les mathe matiques.

6 Indications historiques Il y a he las peu d'indications historiques faute de temps, de place et de compe tence mais nous pensons qu'il est souhaitable qu'un COURS contienne des allusions : 1) au de veloppement historique, par exemple du calcul diffe rentiel 2) aux proble mes ouverts (ne serait-ce que pour mentionner leur existence) et aux proble me re solus disons dans les dernie res anne es. Les petites images (mathe matiques et philathe liques). incluses a la fin de certains chapitres sont donc une invitation a une recherche historique. Importance des de monstrations Les mathe matiques ne se re duisent pas a l'exac- titude et la rigueur mais quelque soit le point de vue avec lequel ont les aborde la notion de de monstration y est fondamentale.

7 Nous nous efforc ons de donner presque toutes les de - monstrations. L'exception la plus notable est la construction des fonctions cosinus et sinus, pour laquelle nous utiliserons l'intuition ge ome trique provenant de la repre sentation du cercle trigonome trique ; l'inte grabilite des fonctions continues sera aussi en partie admise. 2. Il y a la une difficulte qui sera leve e avec l'e tude des fonctions analytiques (faite en seconde anne e). Difficulte des chapitres Elle est ine gale et bien su r difficile a e valuer. Certains chapitres de veloppent essentiellement des techniques de calculs (chapitres 6, 7, 10, 16, 17, 18, 19, 20), le chapitre 11 reprend du point de vue de l'alge bre line aire des notions vues en terminales, d'autres de veloppent des concepts (chapitres 2, 3, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 15) et sont donc en ce sens plus difficiles ; le chapitre 14 est interme diaire dans cette classification un peu arbitraire.

8 Enfin le chapitre 21 n'est destine a e tre appronfondi qu'en deuxie me anne e. Re sume s En principe les e nonce s importants sont donne s sous l'ente te the ore me . suivis par ordre de croissant d'importance des propositions et des lemmes . Un re su- me de chaque chapitre peut donc e tre obtenu en rassemblant les e nonce s des the ore mes (et les de finitions indispensables a la compre hension des e nonce s). Nous avons seulement inclus un chapitre re sumant et synthe tisant les diffe rents points de vue de veloppe s en alge bre line aire (apre s le chapitre 11). Archime de [A ] ( 287 212). Al Khwa rizm (fin VIIIe , de but IXe ). 3. CHAPITRE 1 LE LANGAGE MATHE MATIQUE.

9 Ce chapitre, volontairement court, pre cise les modalite s du raisonnement mathe matique. En effet on n'e crit pas un texte mathe matique comme un texte de langage courant : ce serait the oriquement possible mais totalement impraticable pour de multiples raisons (le raccourci des formules est notamment une aide pre cieuse pour l'esprit). Une de finition pre cise le sens mathe matique d'un mot ; par exemple : De finition: Un ensemble E est fini si il n'est pas en bijection avec lui-me me prive d'un e lement. Un ensemble est infini si il n'est pas fini. On voit tout de suite deux difficulte s avec cet exemple : d'abord il faut avoir de fini ensemble (ce que nous ne ferons pas) et e tre en bijection (ce qu'on fera au chapitre suivant) pour que la de finition ait un sens ; ensuite il n'est pas imme diat que la de finition donne e co ncide avec l'ide e intuitive que l'on a d'un ensemble fini (c'est en fait vrai).

10 Un e nonce mathe matique (nous dirons simplement e nonce ) est une phrase ayant un sens mathe matique pre cis (mais qui peut e tre vrai ou faux) ; par exemple : (A) 1=0. (B) Pour tout nombre re el x on a x2 0. (C) x3 + x = 1. sont des e nonce s ; le premier est faux, le second est vrai, la ve racite du troisie me de pend de la valeur de la variable x. Par contre, des phrases comme les fraises sont des fruits de licieux , j'aime les mathe matiques sont clairement subjectives. L'affirmation : l'amiante est un cance roge ne provoquant environ trois mille de ce s par an en France et le campus de Jussieu est floque a l'amiante n'est pas un e nonce mathe matique, me me si l'affirmation est exacte.


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