Cours de Physique Statistique - ENS

1 Cours de Physique Statistique ric Brunet, J r me Beugnon, lie Wandersman8 septembre 2015On sait en quoi consiste cemouvement brownien. Quand on ob-serve au microscope une particule inanim equelconqueau sein d unfluide en quilibre contenu dans une petite cuve immobile et fer-m e, on constate que cette particule ne demeure jamais en repos :elle va, vient, monte, descend, remonte, tournoie, dans une agitationparfaitement irr guli re, qui, temp rature constante, garde ind fi-niment la m me activit moyenne, et qui est d autant plus vive quela particule est plus petite. Nulle cause ext rieure n intervient, et l onest forc de conclure avec Wiener (1863) que l agitation est caus e par des mouvements internes caract ristiques de l tat fluide ,que la particule suit d autant plus fid lement qu elle est plus est l un caract re profond de ce qu on appelle un fluideen quilibre.

2 Son repos apparent n est qu une illusion due l imperfection de nos sens et correspond un certainr gime permanent d agitation intime, violente et d sor-donn sur les travaux scientifique de Perrin, 1923 notes de Cours ont t r dig es au fil des ann es par Claire Lhuillier jusqu en 2007, puis ont t reprises par ric vous souhaitez compl ter vos connaissances, la bibliographie sur la thermodynamique et laphysique Statistique est immense. Voici n anmoins quelques titres C. Lhuillier et J. Rous,Introduction la thermodynamique, Dunod, 1994, B. Jancovici,Thermodynamique et Physique Statistique , collection 128, Nathan, 1996, Hung T. Diep, Physique Statistique , ellipses, 2006 (une mine d exercices), B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer, B. Roulet, Physique Statistique , Hermann 1989 (une r f -rence tr s compl te et tr s dense), D.

3 L. Goodstein,States of MatterEnglewood Cliffs, 1975 (en anglais, niveau plus lev ).2 Table des mati res1 Un verre d eau .. Perspective historique .. Du microscopique au macroscopique .. D finition l mentaire de la temp rature .. Pression .. nergie potentielle : l exemple de l atmosph re isotherme .. Remarques finales .. Annexe : la pression d un gaz parfait .. 122 Notions de combinatoire et de probabilit La combinatoire .. Addition, multiplication, puissance .. La factorielle .. Les arrangements et les combinaisons .. Le raisonnement combinatoire .. Probabilit s .. Probabilit s discr tes .. Variables al atoires et esp rance .. Variance et cart type .. Probabilit s continues .. La distribution gaussienne.

4 Le th or me central limite .. R ponses aux questions .. 233 Rappels de Introduction .. L nergie interne .. L entropie et le deuxi me principe de la thermodynamique .. Diff rentielles et d riv es partielles .. Autres potentiels thermodynamiques .. Exemple du gaz parfait .. 304 Ensemble Un exemple : une assembl e de spins .. Les hypoth ses microcanoniques .. Retour l assembl e de spins .. Conclusion du chapitre .. 3935 Retour sur le deuxi me principe de la Loi de distribution d une variable interne .. Un premier exemple tr s simple .. Th orie g n rale .. Fluctuations autour de l quilibre .. Caract risation thermodynamique de l tat le plus probable .. Retour sur le deuxi me principe .. Comportement de l entropie de Boltzmann.

5 Volution d un syst me au voisinage de l tat d quilibre .. Conclusion du chapitre .. 476 Le gaz parfait monoatomique dans la description Calcul classique .. Calcul deWpositions.. Calcul deWimpulsions.. R sultat du calcul classique .. Calcul quantique .. tats propres d une particule libre .. Syst me deNparticules libres .. 547 Ensemble Loi de probabilit dans l ensemble canonique .. Propri t s thermodynamiques dans l ensemble canonique .. L nergie interne .. L nergie libre .. L entropie, la pression, le potentiel chimique .. Factorisation deZpour des particules sans interaction .. Un premier exemple .. Cas g n ral .. particules discernables et indiscernables .. Premier exemple : l assembl e deNspins.

6 Deuxi me exemple : les oscillateurs harmoniques .. G n ralisation de la factorisation .. Mol cule diatomique .. Solide paramagn tique .. La limite classique .. nergie cin tique moyenne .. Th or me d quipartition de l nergie .. Syst me gel s (ou, la Arrh nius, thermiquement activ ) .. Conclusion du chapitre .. 718 Thermodynamique des gaz atomiques et mol Calcul de la fonction de partition associ e la translation .. Introduction de la densit d tats .. Longueur d onde thermique de de Broglie .. Propri t s thermodynamiques du gaz parfait monoatomique .. Thermodynamique des gaz parfaits diatomiques .. Contribution des termes de vibration .. Contribution des termes de rotation .. Allure g n rale du r sultat final.

7 G n ralisation aux mol cules de plus de deux atomes .. Conclusion du chapitre .. 829 Gaz r els en champ moyen, transition de Gaz r els .. Le potentiel de Lennard-Jones .. La fonction de partition .. L quation de van der Waals .. Transitions et diagrammes de phases d un corps pur .. Diagramme de Clapeyron .. Diagramme de phases .. Condition d quilibre d un corps pur sous diff rentes phases .. Compr hension qualitative de la forme du diagramme des phases .. quation des courbes de coexistence du diagramme de phases .. Chaleur latente de changement de phase, relation de Clapeyron .. 9410 Gaz de photons, rayonnement du corps nergie contenue dans un four .. Le rayonnement du corps noir .. Conclusion .. 10111 Vibrations du r seau cristallin des solides, Le mod le classique.

8 Mod le d Einstein .. Mod le de Debye .. D composition en modes propres .. Trois approximations .. R sultat final .. Conclusion .. 11112 Ensemble grand-canonique, statistiques Loi de probabilit grand-canonique .. Factorisation de la grande fonction de partition .. Statistiques quantiques des gaz parfaits .. Limite classique .. quation d tat .. 11813 Le gaz parfait de Le taux d occupation d un tat quantique .. Le gaz parfait de fermions temp rature nulle .. Corrections temp rature non nulle .. Conclusion .. 12414 Le gaz parfait de bosons Signe du potentiel chimique .. Physique du gaz de bosons en dessous de la transition de Bose-Einstein .. Conclusion .. 12856 Chapitre Un verre d eauConsid rons un verre contenant 10 cl d eau pure.

9 L eau p se 100 g, se trouve une pressionambiante de 1 atm et une temp rature de 20 C. Elle est constitu e de 3,31024particules1(desmol cules deH2 Oqui font environ un angstr m, soit10 10m) qui tournent, vibrent et se d placentdans tous les sens. Leur vitesse est de l ordre de 640 m/s, mais comme il n y a que quelquesangstr ms entre deux particules , les chocs sont tr s fr : Recalculer ces nombres (nombre de particules , vitesse, distance entre deuxparticules). Pour la vitesse, on peut utiliser l quation( ).Il est bien s r hors de question d essayer de suivre ces mol cules d eau ind pendamment et deconna tre l tat microscopique du syst me. Mais l exp rience quotidienne est que pour un verred eauau repos, l quilibre, iln est pas utile de conna tre cet tat microscopique; pour conna treles propri t smacroscopiquesdu fluide (par exemple, combien d nergie dois-je lui fournir pouraugmenter sa temp rature de 1 C, va-t-il ou non s vaporer si je le laisse l air libre, etc.)

10 Il suffitde conna tre quatre nombres le nombreNde particules (ou le nombre de moles, ou la masse totale), le volumeVoccup , la pressionpdu liquide, la temp encore, un de ces quatre nombres est redondant : on sait que dans les conditions normales detemp rature et de pression, un litre d eau p se un kilogramme, ce qui nous donne le nombre departicules. Plus g n ralement, il existe unefonction d tat,N= Fonction(V,p,T), qui permet decalculer l un de ces nombres en fonction des trois est donc deux images distinctes qu il faut avoir de ce verre d eau : dans l une,1024particulestournent, vibrent et s agitent dans tous les sens en faisant des collisions incessantes. Dans l autre,on a un fluide au repos, enti rement d crit par quatre nombresmacroscopiques. L objet de lathermodynamique est de d crire les objets du seul point de vue macroscopique partir de quantit scomme la fonction d tat, l nergie interne ou l objet de la m canique statistiqueest d expliquer les propri t s macroscopiques partir des propri t s microscopiquesdes constituants du syst deux th ories concernent essentiellement des syst mes qui,laiss s eux-m mes, n voluent plus de mani re macroscopique ; on dit qu ils sont l quilibrethermodynamique.