Cours de trigonométrie (troisième) - Automaths

1 TRIGONOMETRIE. Emilien Suquet, Faites attention bien mettre votre machine en mode degr . I Cosinus, Sinus et Tangente d'un angle aigu Dans un triangle ABC rectangle en A, on d finit le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle aigu ABC de la mani re suivante : cot oppos ABC AC. sin ABC = = C. hypot nuse BC. Hypot nuse cot adjacent ABC AB C t oppos . cos ABC = =. hypot nuse BC ABC. cot oppos ABC AC A B. tan ABC = = C t adjacent ABC. cot adjacent ABC AB. Remarques : On peut prouver l'existence du sinus et de la tangente de la m me fa on qu'en quatri me. On avait alors utilis le th or me de Thal s pour montrer l'existence du cosinus. AC AB AB. On a aussi avec l'angle ACB : cos ACB = ; sin ACB = ; tan ACB =. BC BC AC. Il n'est pas toujours facile de retenir les trois formules ci-dessus, il est donc astucieux de trouver des moyens mn motechniques pour les retenir.

2 En voil un : CASH : Cosinus = Adjacent Sur Hypot nuse A vous d'en trouver d'autres . Le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle Le sinus et le cosinus d'un angle aigu sont strictement plus n'ont pas d'unit . grands que 0 et strictement plus petits que 1. Lorsque l'on conna t le sinus d'un angle on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant la touche [sin-1] ou [Asn] de votre machine. Exemple : si sin ABC = 0,8 et ABC est un angle aigu alors ABC = 53,13 degr s 0,01 pr s. Lorsque l'on conna t le cosinus d'un angle on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant la touche [cos-1] ou [Acs] de votre machine. Exemple : si cos ABC = 0,5 et ABC est un angle aigu alors ABC = 60 degr s. Lorsque l'on conna t la tangente d'un angle on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant la touche [tan-1] ou [Atn] de votre machine.

3 Exemple : si tan ABC = 0,2 et ABC est un angle aigu alors ABC = 11,30 degr s 0,01 pr s. Conseil : refaites vous-m me les calculs des exemples ci-dessus. 1 II Relations trigonom triques sin x Pour toutes valeurs de x on a : cos2x + sin2x = 1 et tan x =. cos x D monstration dans le cas ou x est une valeur strictement comprise entre 0 et 90 degr s : C. Prenons un triangle ABC rectangle en A tel que ABC = x AB AC AC. On a alors : cos x = , sin x = et tan x =. BC BC BC. x 2 2 A B. cos2x + sin2x = AB + AC = AB2 + AC2 = AB2 + AC2. BC BC BC2 BC2 BC2. On sait que le triangle ABC est rectangle en A. D'apr s le th or me de Pythagore, On a AB2 + AC2 = BC2. BC2. D'o cos2x + sin2x = =1. BC2. AC. sin x BC AC BC AC. = = = = tan x cos x AB BC AB AB. BC. III Exercices types comment s Enonc 1 : d termination d'une distance DEF est un triangle rectangle en D tel que DEF = 30 et DF = 5.

4 Quelle est la mesure de EF ? F Il est fortement conseill de faire une figure m me si cela n'est pas demand dans l' nonc . ? Cela vous vitera bien des erreurs d' tourderie. 5. 30 . D E. DEF est un triangle rectangle en D Cette pr cision est indispensable car la formule que vous allez utiliser ne marche que dans des triangles rectangles. DE. sin DEF = Ecrivez d'abord la formule en toutes lettres. DF. DE. sin 30 =. 5. DE = 5 sin 30. DE = 2,5 N'oubliez pas d'encadrer ou souligner le r sultat. 2 Enonc 2 : d termination d'un angle ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 5 et AC = 7. D terminez la mesure de l'angle ABC 0,01 pr s. C. 7. ? A 5 B. ABC est un triangle rectangle en A. AC. tan ABC =. AB. 7. tan ABC =. 5 On trouve la valeur de l'angle en utilisant la touche [Atn] ou [tan-1] de la calculatrice d'o ABC = 50,19 degr s 0,01 pr s Enonc 3 : utilisation des formules de trigonom trie Soit x la mesure d'un angle aigu tel que cos x = 0,4.

5 1) Calculer la valeur exacte de sin x 2) En d duire la valeur exacte de tan x 1) On a sin2 x + cos2 x = 1. D'o sin2 x + 0,42 = 1. sin2 x + 0,16 = 1. sin2 x = 0,84 Rappelez vous que si X2 = a alors sin x = - 0,84 ou sin x = 0,84 X = a ou X = - a or le sinus d'un angle aigu est compris entre 0 et 1 N'oubliez pas de rappeler la r gle donc sin x = 0,84 Dans l' nonc , on ne demande pas de valeur approch e, il faut donc donner la valeur exacte. sin x 2) On a tan x =. cos x 0,84 On peut arr ter ici si on veut. tan x =. 0,4. 84 1. tan x = . 100 0,4. 2 21 1 21. tan x = =. 10 0,4 2. 3 A. Enonc 4 : attention aux approximations On donne la figure ci-contre qui n'est pas l' chelle. 6. 1) Calculer HA au millim tre pr s. 2) Calculer la mesure de l'angle ABH 0,01 pr s. C. 4. 1). 2. AHC est un triangle rectangle en H H.

6 B. D'apr s le th or me de Pythagore On a AC2 = HA2 + HC2. D'o 62 = HA2 + 42. 36 = HA2 + 16. HA2 = 20. HA = 20. HA 4,5 au mm pr s 2). ABH est un triangle rectangle en H. AH. Donc tan ABH = Il faut absolument prendre la valeur exacte de AH m me si on a demand . BH. la valeur approch e dans la question pr c dente. Il faut toujours viter, si 20 cela est possible, de faire des calculs avec des approximations tan ABH =. 2. On utilise ici la calculatrice et sa touche [Atn] ou [tan-1]. ABH 65,91 degr 0,1 pr s Si nous n'avions pas garder 20 mais pris la valeur approch e 4,5 nous aurions trouv 66,04. 4