Cours Méthode des Éléments Finis

1 R publique Alg rienne D mocratique et Populaire Minist re de l'Enseignement Sup rieur et de la Recherche Scientifique. Universit Abderrahmane Mira Bejaia Facult de Technologie D partement de G nie Civil Cours M thode des l ments Finis Pr par et pr sent par Abdelghani SEGHIR Docteur en Sciences de l universit A. Mira, B jaia, Alg rie Docteur en G nie Civil de l universit Paris-E s t , M a r n e-la-V a l l e , F r a n c e 2005-2014 Table des mati res chapitre 1 Pr sentation de matlab .. 5 Introduction .. 5 Introduction des matrices .. 7 Op rations sur les matrices .. 8 Op rations sur les vecteurs .. 10 Fonctions sur les matrices .. 11 Acc s aux l ments des matrices .. 12 Les boucles dans matlab .. 13 Les testes logiques .. 14 Les Fichiers fonctions .. 15 Application 1 .. 16 Exercice .. 17 Devoir - TP .. 17 chapitre 2 Pr sentation g n rale de la M thode des El ments Finis .

2 1 Introduction .. 1 Historique de la m thode .. 2 Les grandes lignes de la m thode .. 3 Formulation variationnelle .. 5 Forme forte .. 5 Forme faible .. 7 Discr tisation du domaine .. 8 Approximation sur l' l ment .. 9 Approximation polynomiale et approximation nodale .. 9 chapitre 3 Equations diff rentielles et probl mes aux limites .. 11 Equation diff rentielles du premier ordre .. 11 Etapes suivre .. 11 3 Formulation du probl me .. 11 Discr tisation du domaine .. 12 Discr tisation et interpolation sur l l ment .. 13 Propri t s des fonctions de forme .. 14 El ment de type Lagrange .. 15 Matrices l mentaires .. 16 Remarque .. 19 Etape 4 : Assemblage .. 19 Etape 5a : R solution Application des CAL .. 23 Etape 5b : R solution Calcul de la solution .. 24 Etude de la convergence .. 24 Devoir N 2 .. 27 Equations diff rentielles du 2nd ordre.

3 27 Programme matlab .. 29 Comparaison avec l int gration pas pas .. 31 Devoir N 3 .. 33 Programme g n ral pour les quations du 2nd ordre .. 35 Devoir N 4 .. 45 chapitre 4 El ment Barre .. 47 Equation 47 Formulation de l l ment .. 48 Exemple d une tige encastr e .. 50 Structures planes treillis .. 51 Exemple de deux barres .. 56 Techniques d assemblage pour les l ments barres .. 58 Programme d l ments Finis pour l l ment barre .. 59 Saisie des donn es .. 59 Calcul des matrices de rigidit et de masse .. 61 4 Application des conditions d appuis .. 64 R solution du syst me discret .. 66 Programme principal .. 67 TP N 3 .. 70 chapitre 5 El ment Poutre .. 71 Equation 71 Formulation de l l ment .. 75 Formulation variationnelle .. 75 Discr 76 Matrices l mentaires .. 78 Exemple d une poutre console .. 81 Cas d un chargement concentr l extr mit libre.

4 81 Cas d un chargement r parti .. 82 Programme matlab .. 85 Mod le SAP .. 86 Devoir N 6 .. 88 chapitre 1 Pr sentation de matlab Introduction matlab est un logiciel interactif bas sur le calcul matriciel (MATrix LABoratory). Il est utilis dans les calculs scientifiques et les probl mes d ing nierie parce qu il permet de r soudre des probl mes num riques complexes en moins de temps requis par les langages de programmation courant, et ce gr ce une multitude de fonctions int gr es et plusieurs programmes outils test s et regroup s selon usage dans des dossiers appel s boites outils ou "toolbox". Au d marrage de matlab sur un PC, l interface se pr sente comme suit : Figure : fen tre principale de MATALB (version ) Cours MEF Chapitre 1 : Pr sentation de matlab A. Seghir 2005-2014 6 La fen tre principale de matlab contient deux fen tres secondaires pouvant tre d plac es ou ferm es.

5 A droite la fen tre des commandes permet la fois d introduire les commandes ligne par ligne et d afficher les r sultats. Le symbole >> indique l attente d une commande. A gauche, sont imbriqu es en volets les fen tres Workspace, Current Directory et parfois Command History. - Workspace permet d afficher les variables utilis es avec leurs tailles. - Current Directory affiche le chemin d acc s ou le r pertoire en Cours avec tous les fichiers et les sous r pertoires. - Command History affiche les commandes ayant t saisies. Les d clarations et les commandes peuvent aussi tre introduites sous forme d un script dans un fichier texte d extension ".m". matlab est quip d un diteur de texte permettant de saisir les fichiers script. La commande edit prog1 ouvre l diteur et charge le fichier s il existe, sinon l diteur s ouvre sur un fichier vide.

6 La figure suivante L ex cution du script (les commandes une apr s une) se fait l aide du bouton Save and Run ou avec le menu debug/Save and Run ou bien, simplement, en appuyant sur la touche fonction F5. Les r sultats d ex cution sont affich s dans la fen tre des commandes de la m me mani re que si les commandes sont entr es dans cette fen tre. Remarques : Une ligne de commande peut contenir plusieurs instructions s par es par des virgules ou Cours MEF Chapitre 1 : Pr sentation de matlab A. Seghir 2005-2014 7 par des points-virgules. Le r sultat d une instruction suivie par un point-virgule ne sera pas affich . Introduction des matrices matlab fonctionne essentiellement avec des matrices. Les composantes peuvent tre r elles, complexes ou symboliques. Les scalaires sont interpr t s comme des matrices 1 1 !!

7 Il existe plusieurs fa ons pour introduire une matrice dans matlab : 1- Entr e explicitement par liste des l ments >> A = [ ] >> A = [ , ; , ] Les colonnes de la matrice sont s par s par des virgules (,) ou des espaces et les lignes par des points-virgules (;) ou des sauts de ligne (RETURN). 2- G n r e par une fonction interne (built-in function) >>A = eye(3) % matrice identit A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 >>B = ones(3) % matrice carr e contenant des 1 B = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >>C = zeros(2,3) % matrice rectangulaire nulle C = 0 0 0 0 0 0 >>D = diag([1:3]) % matrice dont la diagonale varie de 1 3 D = 1 0 0 0 2 0 Cours MEF Chapitre 1 : Pr sentation de matlab A. Seghir 2005-2014 8 0 0 3 >> A = rand(2,3) % matrice al atoire, un 2eme appel de rand A = % renvois une autre matrice 2 3 3- Entr e partir d un fichier script avec l diteur 4- Charg e partir d un fichier de donn es ou import e d une application.

8 >>load >>A = load(' ') Le fichier contient des valeurs num riques dispos es en tableau. La premi re commande charge les valeurs de la matrice et affecte le nom matrice au r sultat par contre la seconde permet de choisir un nom pour la matrice charg e. La structure du fichier est : 1 5 7 5 4 2 4 2 1 Les espacements entre les composantes peuvent tre irr guliers. Des virgules ou points-virgules peuvent tre utilis s pour s parer les colonnes et les lignes. Une ligne incompl te provoque une erreur d ex cution. Op rations sur les matrices Les op rations matricielles suivantes sont disponibles sous matlab Addition C = A + B Soustraction C = A - B * Multiplication C = A * B ^ Puissance C = A^2 ou C = A * A ' Transpos e C = A' ou C = transpose(A) \ division gauche x = A\b / division droite x = b/A Ces op rations matricielles s appliquent aussi sur des scalaires.

9 Une erreur est provoqu e dans le cas o les rangs des matrices sont incompatibles. Cours MEF Chapitre 1 : Pr sentation de matlab A. Seghir 2005-2014 9 Remarque 1 La division matricielle implique la r solution de syst mes d quations lin aires. Si A est une matrice carr e inversible : x = A\b est la solution du syst me A*x = b, avec x et b sont des vecteurs colonne x = b/A est la solution du syst me x*A = b, avec x et b sont maintenant des vecteurs lignes >> A = [3 2; 4 7] A = 3 2 4 7 >> b = [2;3] b = 2 3 >> x = A\b x = >> A * x ans = 2 3 y = b y = 2 3 >> z = y/A z = >> z * A ans = 2 3 Remarque 2 Si un point est ajout gauche des op rateurs * ^ \ et / ils seront appliqu s sur les l ments des matrices avec correspondance d indices : >> A * A % quivalent A ^ 2 ans = 17 20 Cours MEF Chapitre 1 : Pr sentation de matlab A.

10 Seghir 2005-2014 10 40 57 >> A .* A % quivalent A .^ 2 ans = 9 4 16 49 Op rations sur les vecteurs Les vecteurs sont consid r s comme des matrices rectangulaires d une ligne ou d une colonne. Toutes les op rations matricielles s appliquent sur les vecteurs mais il faut faire attention la correspondance des tailles. Les op rateurs pr c d s d un point sont particuli rement utiles dans les calculs de vecteurs et dans les repr sentations graphiques. Exemples de manipulation de vecteurs : >> a = [2 1 3] % vecteur ligne a = 2 1 3 >> b = [1;3;2] % vecteur colonne b = 1 3 2 >> a * b % produit scalaire ans = 11 >> a .* b' % produit de composantes (remarquer b') ans = 2 3 6 >> x = 0 :1 % vecteur pas fixe x = 0 >> y = x.