Darstellung von Iterationsverfahren zur ...

1 Darstellung von Iterationsverfahren zurNullstellenbestimmung von Funktionen undvisualisierende ComputerexperimenteHausarbeitzur Ersten Staatspr fungf r das Lehramt an Gymnasienim Fach Numerische Mathematikan der Technischen Universit t Chemnitz-Zwickauvorgelegt vonTino HempelChemnitz, den 29. M rz 1996 VorwortSeite IIVorwortDer Lehrplan f r den Mathematikunterricht an Gymnasien fordert bereits in der achtenKlasse die Bestimmung von Nullstellen von einfachen linearen Funktionen. DieseAufgabenstellung wird in den folgenden Klassenstufen mehrfach aufgegriffen und vertieftund findet den schulische Abschlu im Grundkurs 12/II mit dem Thema NumerischeVerfahren (Erg nzungsthema zur Analysis) . Der Lehrplan Gymnasium empfiehlt dabei: Bei der Behandlung dieses Themas sollte auf den Einsatz eines Computersbzw. programmierbaren und grafikf higen Taschenrechners nicht verzichtetwerden. Dabei k nnten sowohl vom Sch ler selbst entwickelte Programmeals auch Standardsoftware (Funktionenplotter, Tabellenkalkulation)verwendet werden.

2 An dieser Stelle setzt meine Hausarbeit an. Neben der mathematischen Beschreibung derIterationsverfahren wurden diese mit den Mathematikprogrammen DERIVE, MathCadund MAYA umgesetzt. Die komplexen Mathematikprogramme Mathematica, Maple undMathLab kamen nicht zum Einsatz, da ihre Bedienung schwierig und ihr Einsatz anSchulen h chst unwahrscheinlich ist. Um keine Bindung an eine Programmiersprachevorzunehmen, habe ich Struktogramme zu den verschiedenen Verfahren Programm DERIVE wurde ausgew hlt, da es schon an vielen Schule eingesetztwird. MathCad 99 bietet sich aufgrund seiner einfachen Bedienung unter WINDOWSund seines g nstigen Preises an. Das Programm MAYA geh rt zu [8] und wurdeausschlie lich zu Visualisierungzwecken der beiliegenden Diskette finden Sie den Sourcecode der beschriebenen Beispiele f rdie beiden Programme DERIVE und MathCad. Das Programm MAYA darf ausurheberrechtlichen Gr nden nicht weitergegeben danken m chte ich meinem Gutachter Herrn Prof.

3 Dr. A. Meyer f r Hinweiseund Diskussionen zu mathematischen , den 29. M rz 1996 Tino HempelInhaltsverzeichnisSeite IIII nhaltsverzeichnis1 LOKALISIERUNG DER DIE GRAFISCHES Funktionsdarstellung mit dem Programm Funktionsdarstellung mit dem Programm Darstellung mittels BISEKTIONSVERFAHREN - Visualisierung mittels Darstellung mittels ALLGEMEINE ITERATION - SUKZESSIVE Mathematische Darstellung mittels Darstellung mittels Darstellung mittels DIE Mathematische Beschreibung des klassischen Iterationsvorschrift und Konvergenz des Verfahrens und Fehlerabsch Darstellung mittels Darstellung mittels Darstellung mittels Mathematische Beschreibung des Modifiziertes Mathematische Beschreibung des Vereinfachten SEKANTENVERFAHREN - REGULA Mathematische Darstellung mittels Darstellung mittels Darstellung mittels Mathematische Darstellung mittels Darstellung mittels Darstellung mittels EinleitungSeite 11 EinleitungZu einem

4 Grundproblem der Mathematik geh rt unter anderem folgendeAufgabenstellung:In einem Intervall [a, b] sei eine reelle Funktion f:[a, b] RR mit einer reellenVer nderlichen x definiert. Gesucht sind Zahlen xn [a, b] mit f(xn) = 0. Solche Zahlennennt man Nullstellen der Funktion f(x) bzw. L sungen (Wurzeln) der Gleichungf(x) = 0. Die Frage, ob und wieviel solche Zahlen xn existieren, h ngt von der gegebenenFunktion f(x) in der Schule werden M glichkeiten der Berechnung dieser Zahlen xn behandelt,allerdings nur f r spezielle Funktionen f(x). F r den Spezialfall eines algebraischenPolynoms der Gestaltfxaxaakkkiki(),= = 00 , R,suchten die Mathematiker lange Zeit nach geeigneten L sungsformeln. F r den Falli = 1 erh lt man eine lineare Gleichung a1x + a0 = 0 mit a1 0. Die gesuchte Nullstelleergibt sich damit zu xaa101= .Die aus der Schule bekannte allgemeine L sungsformel f r quadratische Gleichungenxppq12224,= l t sich zum L sen des Polynoms x2 + px + q = 0 verwenden; sie liefert f r pq240 reelle L f r kubische Gleichungen der Form x3 + a2x2 + a1x + a0 = 0 und Gleichungenvierten Grades der Form x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = 0 lassen sich noch Formels tzeangeben.

5 Allerdings sind diese sehr schwer zu handhaben, da in mehreren Schritten undmit Fallunterscheidungen gearbeitet werden mu . F r allgemeine Polynome f nften oderh heren Grades wiesen GALOIS1 (1832) und ABEL2 (1829) unabh ngig voneinander nach, 1 Evariste Galois (1811 - 1832), franz sischer Mathematiker2 Niels Hendrik Abel (1802 - 1829), norwegischer Mathematiker2 Lokalisierung der NullstellenSeite 2da diese nicht formelm ig durch Wurzelausdr cke l sbar sind. Auch nichtlineareFunktionen lassen im allgemeinen keine Bestimmung von Nullstellen mittelsL sungsformeln oder elementaren Umformungen zu. Die gesuchten Wurzeln errechnetman dann h ufig durch numerische Algorithmen n herungsweise. Diese numerischenAlgorithmen hei en Iterationsverfahren . Iterieren3 im Sinne des L sens der Gleichungf(x) = 0 bedeutet, eine bestimmte mathematische Vorschrift solange zu wiederholen, bisdie gesuchte Nullstelle exakt oder mit einer vorgegebenen Genauigkeit gefunden wird eine erste grobe Lokalisierung der Nullstelle ben Lokalisierung der BegriffsbestimmungEine Lokalisierung der Nullstelle wird durchgef hrt, um einen berblick ber die Lageder Nullstellen von f(x) zu erhalten.

6 Des weiteren ist jede Nullstelle in ein hinreichendkleines Intervall einzuschlie en, so da im Inneren keine weitere Nullstelle liegt. Sind f reine vorgegebene Funktion f(x) Intervalle{}Ixxrnnn= : bekannt, in denen jeweils nur eine Nullstelle xn von f(x) liegt, so sagt man, die Nullstellenvon f(x) sind lokalisiert. Eine gute Lokalisierung liefert bereits erste grobeN herungswerte f r die gesuchten Nullstellen. Im folgenden werden zwei Methoden derLokalisierung Die grafisches BeschreibungDie einfachste Variante der Lokalisierung von Nullstellen einer Funktion ist die grafischeMethode. Dazu zeichnet man mit Hilfe einer Wertetabelle und analytischerUntersuchungen den Graphen der Funktion y = f(x) m glichst genau. Aus der grafischenDarstellung k nnen nun die gesuchten Intervalle f r die Nullstelle abgelesen werden. F rdas Anfertigen einer Skizze von Hand ist es oft g nstiger, die Gleichung f(x) = 0 in die 3 iterare (lat.)

7 = wiederholen2 Lokalisierung der NullstellenSeite 3 Form f1(x) = f2(x) zu bringen. Die Intervalle f r die gesuchten Nullstellen der Funktionf(x) lassen sich dann aus den Schnittpunkten der Funktionen f1(x) und f2(x) rlich kann f r die grafische Darstellung auch ein geeignetes Computerprogrammgenutzt werden. Hierbei sollte beachtet werden, da solche Programme den Graphen nurdurch Berechnung von einzelnen Punkten und anschlie ender Interpolation kann es in Bereichen von Polstellen und starken Ver nderungen der Funktion zuUngenauigkeiten der Darstellung 1: Darstellung der Funktion y = 1/x mit x [-10, 10] durch das Programm Matheass DasProgramm erkannte die Polstelle bei x = 0 nicht. Die falsch eingezeichnete Gerade offeriert einenicht vorhandene 1:F r die Funktion f mitfxxx()= +531soll auf grafischem Wege eine Lokalisierung der Nullstellen erfolgen. Es ist also dieGleichung0315= +xxzu l sen.

8 Es bietet sich eine Umformung dieser Gleichung zuxx531= an. Damit ergeben sich die beiden zu zeichnenden Funktionenf1 mit fxx15()= undf2 mitfxx231()= .2 Lokalisierung der NullstellenSeite 4 Aus der Abb. 2 lassen sich nun folgende Intervalle ablesen:I1 = [-1,5; -1,3],I2 = [0,2; 0,4],I3 = [1,2; 1,3].Abb. 2: Grafische Nullstellenbestimmung der Funktion f(x) = x5-3x+ Funktionsdarstellung mit dem Programm MAYAUm mit dem Programm MAYA zwei Graphen zu zeichnen, w hlt man den Men punktFunktionen - Kurve mehrerer Funktionen aus. In der erscheinenden Eingabemaskem ssen die Funktionen in PASCAL- hnlicher Syntax eingegeben werden. AlsGrundrechenoperatoren finden die Symbole + , - , * und / erdem gilt als Potenzierungsoperator das Symbol ^ . Weiter vordefinierteOperatoren sind in der Hilfe und in [8] beiden Funktionen f1(x) und f2(x) werden mit Definitions- und Wertebereich in dieMaske eingegeben und schlie lich mit F2 Funktionsdarstellung mit dem Programm DERIVEF r die Darstellung mit DERIVE m ssen die beiden Funktionen zun chst im Algebra-Fenster eingegeben werden.

9 Anschlie end erfolgt die grafische Darstellung mit denTastenkombinationen Plot - Plot. Hierbei mu die zu zeichnende Funktion im Algebra-Fenster gew hlt sein. Das Resultat zeigt Abb. Lokalisierung der NullstellenSeite Darstellung mittels MathCadIn MathCad k nnen die Funktionen direkt auf dem Arbeitsfeld erstellt werden. Dazu sindzuerst der Definitionsbereich und anschlie end die beiden Funktionen einzugeben. Diegrafische Darstellung erfolgt nach Wahl des entsprechenden Symbols in der Tool-Boxund der Eingabe der 2:Gegeben sei die Funktion: f(x) := x5 - 3 x - 1mit x := , .. bildet daraus die Funktionen f 1(x) := x5 undf 2(x) := 3 x + 1 Die grafische Darstellung l t eine Einschreibung der Nullstellen die Intervallex*1 [ , -1], x*2 [ , 0] und x*3 [1, ] ()xf2()x,xxAbb. 3: Grafisches Lokalisieren mit Bisektionsverfahren - BeschreibungDas Bisektionsverfahren baut auf den aus der Analysis bekannten Satz von BOLZANO4 ber die Existenz einer Nullstelle einer Funktion auf.

10 Dieser besagt, da bei Forderungder Stetigkeit der Funktion f:[a0, b0] RR und der Bedingung fafb()()000 < immermindestens ein xabfx**(,)() =000 mit existiert. Unter dieser Voraussetzung l t sichleicht eine Vorschrift ableiten, die das Intervall fortw hrend so verkleinert, da darin eineNullstelle von f(x) liegt. 4 Bernhard Bolzano (1781 - 1848), b hmischer Relegionsphilosoph und Mathematiker2 Lokalisierung der NullstellenSeite 6 Bei der Intervallhalbierungsmethode wird, wie der Name schon sagt, das Intervall in derMitte geteilt. Aus dem Vorzeichen des Funktionswertes am Mittelpunkt wirdgeschlossen, in welchem der beiden Teilintervalle sich die gesuchte Nullstelle Mittelpunkt x1 des Intervalls ergibt sich aus dem Ausgangsintervall [a0, b0] durchxab1002=+.Ist nun nicht zuf lligerweise f(x1) = 0 und x1 damit die gesucht Nullstelle, so bestimmtman nun das Teilintervall, indem die Nullstelle liegt.