Transcription of Das Summenzeichen: Σ - mathe online
1 Das Summenzeichen: . Bevor wir das Summenzeichen definieren, ben otigen wir den Begriff der Va- riable. Wir k onnen eine Variable als ein Symbol bezeichnen, an dessen Stelle konkrete Zahlen eingesetzt werden k onnen. Also ist eine Variable eine Art von Platzhalter . H aufig verwendet wer- den dabei X und Y . Dadurch kann man gewisse Berechnungen allgemein durchf uhren, ohne sich auf konkrete Zahlen festlegen zu m . ussen. Wie der Na- me schon sagt, variieren die Realisierungen (=Auspr agungen) einer Variable (im Gegensatz zu einer Konstanten). X k onnte die Anzahl der inskri- bierenden Studenten an der Uni Wien sein. Wobei dieser Wert f ur jedes Jahr variiert! Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Variablen be- steht, X + Y . Dieser Term besteht aus der Summe von 2 Variablen, X und Y . Falls man konkrete Zahlen einsetzt, etwa x = 2 und y = 3, dann wird der Term zu 2 + 3, eine Addition von 2 ganzen Zahlen, dessen Summe 5 ist. Also wird aus X + Y , nachdem man anstatt der symbolischen Platzhalter Zahlen einsetzt, eine 5.
2 Falls man mehrere Realisierungen einer Variablen ( X) hat, aber diese ebenfalls nicht mit ihrem numerischen Wert, sondern symbolisch darstellen will, so versieht man die Variable mit einem Index, x1. ist das Symbol f ur die 1. Realisierung der Variablen, x2 das Symbol f . ur die 2. Realisierung der Variablen, usw. Seien x1 , x2 , x3 , x4 und x5 die K orpergewichte (in kg) von 5 Student- Innen. Die Summe der K orpergewichte ist: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 . Wie man sich vorstellen kann, wird ein derartiger Term mit wachsendem Index sehr un . ubersichtlich. Man verwendet deswegen in der Mathematik den griechischen Buch- staben als Abk . urzung bzw. Symbol f . ur eine Summe. In unserem Beispiel gilt: 5. X. xi = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 . i=1. Unter dem Summenzeichen steht i = 1, u ber steht eine 5. Das bedeutet dass man f . ur das i in xi hintereinander 1 BIS 5 einsetzt und aufsummiert. Wir definieren f . ur einen allgemeinen Bereich i = 1, .. , n : n X. xi = x1 + x2 + + xn.
3 I=1. Die Wahl der Bezeichnung f ur den Summationsindex ist beliebig. Man k onnte ebensogut l, k oder jeden anderen Buchstaben anstatt von i w ahlen! Es gilt: n X n X n X. xi = xl = xk . i=1 l=1 k=1. Statt der Summe n X. xi i=1. ist es manchmal u blich die folgende einfachere Schreibweise zu verwenden: X. xi . i , falls nicht anders angegeben, gilt: n X X. xi = xi . i=1 i
