Datum: 06.01.2010 Anwendung der Integralrechnung

1 Bergische Universit t WuppertalFachbereich COliver PassonDidaktik der AnalysisWintersemester 2009/10 datum : der IntegralrechnungPositive Verst ndnisentwicklung des Lehrplans odererschwerende Verkomplizierung?Carolin : 722383Ba. of apl. FachsemesterE-Mail: H : 738356Ba. of Arts5. FachsemesterE-Mail: Einleitung12. Quantitative Entwicklung des Lambacher Schweizers 13. Qualitative Entwicklung des Lambacher Schweizers Integrieren heiflt Fl Integrieren heiflt Integrieren heiflt Mitteln64. Integralrechnung im Zentralabitur75. Schlussbetrachtung8 Anhang10 Literatur und Quellen141 EinleitungVor knapp vierhundert Jahren unternahm ein vielseitig interessierter undengagierter Mathematiker den Versuch den Rauminhalt von Weinf ssern zuberechnen.

2 Der deutsche Naturphilosoph, Mathematiker und Astronom, Fried-rich Johannes Kepler, hatte sich bereits mit vielen bahnbrechenden Werkeneinen Namen gemacht. Sein Interesse an einer nachpr fbaren Berechnung desFassvolumens ergab sich aus seinem Misstrauen gegen ber der bisher g ngi-gen Weise, das Volumen anhand der Fassdiagonale zu bestimmen. 1615 ver f-fentlichte er seine Ergebnisse in derStereometria Doliorum Vinariorum, die alskeplersche Fassregel in die Geschichte erkenntnisf rderndes El-ement der Entstehungsgeschichte dieser Fassregel liegt in einem Blick auf diePerson und den Kontext ihres Scha ens begr ndet. Der Berechnung lag einaktuelles und praktisches Problem zugrunde. Kepler ging es nicht darum einem glichst abstrakt-theoretische Formel herzuleiten, sondern darum die Nach-pr fbarkeit und Nachvollziehbarkeit seiner Berechnungen in den Vordergrundzu r cken.

3 Dieses Element ist es, das auch heute einen jeden Lehrer leiten der Oberstufenmathematik soll es sein, in den Sch lern ein Verst ndnis f rinnermathematische Dinge auf einer m glichst anschaulichen und praktischenEbene zu wecken. Diese Ausarbeitung behandelt in Kontinuit t dieser Zielaus-richtung die Fragestellung, inwiefern der Lehrplan in den letzten Jahren undJahrzehnten im Hinblick auf die Anwendung der Integralrechnung einer posi-tiven Verst ndnisentwicklung oder aber einer erschwerenden Verkomplizierungfolgt. Als Untersuchungsgrundlage soll das LehrbuchLambacher Quantitative EntwicklungdesLambacher SchweizersEin Vergleich verschiedener Au agen desLambacher Schweizersaus denJahren 1958, 1990 und 2001 liefert interessante Ergebnisse.

4 Bereits ein Blick indas jeweilige Inhaltsverzeichnis gew hrt einen Einblick in die Entwicklung derIntegralrechnung im Unterricht in den letzten f nfzig Jahren. W hrend in derAusgabe des Jahres 1958 noch eine klare Linie zwischen Di erentialrechnungund Integralrechnung gezogen wird, verschwimmt diese Unterscheidung mehrund mehr in den sp teren Au agen. So l sst sich zwar keine exakte Quan-tit tsuntersuchung anstellen, dennoch wird eine Tendenz sichtbar. In der 58erAu age werden dem Thema der Di erentialrechnung in vier Kapiteln etwa 100 Seiten, dem der Integralrechnung in zwei Kapiteln hingegen nur knapp 40 Seiten1F r einen ausf hrlicheren Hintergrund vgl.: Keppler, Johannes: Neue Stereometrie derF sser.

5 Leipzig Schr nkt man die Sicht lediglich auf das Kapitel derAnwendung derIntegralrechnungein, bleiben hierf r nur 22 Seiten. Das Thema der Di eren-tialrechnung wird in der Au age von 1990 noch breiter ausgef hrt. So wird ber einen teils wiederholenden funktionalen Einstieg und ber den Begri desGrenzwertes an die Di erentialrechnung herangef hrt. Diese wird in einem breitangelegten Kapitel zurUntersuchung ganzrationaler Funktionengefestigt, bisschliefllich nach etwa 140 Seiten ein 30seitiger Einstieg in die Integralrechnungerfolgt. In den beiden folgenden Kapiteln steht ein wechselseitiges Anwendenvon Di erential- und Integralrechnung im Blickfeld, wobei ein klarer Schwer-punkt auf die Anwendung der Di erentialrechnung gelegt wird.

6 Erst in einemkurzen, angeh ngten Kapitel zurWeiterf hrung der Integralrechnungwird einzehnseitiger berblick ber vertiefende Strukturen der Integration, ber dieSubstitution und die Produktintegration gegeben. Diese leichte, quantitativkaum feststellbare Zunahme von Integrationsinhalten imLambacher Schweizerbest tigt die Di erentiation als dominierendes Thema der Schulanalysis undstellt den vermehrten Versuch einer inhaltlich-strukturellen Verbindung beiderThemen dar. Dieser Verkn pfungsprozess von Di erentiation und Integrationerm glicht es in der Ausgabe von 2001 kaum noch eine quantitative Aussage ber die Vertretung beider Themen anzustellen. Der Einstieg in die Di erential-rechnung wird stark verk rzt, sodass bereits noch im ersten Drittel des Bucheseine ausf hrlicheEinf hrung in die Integralrechnunggegeben wird.

7 Nach eineminhaltlich verkn pfenden Kapitel zuExponentialfunktionen,folgt ein nochmalsknapp 20 Seiten umfassendes Kapitel zurWeiterf hrung der inhaltliche Aufbau wird mit einem Kapitel zuGebrochenrationalen undtrigonometrischen Funktionenabgerundet. So zeichnet sich diese Au age durchein ausgewogenes Verh ltnis der beiden Hauptthemen der Analysis aus; dies of-fensichtlich zu Ungunsten anderer Themen, wie zum Beispiel denFolgen undReihen, die 1958 noch einen nicht unerheblichen Teil des Analysisbuches inAnspruch genommen weiteres Ph nomen, das sich in dem Vergleich der Inhaltsverzeichnisseder verschiedenen Au agen beobachten l sst, ist die unterschiedliche Unter-bringung der historischen Entwicklung des jeweils betrachteten Themas.

8 Wiebereits der Einstieg ber Kepler verdeutlichen sollte, ist es zuweilen durchaussinnvoll und vielleicht sogar notwendig, f r die Ann herung an ein neues Themaeinen geeigneten historischen Einstieg zu w hlen. Nicht nur, dass auf diese Weiseein Bezug zu anderen F chern hergestellt werden kann, die Sch ler bekommenauch eine Vorstellung von der Praxisrelevanz des Themas und haben damitvielleicht eine bessere verst ndnisorientierte Ausgangsbasis. Dieser Ansatz gehtin den Ausgaben von 1958 und 1990 verloren. In diesen erscheint ein historischer berblick allenfalls als eine Art ,l stiges Anh ngsel am Ende des Buches. Dieseswird von 1958 bis 1990 immerhin von zwei auf sechs Seiten ausgeweitet unddurch einige Abbildungen und Bilder von Newton und Leibniz in der Ausgabe von 2001 nden sich historische Bez ge schon ,zwischen den Aufgaben.

9 So tauchen an einigen Stellen im Buch kleine K stchen auf, die2 Vgl.: Lambacher Schweizer: Analysis. Grundkurs. Stuttgart 1990, S. eine grobe Skizze des geschichtlichen Hintergrundes chliche Verkn pfung vom mathematischen Problem und geschichtlichenHintergrund ndet jedoch nur in denMathematischen Exkursionenam Endeeines Kapitels statt, womit sie ihren Status eines Anh ngsels der Aufbau aller drei B cher die historischen Bez ge allenfalls als nahezuunn tige Erg nzung zum Lehrsto fest, nicht aber als erkenntnis- und verst nd-nisf rderndes Qualitative EntwicklungdesLambacher Integrieren heiflt Fl chenberechnungGeht man noch einen Schritt weiter ber den Aspekt der Quantit t hin-aus, r ckt die Qualit t in den Vordergrund.

10 Nat rlich ist der bisher beleuchteteWandel der inhaltlichen Struktur in der Praxis mit grofler inhaltlicher Schwer-punktverschiebung verbunden. Die bereits angesprochene Verbannung der Fol-gen und Reihen aus den Schulb chern ist ein Produkt dieser inhaltlichen Ver-schiebung. F r die Integralrechnung und speziell f r ihre Anwendung liegthierin der Wandel, von der verst ndnistheoretischen Au assung des Integralsals Fl che, hin zur Rekonstruktion und zum Mitteln. Die betrachtete quanti-tative Zunahme der Integralrechnung imLambacher Schweizerbedingt einenzunehmend breiteren Zugang zum wir unter diesem Aspekt noch einmal die Ausgabe von 1958. Dortwird das Kapitel zur Anwendung der Integralrechnung mit folgenden Worteneingeleitet:Die Grundaufgabe der Di erentialrechnung war das Tangentenpro-blem.