DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS - cch …

1 41 UNIDAD 3 DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Prop sitos: Continuar el estudio del concepto de DERIVADA a trav s del manejo de su representaci n algebraica buscando que el alumno reconozca a las reglas de derivadas como un camino m s eficaz de obtener la DERIVADA de una funci n. En la Unidad siguiente, pretendemos que: Obtengas la DERIVADA de una funci n polinomial de 1 , 2do 3er grado usando la definici n ( )( ) ( )xaf xf af xlimxa Identifiques el patr n de comportamiento de las derivadas obtenidas con el l mite del cociente. Calcules la DERIVADA de FUNCIONES ALGEBRAICAS usando las reglas de deri vaci n.

2 Reconozcas la jerarqu a de las operaciones i nvolucradas en la regla de correspondencia de una funci n para aplicar correctamente las reglas de derivaci n. Identifiques las relaciones existentes entre la gr fica de una funci n y la gr fica de su DERIVADA . Obtengas la ecuaci n de la recta tangente en un punto de la gr fica de una funci n. Obtengas la velocidad instant nea como la DERIVADA de la funci n posici n y la aceleraci n como la deri vada de la velocidad. Des significado a la deri vada de una funci n en el contexto de un problema. INTRODUCCI N. Significado Intuitivo Del Concepto De L mite.

3 En esta secci n iniciaremos nuestro estudio de las deri vadas ALGEBRAICAS a trav s de su definici n que se dio en la unidad 2, para poder calcular estas derivadas requerimos un repaso del c lculo de l mites de FUNCIONES ALGEBRAICAS as como de su lgebra que requieren. La idea del m todo del l mite es fundamental en el c lculo y es una idea relati vamente simple, pero no es una idea aislada y equi vale a lo siguiente. Para determinar el valor exacto de una cierta magnitud determinamos primero, no la magnitud en s , sino una aproximaci n de ella. Sin embargo, no hacemos una nica aproximaci n sino una serie de ellas, cada una de las cuales es m s precisa que la anterior (un proceso infi nito).

4 Del examen de esta serie de aproximaciones determinamos un vocamente el valor exacto de la magnitud. Por este m todo, que es en esencia profundamente dial ctico, obtenemos una constante fija como resultado de un proceso o movimiento. 42 Ejemplo 1. En el problema de la pelota en la unidad 2, se quiere calcular la velocidad instant nea a los 3 segundos, en este ejemplo debemos calcular el l mite siguiente: 233( )(3) (3) (3)33tts tsttvslimlimtt En este caso la funci n es ()3ttftt observa que la funci n no esta definida para 3t ( por qu ?), es por est raz n que nos debemos aproximar a 3 y as conjeturar su l mite, los valores de ()ft cuando t se aproxima por la i zquierda al n mero 3, se resumen en la tabla siguiente.

5 En este caso decimos que: 233( )(3) (3) (3) tsttmvslimlimtts Definici n intuitiva de l mite. Cuando escribimos Lxflimax)( se lee el l mite de ()fx, cuando x tiende al n mero a, es igual a L y significa que()fxpuede acercarse arbitrariamente a L (si la distancia ()f xL es tan peque a, como queramos) siempre que x se elija lo suficientemente cercano al n mero a pero no igual al n mero a (sixa es peque a tambi n). Ilustraremos el proceso l mite con el esquema siguiente: t ()ft f x a L x xa ()fx ()f xL 43 Aunque no es complicado tomar valores cada vez m s cercanos al n mero en donde queremos calcular el l mite, el m todo de aproximaciones es largo, por esa raz n se buscan t cnicas las cuales faciliten este c lculo, pero, si n dejar de pensar que el c lculo de l mites es una aproximaci n de un proceso infinito.

6 Con este fin iniciaremos calculando los l mites m s sencillos, no es dif cil ver que xalim c c y xalim x a ya que la distancia de sus im genes es tan peque a como se desee siempre y cuando la distancia xa tambi n lo sea, como se ilustra a continuaci n. xalim c c xalim x a El c lculo de l mites para otras FUNCIONES tambi n es sencillo, siempre que recordemos las propiedades de los l mites que a conti nuaci n se enlistan. Propiedades de los l mites. Los l mites tienen varias propiedades muy importantes, algunas de ellas son.

7 El l mite de una suma es la suma de los l mites ( ( )( ))( )( )xaxaxalim f xg xlim f xlim g x (1) El l mite de un producto es el producto de los l mites ( ( ) ( ))( )( )xaxaxalim f x g xlim f xlim g x (2) El l mite de un cociente es el cociente de los l mites ()(),( )0( )( )xaxaxaxalim f xfxlimlim g xg xlim g x, (3) y a c x y a x ()f xx a 44 Estas propiedades no te las justificaremos porque para ello hace falta contar con la defi nici n formal del l mite de una funci n.

8 Lo que s podemos hacer es tomar estos l mites como base para encontrar otras propiedades a partir de ellas. Ejemplo 2. El l mite de una constante por una funci n es la constante por el l mite de la funci n. ( )( )xaxalim c g xc lim g x (4) Soluci n. Esta propiedad se justifica a partir de (2) y de que xalim c c: ( )( )( )xaxaxaxalim c g xlim c lim g xc lim g x El resultado anterior, nos permite extraer del l mite a una constante, como se muestra a conti nuaci n: (7 )777xaxaxaxalim xlimlim xlim xa Utili zando las propiedades (1) y (4), podemos hacer lo siguiente: ( ( )( ))( )( )xaxaxal m f xcg xl m f xl m cg x ( )( )xaxal m f xc l m g x Si c = 1, se tiene que: ( ( )( ))( )( )xaxaxal m f xg xl m f xl m g x, es decir.

9 El l mite de una diferencia es la diferencia de los l mites ( ( )( ))( )( )xaxaxal m f xg xl m f xl m g x Ejemplo 3. Con base en los l mites que hemos calculado y las propiedades de los l mites, conjetura el valor de: a) 3xalim x b) 4xalim x c) 5xal m x d) 12xal m x Soluci n. sabemos que xalim x a y con la regla del producto, podemos conjeturar que: 33( )( )( )xaxaxaxalim xlim x lim x lim xa a aa De manera similar 44xalim xa , 55xal m xa y 1212xal m xa Ejemplo 4. Si n representa a un n mero entero positivo, conjetura a qu ser igual el nxalim x.

10 45 Soluci n. Del ejemplo anterior, podemos deducir (y se puede probar por inducci n) que nnxalim xa Ejemplo 5. Calcula los l mites siguientes: a) ),132(23xxl mx b) .1220xxl mx Soluci n. En el primer caso tenemos a) 223(231) 2(3)3(3) 1 18 9 1 28xl m xx. En el segundo caso b) .1220xxl mx=11210202 ( qu propiedades se usaron?) Sin embargo l mites de esta naturaleza son muy pocos los que se encuentran, es m s com n encontrar l mites a los que les llamamos l mites indeterminados, como el del c lculo de la velocidad en 3t, que hemos reali zado previamente, y usar el m todo de aproximaciones sucesivas tanto del lado derecho como del lado izquierdo, es un trabajo muy laborioso, sin tomar en cuenta que conlleva a problemas teoricos que no abordademos en esta gu a, afortunadamente los l mites con los que trabajaremos requieren muy poca de lgebra para poder calcularlos.