DERIVATE: ESERCIZI - Altervista

1 derivate : ESERCIZI . Agg 2012 - prof .Paola Barberis 1- DERIVATA del PRODOTTO di una costante K per f(X). DERIVATA della SOMMA DI DUE FUNZIONI - regole y = ki f (x) ! y ' = ki f '(x). y = f (x) + g(x) ! y ' = f '(x) + g '(x). 1a) y = x 3 + x 2 ! x + 10 " y ' = 3x 2 + 2x ! 1 + 0. 1b) y = 4x 6 + 5x 3 ! 6x ! 13 " y' = 4i6x 5 + 5i3x 2 ! 6i1 + 0. = 24x 5 + 15x 2 ! 6. 1c) y = 3x ! 5 ln x + 4 x + 8 * razionalizzo 2. 1 1 5 2 x y ' = 3i1 + 5i ! 4i + 0 = 3+ ! =*. x 2 x x x 5 2 x 5 2 x 3x + 5 ! 2 x 3+ ! i = 3+ ! =. x x x x x x 2 - DERIVATA DEL PRODOTT0. regolay = f (x)ig(x) ! y ' = f '(x)ig(x) + f (x)ig '(x). 2a) y = ( 2 x ! 3 ) " (x 2. ! 2). y ' = D [ 2 x ! 3]i( x 2 ! 2 ) + ( 2 x ! 3)iD # $ x 2. ! 2%. &. y ' = ( 2 ! 0 ) ( x 2 ! 2 ) + ( 2 x ! 3) ( 2 x ! 0 ). y ' = 2x2 ! 4 + 4 x2 ! 6x y ' = 6x2 ! 6x !

2 4. 2b) y = (x 2 + 3) ! (2x " 1). ( ). y' = D #$ x 2 + 3%& ( 2x " 1) + x 2 + 3 D [ 2x " 1]. ( ). y1 = ( 2x + 0 ) ( 2x " 1) + x 2 + 3 ( 2 " 0 ). y1 = 4x 2 " 2x + 2x 2 + 6. y1 = 6x 2 " 2x + 6. 3 - DERIVATA DEL PRODOTT0. 3a) y = (x 3 + x 2 ) ! (5x + 2). y ' = D "# x 3 + x 2 $%i(5x + 2) + (x 3 + x 2 )iD [ 5x + 2 ]. ( ) (. y ' = 3x 2 + 2x i( 5x + 2 ) + x 3 + x 2 i( 5 ) ). y ' = 15x 3 + 6x 2 + 10x 2 + 4 x + 5x 3 + 5x 2. y ' = 20x 3 + 21x 2 + 4 x 3b) y = 7x(4. + x ! x )(. 2. +6 ). ( ) ( ). y' = D "# 7x 4 + x $%i x 2 + 6 + 7x 4 + x iD "# x 2 + 6 $%. (. y ' = 28x 3 + 1)i( x + 6 ) + ( 7x 2 4. ). + x i( 2x + 0 ). y ' = 28x 5 + 168x 3 + x 2 + 6 + 14 x 5 + 2x 2. y ' = 42x 5 + 168x 3 + 3x 2 + 6. 4 - DERIVATA DEL PRODOTTO. 4a) y = ( x + x) ! (2x + 3). y' = D "# x + x $% ( 2x + 3) + ( ). x + x D [ 2x + 3].

3 & 1. =(. '2 x ). + 1+ ( 2x+3) +. *. ( ). x + x (2 + 0). ricorda : x ! x = x2 = x = x =. x +. 3. + 2x + 3 + 2 x + 2x essendo : x > 0. x 2 x 2x + 3 + 4 x x + 6 x + 4 x + 4 x x 8x x + 6 x + 6x + 3. = =. 2 x 2 x 4b) y = (cosx + x) ! (2senx + 3). y' = D[cosx + x]i(2senx + 3) + (cosx + x) ! D[2senx + 3]. = ["senx + 1]i(2senx + 3) + (cosx + x) ! (2 cos x + 0]. = "2sen 2 x " 3senx + 2senx + 3 + 2 cos 2 x + 2x cos x = "2sen 2 x " senx + 2 cos 2 x + 2x cos x + 3. 5 - DERIVATA DEL QUOZIENTE. f (x) f '(x)ig(x) " f (x)ig '(x). regola y= ! y' =. g(x) g 2 (x). y=. ( 2 x + 3). (x 2. !1 ). y =. '. D [ 2 x + 3] x 2. ! 1 ! ( 2 x + 3) (. D ". # x 2. ! 1$. % ). ( ). 2. x2 ! 1 Non svolgere [ 2 ] ( x 2 ! 1) ! ( 2 x + 3) [ 2 x ] I calcoli al y' =. (x ) denominatore 2. 2. !1. 2x2 ! 2 ! 4 x2 ! 6x y =. '. (x ). 2.

4 2. !1. !2 x 2 ! 6 x ! 2 2x2 + 6x + 2. y1 = =! (x ) (x ). 2 2. 2. !1 2. !1. 6 - DERIVATA DEL QUOZIENTE. ex + 1. y=. 2e x ! 3. y' =. ( ) (. D "# e x + 1$% 2e x ! 3 ! e x + 1 D "# 2e x ! 3$% ). (). 2. 2e ! 3. x y' =. ( e x +0 ) ( 2e x ! 3) ! ( e + 1) ( 2e ! 0 ). x x ( 2e ! 3) attenzione : x 2. 2e2 x ! 3e x ! 2e2 x ! 2e x y' = e x ie x = e x + x = e2 x ( 2e ). 2. x !3. !5e x y' =. ( 2e ). 2. x !3. 7 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA CON potenza . Regola GENERALE. y = f[g(x)]! y' = f '[ g(x)] g'( x). 7a) y = (x 3 + 4 x)4 la funzione esterna la potenza . y ' = 4 ! (x 3 + 4 x)3 D[x 3 + 4 x] DERIVO LA FUNZIONE. ESTERNA potenza E. y ' = 4 ! (x 3 + 4 x)3 ! (3x 2 + 4) MOLTIPLICO PER LA. DERIVATA DEL. 7b) y = (6x 2. + 5) 3. CONTENUTO (LA BASE). y ' = 3 ! (6x 2 + 5)2 D[6x 2 + 5]. y ' = 3 ! (6x 2 + 5)2 ! (12x + 0) = 3 !

5 (6x 2 + 5)2 !12x y ' = 36x ! (6x 2 + 5)2. 7c) y = (x 3. ! 2 x) 2. y ' = 2(x 3 ! 2 x)1 (3x 2 ! 2) = 2(x 3 ! 2 x) " (3x 2 ! 2). 8 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA CON potenza . 8a) y = (7 x ! 3x)4. # 1 &. y ' = 4 " (7 x ! 3x) D[7 x ! 3x] = 4 " (7 x ! 3x) " % 7 ". 3 3. ! 3(. $ 2 x '. # 7 ! 6 x & 2(7 x ! 3x) 3. (7 ! 6 x ). = 4 " (7 x ! 3x)3 " % ( =. $ 2 x ' x 8b) y = (4e x ! 5)2. y ' = 2 " (4e x ! 5)2 D[4e x ! 5]. y ' = 2 " (x 3 + 4 x)3 " (4e x ) = 8e x " (x 3 + 4 x)3. 8c) y = (ln x ! 2x)3. #1 &. y ' = 3 " (ln x ! 2x) D[ln x ! 2x] = 3 " (ln x ! 2x) " % ! 2 ( =. 2 2. $x '. # 1 ! 2x & 3(ln x ! 2x) (1 ! 2x). 2. = 3 " (ln x ! 2x) " %. 2. =. $ x (' x 9 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA CON RADICE Q. 9a) y = 2x 3 ! 5x + 4 funzione esterna = RADICE quadrata 1. y' = D[2x 3 ! 5x + 4]. 2 2x 3 ! 5x + 4. DERIVO LA FUNZIONE ESTERNA.

6 6x 2 ! 5. y' = RADICE QUADRATA E. 2 2x 3 ! 5x + 4 MOLTIPLICO PER LA DERIVATA. DEL CONTENUTO (RADICANDO). 9b) y= 4e x + 6x 1. y' = D[4e x + 6x]. 2 4e x + 6x 4e x + 6 2(2e x + 3) 2e x + 3. y' = = =. 2 4e + 6x x 2 4e + 6x x 4e x + 6x 10 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA CON RADICE Q. DERIVO LA FUNZIONE ESTERNA RADICE QUADRATA. x2 ! x E MOLTIPLICO PER LA DERIVATA DEL CONTENUTO. y= (RADICANDO) che -attenzione- un QUOZIENTE. 4x + 5. 1 " x2 ! x %. y' = D$ ' = Regola della derivata del x !x 2. # 4x + 5 & quoziente f(x)/g(x). 2. 4x + 5. 1 4 x + 5 [2x ! 1](4 x + 5) ! (x 2 ! x)[4 + 0]. y' = i =. 2 x !x 2. (4 x + 5) 2. 1 4 x + 5 8x 2 + 10x ! 4 x ! 5 ! 4 x 2 + 4 x = i =. 2 x !x 2. (4 x + 5) 2. 1 4 x + 5 4 x 2 + 10x ! 5. = i . 2 x !x 2. (4 x + 5)2. 11 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA con LOGARITMO. 11a) y = ln(4x + 5) funzione esterna = LOGARITMO.

7 1 DERIVO LA FUNZIONE ESTERNA. y' = D[4x + 5] = logaritmo E MOLTIPLICO PER LA. 4x + 5 DERIVATA DEL CONTENUTO. 4+0 4 (argomento del log). y' = =. 4x + 5 4x + 5 Attenzione a NON semplificare il 4! (4x+5) un fattore binomiale! 11b) y = ln(3senx + x). 1 (3cos x + 1) 3cos x + 1. y' = D[3senx + x] = =. 3senx + x (3senx + x) 3senx + x 11c) y = 5 ln(x 3 + 2x + 5). 1 5(3x 2. + 2). y' = 5 3 D[x + 2x + 5] = 3. 3. x + 2x + 5 x + 2x + 5. 12 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA con LOGARITMO. DERIVO LA FUNZIONE ESTERNA logaritmo E. " 2x + 5 % MOLTIPLICO PER LA DERIVATA DEL CONTENUTO. 12a) y = ln $. # x ! 2 '& che - attenzione- un QUOZIENTE! 1 ( 2x + 5 + x ! 2 2 . (x ! 2) ! (2x + 5) . (1 ! 0). y' = D* - = =. 2x + 5 ) x ! 2 , 2x + 5 (x ! 2) 2. x!2. 1 2x ! 4 ! 2x ! 5 !9. y' = =. 2x + 5 (x ! 2)1. (2x + 5)(x ! 2). " ex !

8 2 %. 12b) y = ln $ x # e + x '&. 1 ( e x ! 2 + e x + x (e x ! 0) . (e x + x) ! (e x ! 2) . (e x + 1). y' = x D* x - = x =. e !2 )e + x , e ! 2 (e + x). x 2. ex + x 1 e2 x + xe x ! e2 x ! e x + 2e x + 2 +xe x + e x + 2. y' = x = x e !2 (e + x). x 1. (e ! 2)(e x + x).