Die Methode der finiten Elemente (FEM)

1 Friedrich U. Mathiak Die Methode der finiten Elemente (FEM) Einf hrung und Grundlagen Die Methode der finiten Elemente (FEM) Einf hrung und Grundlagen Friedrich U. Mathiak Das Werk, einschlie lich aller seiner Teile, ist urheberrechtlich gesch tzt. Jede Verwertung au erhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Autors unzul ssig und strafbar. Dies gilt insbesondere f r Vervielf ltigung, bersetzungen, Mikro-verfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Neubrandenburg 2010 Hochschule Neubrandenburg Prof. Friedrich U. Mathiak Fachbereich: Bauingenieur- und Vermessungswesen Postanschrift: Prof. Mathiak Brodaer Stra e 2 Tel.

2 : (0395) 5693-(0)-301 D-17033 Neubrandenburg E-Mail: INHALT 1 EINLEITUNG 1-1 Allgemeines 1-1 Entstehungsgeschichte der FEM 1-3 Zugang zur FEM 1-5 2 EIN EINFACHES BEISPIEL 2-1 Das Elastizit tsgesetz f r einen geraden Stab 2-3 Transformation auf globale Koordinaten

3 2-5 Aufbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix des freien unverbundenen Systems 2-8 Ber cksichtigung der geometrischen Kompatibilit t 2-9 Einbau der u eren eingepr gten Kr fte 2-11 Aufbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix des ungebundenen Systems 2-14 Einbau der geometrischen Randbedingungen 2-18 Ermittlung der Auflagerreaktionsgr en 2-23 Ermittlung der Stabkr fte 2-23 Hinweise zur programmtechnischen Umsetzung 2-25 Optimale Nummerierung der Systemknoten 2-33 Spezielle Lagerungen 2-33 Elastische Lagerung

4 2-35 Schiefe Randbedingungen 2-36 3 GRUNDLAGEN DER LINEAREN ELASTIZIT TSTHEORIE 3-1 Der Spannungszustand 3-1 Die statische Grundgleichung 3-5 Der r umliche Spannungszustand in Zylinderkoordinaten 3-7 Der ebene Spannungszustand 3-8 Der einachsige Spannungszustand 3-9 Verschiebungen und Verzerrungen 3-10 Die Verschiebungen 3-10 Der Verzerrungszustand 3-12 Kartesische Koordinaten

5 3-12 Zylinderkoordinaten 3-14 Der ebene Verzerrungszustand 3-14 Materialgesetz 3-16 Das Elastizit tsgesetz f r den r umlichen Spannungszustand 3-16 Kartesische Koordinaten 3-17 Zylinderkoordinaten 3-19 II Zylinderkoordinaten bei Rotationssymmetrie 3-20 Das Elastizit tsgesetz f r den ebenen Spannungszustand 3-21 Das Elastizit tsgesetz f r den ebenen Verzerrungszustand 3-22 Das Elastizit tsgesetz f r den Stab 3-24 Das Elastizit tsgesetz f r den

6 Schubstarren Balken 3-24 4 GRUNDGLEICHUNGEN DER SCHEIBENTHEORIE 4-1 Voraussetzung 4-1 Scheibenschnittlasten 4-2 Transformationsgleichungen 4-3 Hauptl ngskr fte 4-5 Hauptschubkr fte 4-7 Grundgleichungen 4-8 Elimination der Spannungen, Verschiebungsfunktion 4-8 Elimination der Verschiebungen.

7 Spannungsfunktion 4-10 Randbedingungen 4-11 Verschiebungsrandbedingungen 4-11 Der Eingespannte Rand x = x0 = konst. 4-11 Der freie Rand x = x0 = konst. 4-12 Kraftrandbedingungen 4-13 Der Eingespannte Rand x = x0 = konst.

8 4-13 Der freie Rand x = x0 = konst. 4-13 5 GRUNDGLEICHUNGEN DER KLASSISCHEN PLATTENTHEORIE 5-1 Voraussetzungen 5-1 Plattenschnittlasten 5-1 Transformationsgleichungen f r die Schnittmomente 5-3 Hauptbiegemomente 5-4 Hauptdrillmomente

9 5-5 Gleichgewicht am Plattenelement 5-7 Das Verschiebungsfeld w(x,y) 5-7 Die Plattendifferenzialgleichung 5-10 Die Plattengleichung in Zylinderkoordinaten 5-10 Randbedingungen 5-13 Der eingespannte Rand x = x0 = konst.

10 5-14 Der gelenkig gelagerte Rand x = x0 = konst. 5-14 Der freie Rand x = x0 = konst. 5-15 Die Platte auf nachgiebiger Unterlage 5-17 6 DER ARBEITS- UND ENERGIEBEGRIFF IN DER ELASTOSTATIK 6-1 Die Arbeit einer Kraft l ngs eines Verschiebungsweges 6-1 Die Arbeit eines Kr ftepaares mit dem Moment M 6-3 Das Potenzial einer Kraft 6-5