Die unschlagbare e-Funktion-1 - emath.de

1 Die unschlagbare e-FunktionVon Florian ModlerTreffen sich zwei Kurven im Unendlichen, sagt die eine:"He, hau ab aus meinem Definitionsbereich, sonst differenzier' ich Dich!"Darauf die andere: "Mach doch! Ich bin die e- funktion !"In diesem Artikel m chte ich euch die " unschlagbare " e- funktion etwas n her Thema ist nicht nur sehr interessant, sondern auch im Abitur immer wieder vonbesonderer habe mich auch hier wieder bem ht diesen Artikel so anschaulich und verst ndlich wienur m glich zu schreiben. Ich hoffe mir ist dieses dieser Artikel ist wieder speziell f r Sch ler Spa beim Ableitungsregeln2 Eulersche Zahl und die Ableitung einer Exponentialfunktion (Herleitung) Ableiten einer Stammfunktion einer N herungsweise Berechnung der Eulerschen Zahl e3 Funktionsuntersuchung einer e-Funktion4 Aufgaben zur bung5 Abschluss6 Quellenangabe1 ExkursDa ich nicht wei , in wie weit ihr in den Gebieten Exponentialfunktionen , Logarithmusfunktionen , Umkehrfunktionen und Ableitungsregeln bewandert seit, m chteich zu allererst mit euch einen kleinen Exkurs in diese Gebiete machen.

2 Denn Vorkenntnissein diesen Bereichen solltet ihr schon haben, um die e- funktion begreifen zu k ExponentialfunktionenDefinition:Die funktion f mit ( )xfxb= (/ {1} )b+ hei t Exponentialfunktion zur Basis die funktion ( )xfxab= (mit 0a ) hei t Zahl a hei t Anfangswert der funktion f und gibt an, wo der Graph der Funktiondie y-Achse sehen ein paar Beispielsgraphen aus:Eigenschaften:(1) Der Graph der Exponentialfunktion 1() ( )xfxb= geht aus dem Graphen ( )xgx b= durchSpiegelung an der y-Achse hervor.(2) Die x-Achse ist Asymptote der Graphen von f und g.(3) Der Graph der funktion ( )xgx b= ist streng monoton steigend f r b>1 und strengmonoton fallend f r 0<b<1.(4) Der Wertebereich von f ist + LogarithmusfunktionenDefinition:F r x+ und b>1 ist der Logarithmus logbx zur Basis b diejenige Hochzahl, mit der manb potenzieren muss, um x zu erhalten.

3 () logbfxx= hei t Logarithmusfunktion zur Basis dieser Form sehen so Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der :(1) Die y-Achse ist Asymptote von ( ) logbfxx= (mit b>1; x+ )(2) f ist streng monoton steigend f r b>1 und f r 0<b<1 streng monoton fallend.(3) Der Wertebereich ist ; der Definitionsbereich dagegen + .(4) f hat die Nullstelle bei (1; 0) Umkehrfunktionen- Graphischer Weg, um Umkehrfunktion zu bestimmen:Man spiegelt den Graphen an der Winkelhalbierenden y= Rechenweg:Rechnerisch bestimmt man die Umkehrfunktion, indem man x und y die Definitionsmenge der funktion ist die Wertemenge der Umkehrfunktion und dieWertemenge der funktion ist der Definitionsbereich der Umkehrfunktion! | | ..yxxyyx===Satz:Wenn eine funktion streng monoton steigend [fallend] ist, so ist sie Ableitungsregeln1.

4 Die FaktorregelLeite die funktion () 3 fxx= nach der Faktorregel sung:() 3 '( )6fxxfxx==Beweis:() () '( )limlimlim (2)lim(2)2hhh hkx hkxx hxfxkkxhkxhhhkx + + ==+= += Faktorregel:Wenn die funktion u an der Stelle a differenzierbar ist, dann ist auch die funktion f mit()()fxkux= an der Stelle a differenzierbar, das hei t es existiert eine Ableitung, und esgilt:'( )'( )fxkux= Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren : ()'ku ku = 2. Die SummenregelLeite die funktion 1()fxxx=+ an der Stelle a bzw. gib die Ableitungsfunktion sung:11'( ) 2fxxx= +Beweis:1111()()( )'( )limlim1111limlim 211'( ) 2xaxaxaxaxaxaxaxafaxaxaxaxaxaxaaafxxx + + + == =+ = + = +Summenregel:Die Funktionen u und v seien in einem gemeinsamen Intervall definiert, das die Stelle aenth lt. An dieser Stelle seien sie differenzierbar.

5 Dann ist auch die funktion f mit()() ()fxuxvx=+ an der Stelle a differenzierbar, das hei t die Ableitungsfunktion existiertund es gilt:'( )( )( )fauava=+Eine Summe wird gliedweise : ()'''uv u v+=+3. Die Produktregel:Behauptung: () ()ux vx , dann ist '()'() () () '()fx uxvx uxvx= + .Beweis:()()() () () ()'( )limlimxaxafxfauxvxuavafaxaxa == Nun addieren wir 0, das hei t wir addieren und subtrahieren gleichzeitig einen gleichen Termund zwar() () () ()ua vx ua vx + :() () () () () () () ()lim() ()() ()lim(( )( ))xaxaux vx ua vx ua vx ua vaxaux uavx vavxuaxaxa + = = + Im n chsten Schritt wenden wir Grenzwertgesetze an:() ()() ()limlim ( ) lim( )'() () '() ()xaxaxaux uavx vavxuaxaxaua va va ua = + = + :Wenn die Funktionen u und v an der Stelle a differenzierbar sind, so ist auch die funktion fmit () () ()fxuxvx= an der Stelle a differenzierbar, und es gilt:'()'() () () '()fx uxvx uxvx= + 4.

6 Die Quotientenregel:Behauptung:()()()uxfxvx= , dann ist '( )( )( )'( )'( )[()] ux vx ux vxfxvx =.Beweis:()()()()()()'( )limlim() () () ()() () () ()() ()limlim() () ()xaxaxaxaux uafx favxvafaxaxaux va ua vxux va ua vxvx vaxavxvaxa == == Auch hier addiert man wieder 0, indem wir folgenden Term gleichzeitig addieren undsubtrahieren () () () ()va ua va ua + :() () () () () () () ()lim() () ()() ()() ()lim[( )( )]()()()()()()xaxaux va va ua va ua ua vxvx vax aux uava vxvauaxa vx vaxa vx va + = = + Jetzt wendet man auch hier wieder die Grenzwertgesetze an:() ()() ()lim( ) lim( )() ()() ()'( )'( )()()() ()() ()'() () '() ()[()] xaxaux uava vxxaxavauavx vavx vauavavauava vava vaua va va uava = + = =.

7 Wenn die Funktionen u und v an der Stelle a differenzierbar sind, dann ist auch die funktion ()()()uxfxvx= an der Stelle a differenzierbar, und es gilt:'( )( )( )'( )'( )[()] ux vx ux vxfxvx =.5. Die Kettenregel:Behauptung: ()[()]fxgx=l, dann ist '( )'[ ( )]'( )fxg xx= :Es gilt: 0()()'( )limhfxh fxfxh + =0[()] [( )]limhgxh gxh + =llNun erweitern wir dies mit ()()()()xhxxhx+ + llll. Dazu muss gesagt werden: ()()0xhx+ w rden wir durch 0 dividieren. Und hier ist eine kleine L cke in dem [ ()][ ( )]()( )lim()()hgxh gxxh xhxhx + + = + llllll0000[()] [( )] () ( )lim()()[()] [( )]() ( )limlim()()[()] [( )]lim'( )()()hhhhgxh gxxh xxhxhgxh gxxh xxhxhgxh gxxxhx + + = + + + = + + = + lllllllllllllllllDa der erste Term zu un bersichtlich ist, wird substituiert.

8 ()(); ()kxh xzx=+ =lll, dann ist ()zkxh+=+ erdem ist 00lim ()( )0limhhxhxk + == ()()lim'( )'( )'( )kgz k gzxkgzx + = = llR cksubstitution f(x)=z:'[()] '()gx x= Eulersche Zahl und die e-FunktionSo nun kann ich endlich zum eigentlichen Thema wir die Ableitung einer Exponentialfunktion (f(x)=bx) einer bestimmten Ableitung an der Stelle x=0 kann durch eine Tangente durch diesen Punkt bestimmtwerden. Dies kann n herungsweise mit Hilfe eines Steigungsdreiecks abgelesen werden:f (0)=0,7 und f (1)=1,4 .a) Bestimme f r b=2 n herungsweise rechnerisch f (0) und f (1)L sungen:Hierf r wenden f r den Differenzenquotienten an, der euch schon bei den Beweis f r dieAbleitungsregeln aufgefallen sein ein kleiner Exkurs zum Differenzenquotienten:0()()'( )limhfah fafah + = . ()()fah fah+ wird als Differenzenquotienten dem Differenzenquotienten ()()fah fah+ bestimmt man zun chst die Steigung derSekante.

9 Da wird durch den Grenzwert h aber gegen 0 streben lassen, wird dieSekantensteigung zur Tangentensteigung. Dies steckt hinter der so genannte hier wollen wir nun den Differenzenquotienten F r die Stelle x gilt:()()22xhxfx h fxhh++ =F r x=0 gilt der Differenzenquotienten: 022 21hhhh =0002221'(0)lim'(0)limhhhhffhh = =Nun lassen wir h immer kleiner werden. Dazu stellen wir eine Tabelle mit m glichst kleinenWerten f r h auf:h-0,1-0,01-0,001-0, ,00010,0010,121hh 0,6690,69070,69020, ,69310,6950,717 Daraus folgt: 021'(0) lim0, = F r den Differenzenquotienten an der Stelle x=1 gilt:110002 22121'(1) lim2 lim 22 lim2'(0) 2 0, 1, + == = b) Bestimme f (x) f r b= sungen:000222121'( )limlim 22 lim2'(0)xhxhhxxxhhhfxfhhh+ = === c) Bestimme f (x)=0 f r f(x)= sungen:00011'( )limlimlim'(0)'(0)( )'(0)xhxhhxxxxhhhbbbbfxbbb fffx b fhhh+ = === = = Hieraus erkennen wir, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion von der Bauart wiedereine Exponentialfunktion sein m ssen wir uns folgende Frage stellen:F r welches b gilt f (0)=1?

10 Das hei t es muss sein: 01lim1hhbh =Dieses b k nnen wir nur durch ausprobieren herausfinden. Wir gehen so wie oben f r b=2 die Steigung an der Stelle x=0 ungef hr 0,693 betrug, muss nun b>2 sein, da dieSteigung 1 sein Probieren erhalten wir b=2, anders ausgedr ckt:Wir erhielten f r die Ableitung an der Stelle x:00011'( )limlimlim'(0)'(0)( )'(0)xhxhhxxxxhhhbbbbfxbbb fffx b fhhh+ = === = = Die Ableitung an der Stelle x ist demnach proportional zum Funktionswert an der Stelle x;Der Proportionalit tsfaktor ist die Zahl 01limhhbh , also die Ableitung an der Stelle bezeichnen diese Zahl vor bergehend mit mb .Somit gilt: '( )xbfxmb= .Somit ist auch die Ableitungsfunktion f einer Exponentialfunktion f wieder Kenntnis der Ableitung einer Exponentialfunktion f mit f(x)=bx muss man also denGrenzwert 01limhbhbmh = den uns bisher zur Verf gung stehenden mathematischen Mitteln k nnen wir diesenGrenzwert nicht durch algebraische Umformungen berechnen.