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DILATACIÓN TÉRMICA - fempatrimoni.cat

DILATACI N T RMICA. Cuando la temperatura de un cristal varia, se produce un cambio en sus dimensiones (dilata o contrae), y a menudo deforma, que se conoce como dilataci n t rmica. Cuando se recupera la temperatura inicial, se recuperan las dimensiones y la forma, y por tanto, el fen meno es reversible. Un incremento de temperatura implica, normalmente, un aumento de las distancias interat micas (y por tanto, una dilataci n) debido al incremento de la vibraci n t rmica de cada un de los tomos. Si imaginamos un sistema sencillo formado por dos tomos enlazados, a 0 K el sistema es est tico, no hay vibraci n t rmica y los centros de los tomos se encuentran a una distancia determinada d0. Al aumentar la temperatura, los tomos vibran alrededor de posiciones de equilibrio, y por tanto, la distancia promedio entre los dos centros (d1) es mayor y el sistema dilata. En la figura, para simplificaci n se ha representado una vibraci n esf rica alrededor del centro, por bien que en realidad no tiene esta forma).

suponer que el fenómeno puede ser, frecuentemente, anisotrópico. Siendo la dilatación térmica anisotrópica, las diferentes variaciones de

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1 DILATACI N T RMICA. Cuando la temperatura de un cristal varia, se produce un cambio en sus dimensiones (dilata o contrae), y a menudo deforma, que se conoce como dilataci n t rmica. Cuando se recupera la temperatura inicial, se recuperan las dimensiones y la forma, y por tanto, el fen meno es reversible. Un incremento de temperatura implica, normalmente, un aumento de las distancias interat micas (y por tanto, una dilataci n) debido al incremento de la vibraci n t rmica de cada un de los tomos. Si imaginamos un sistema sencillo formado por dos tomos enlazados, a 0 K el sistema es est tico, no hay vibraci n t rmica y los centros de los tomos se encuentran a una distancia determinada d0. Al aumentar la temperatura, los tomos vibran alrededor de posiciones de equilibrio, y por tanto, la distancia promedio entre los dos centros (d1) es mayor y el sistema dilata. En la figura, para simplificaci n se ha representado una vibraci n esf rica alrededor del centro, por bien que en realidad no tiene esta forma).

2 Intuitivamente, es f cil imaginar que a mayor temperatura, m s amplia es la vibraci n, y m s grande la distancia entre los tomos, con el l mite de estabilidad del sistema (transformaci n o fusi n, en el caso de los cristales). En los cristales, la situaci n es m s compleja porqu el sistema es tridimensional, con enlaces de diferentes energ as, y existen interacciones entre los tomos, y por tanto, el aumento de temperatura no siempre implica un aumento de las distancias, si no que, a veces, hay contracci n. Hasta en cristales formados por una solo tipo de tomos, a menudo los enlaces en diversas direcciones son diferentes (este es el caso del grafito o de los polimorfos del azufre, por ejemplo), y por tanto, es de esperar comportamientos diferentes en las diferentes direcciones. Esto lleva a suponer que el fen meno puede ser, frecuentemente, anisotr pico. Siendo la dilataci n t rmica anisotr pica, las diferentes variaciones de dimensiones en las diversas direcciones puede causar la deformaci n de los poliedros de coordinaci n y la variaci n de las dimensiones de la celda fundamental.

3 De hecho, estas variaciones son del orden de 10- 5. A/ C. Dilataci n de un cuerpo policristalino En un s lido policristalino la dilataci n t rmica ser homog nea al aumentar la temperatura, por tanto una l nea de longitud l se expande l para un cierto incremento de T, por tanto l/l es independientemente de la longitud inicial l. Por tanto, a una temperatura T C, una longitud l en cualquier direcci n, pasa a (l+ l) a (T+1) C. Esto permite definir una constante (coeficiente de dilataci n lineal) que se expresa de la siguiente manera: = l l , y por tanto l = l . donde es el cambio de longitud por unidad de longitud, por grado cent grado. Para una substancia homog nea e isotr pica, el coeficiente de dilataci n t rmica es independiente de la direcci n, y por tanto cualquier distancia l se transforma en l(1+ ) al aumentar 1 C la temperatura. Si en el rango de temperatura considerado es constante, el incremento de una longitud l al aumentar t C ser l t.

4 No obstante, en la mayor a de las sustancias varia con la temperatura, y solo se puede considerar constante para intervalos limitados, por tanto el incremento de l entre t1 y t2 vale t2. l = lt 1 t1. t dt Si el cuerpo policristalino tiene un volumen V y se incrementan 1 C la temperatura, el incremento de volumen es V = VV. donde V es el coeficiente de dilataci n volum trica. Supongamos que el cuerpo sea un cubo de arista l, y por tanto V=l3. Se puede escribir que V + V = (l + l ) 3. y tal como se ha visto V (1 + V ) = l 3 (1 + ) 3. por tanto V = (1 + )3 1. V = (1 + 3 + 3 2 + 3 ) 1 3 . porqu las segunda y tercera potencia de se pueden despreciar al ser valores extraordinariamente peque os. Dilataci n de un cristal La dilataci n t rmica de los cristales es un fen meno homog neo, pero no necesariamente isotr pico, la cual cosa quiere decir que la variaci n de dimensiones no ser id ntica en todas las direcciones.

5 En un cristal isotr pico, un vector p se dilata q en la su misma direcci n, de manera que la longitud final es r = p+ q, expresi n que es valida para cualquier direcci n de p, y por tanto, tendr el mismo valor en todas direcciones. Si el cristal es anisotr pico, en general, cuando se aumenta T el vector p pasa a ser r, y tambi n se cumple la anterior expresi n, pero esta vez p, q y r no son codireccionales. En este caso, por tanto, la determinaci n del coeficiente de dilataci n es un poco m s compleja. Consideremos que pasa con un cubo infinitamente peque o situado de manera que tres de las aristas coincidan con un sistema ortogonal de ejes x1, x2 i x3. Si se aumenta la temperatura 1 C, el cubo se deforma homog neamente, de manera que una imaginaria esfera situada en el interior del cubo se convertir a en un elipsoide, y dos rectas paralelas se mantendr an como tales. Despu s de la deformaci n cada lado del cubo ha cambiado de longitud y de direcci n, como antes se ha mostrado con el vector p, los nuevos lados (dibujados en color) son las aristas de un paralelep pedo resultado de la deformaci n del cubo.

6 Las aristas que estaban sobre los eje se han deformado seg n los vectores ui, que tienen por componentes (u1i,u2i,u3i) sobre los tres ejes de coordenadas. L gicamente, la diagonal del cubo se ha transformado un vector que es la suma de los vectores ui de las aristas. Cada arista del cubo ci pasa a ser una nueva arista c'i y se cumple que ci + ui = c'. i Cada uno de los vectores ui que describen la deformaci n de las aristas tiene unas componentes sobre los ejes u1 = u11 + u21 + u31. u2 = u12 + u22 + u32. u3 = u13 + u23 + u33. Por tanto, las componentes sobre los ejes de la deformaci n del punto (x1,x2,x3) son s / x1 u11 + u12 + u13. s / x2 u21 + u22 + u23. s / x3 u31 + u32 + u33. Como se ha visto antes, l/l es independiente de l, por tanto, conviene definir la deformaci n (strain, en ingl s) como el desplazamiento dividido por la distancia original. As pues, por cada arista del cubo: u1 u2 u3. a1 = x1 ; a2 = x1 ; a3 = x1.

7 Y los componentes de la deformaci n respecte de los ejes valen u11 u u - para a1 a11 = ; a21 = 21 ; a31 = 31. x1 x1 x1. u12 u u - para a2 a12 = ; a22 = 22 ; a32 = 32. x2 x2 x2. u13 u u - y para a3 a13 = ; a23 = 23 ; a31 = 33. x3 x3 x3. Estos componentes definen un tensor de 9 (32) componentes que describen la deformaci n causada por un incremento de 1 C. a11 a12 a13. a21 a22 a23. a31 a32 a33. y si se representa sobre los ejes de coordenadas que como en la figura. Cada uno de los componentes ha sido definido, por un incremento de un uij l grado como aij = , y habiendo definido = , podemos admitir xi l que aij = ij siendo el coeficiente de dilataci n lineal, y por tanto se puede escribir el tensor de dilataci n t rmica 11 12 13. 21 22 23. 31 32 33. Como la dilataci n t rmica es centrosim trica [uvw] = [uvw ]. el tensor queda 11 12 13. 22 23. 33. Significado f sico de los componentes ij Para mejor comprensi n, imaginemos en primer lugar un espacio bidimensional y supongamos un vector p referido a dos ejes x1 y x2, que es la diagonal de un rect ngulo de lados p1 y p2.

8 Despu s de un incremento de temperatura de 1 C, se deforma el vector q y el rect ngulo se transforma en otro paralelogramo de diagonal r r = p+ q En dos dimensiones, el tensor dilataci n t rmica queda 11 12. 22. Por tanto, el vector deformaci n q resulta del producto q1 11 12 p1. = , q2 22 p2. q1 = 11 p1 + 12 p2. es decir , como el tensor es sim trico, 12= 21. q2 = 21 p1 + 22 p2. Analicemos la deformaci n de una l nea, un de los lados del rect ngulo de la anterior figura: p1. expande q', de componentes sobre los ejes 1 = 11 p1 , i q' 2 = 21 p1. q'. - 11 representa la dilataci n por unidad de longitud de la l nea inicialmente paralela a x1. - 12 representa el ngulo de rotaci n de la l nea hacia el eje x2, dado que en ser un n mero muy peque o el ngulo, el sinus y la tangente se igualan De la misma manera, una l nea p2 paralela a x2, expande 1 = 22 p2. q '' y gira 2 = 12 p2. q ''. El rect ngulo considerado hasta ahora, de lados p1 y p2 se ha distorsionado para dar lugar a otro paralelogramo, y como el tensor es sim trico ( 12= 21 y en general = ), el nuevo paralelogramo est dispuesto sim tricamente respecto de los ejes x1 y x2, y los ngulos entre los lados pasan de ser 90 a (90 2arctg 12 ) , y como ij son muy peque os, ( 90 2 12 ).

9 La l nea p, que era la diagonal del rect ngulo, pasa a ser r, la diagonal del nuevo paralelogramo, que en general, no son coincidentes. De manera general, cualquier l nea que no coincida con los ejes de la cu drica representativa del tensor, rota respecto de un punto fijo y cambia de longitud. Solo en los ejes del elipsoide el cambio queda limitado a un cambio de tama o, sin rotaci n. Conviene tener presente, no obstante, que los componentes del tensor de la dilataci n t rmica son del orden de 10-5, por tanto, la rotaci n es menor de un segundo de grado por grado cent grado. En la mayor parte de los trabajos pr cticos, esta desviaci n es despreciable. Efecto de la simetr a Si uno de los ejes xi coincide con un eje de simetr a o se encuentra sobre un plano de simetr a, el tensor queda notablemente simplificado, como en otros casos considerados en anteriores cap tulos. Supongamos un cristal del sistema monocl nico, en el cual el eje binario coincide con x2.

10 Como la dilataci n t rmica es centrosim trica, el grupo de Laue es 2/m. En estas condiciones, - u2 coincide con el eje binario y por tanto, u12=u32=0. - u1 y u2 est n sobre el plano m, por tanto sus componentes sobre x2 se anulan: u21=u23=0. Consecuentemente, el tensor queda 11 0 13. 22 0. 33. Para los cristales r mbicos, en los cuales x1, x2 y x3 coinciden con los tres binarios del grupo de Laue mmm, el tensor queda 11 0 0. 22 0. 33. Para los cristales trigonales, tetragonales y hexagonales, que contienen un eje de simetr a de orden superior a 2 en la direcci n de c, los m dulos de u1 y u2 se igualan, y el tensor queda como 11 0 0. 11 0. 33. Y en el caso de los cristales c bicos, la presencia de los tres ejes binarios en las direcciones [111] y equivalentes, los m dulos de las tres componentes ui son iguales, y adem s coinciden con ejes de simetr a, por tanto el tensor se simplifica de la siguiente manera: 11 0 0.


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