Diseño de Bloques al azar - UNAM

1 Dise o de experimentos p. 1/25 Dise o de Bloques al azarDise o de experimentos p. 2/25 Introducci nEn cualquier experimento, la variabilidad proveniente de unfactor de ruido puede afectar los factor de ruido es un factor que probablemente tiene unefecto en la respuesta pero que no nos interesa el factor de ruido esdesconocido y no controlable, lasoluci n es la aleatorizaci n, que tiende a distribuir los nivelesy efectos de este factor entre todas las el factor de ruido esconocido y no controlable, pero porlo menos podemos medir su valor en cada corrida delexperimento, entonces podemos compensarlo usando an lisisde el factor de ruido esconocido y controlable, se utilizanbloques para eliminar su efecto en la comparaci n estad sticade los o de experimentos p. 3/25 Bloques al azarNuestro objetivo es tener comparaciones precisas entre lostratamientos bajo estudio.

2 Utilizar Bloques es una forma dereducir y controlar la varianza del error experimental paratenermayor precisi el dise o completamente al azar se supone que las relativamente homog neas con respecto a factores queafectan la variable de respuesta. Sin embargo, algunas vecesno tenemos disponibles suficiente n mero de factor que afecte la variable de respuesta y quevar e entre aumentar la varianza del error experimental ydisminuir la precisi n de las como la edad y el peso de los animales, diferenteslotes de material, sexo de las personas y parcelas alejadasson ejemplos de variables externas a los tratamientos quepueden incrementar la variaci n entre las observaciones delavariable de o de experimentos p. 4/25 Bloques al azarUsar Bloques estratifica a las en grupos homog buena elecci n del criterio de bloqueo resulta en menorvariaci n entre las dentro de los Bloques comparada conla variaci n entre de diferentes Bloques .

3 Generalmente loscriterios de bloqueo son:nproximidad (parcelas vecinas)ncaracter sticas f sicas (edad, peso, sexo)ntiemponmanejo de las en el experimentoDise o de experimentos p. 5/25 Bloques al azarSuponga que se tienenttratamientos que se quierencomparar dise o de Bloques (completos) al azar implica que en cadabloque hay una sola observaci n de cada tratamiento. Elorden en que se corren los tratamientos dentro de cadabloque es aleatorio (restricci n en la aleatorizaci n).Dise o de experimentos p. 6/25 Bloques al azarEl modelo estad stico para este dise o es:yij= + i+ j+ iji= 1, .. , t j= 1, .. , b media general iefecto del i- simo tratamiento jefecto del j- simo bloque ijerror experimental en la unidad j del tratamiento i ij N ID(0, 2).Se supone que los efectos de tratamientos y Bloques sonaditivos.

4 La aditividad significa que no hay interacci n entretratamientos y Bloques . Es decir, la relaci n entre lostratamientos es la misma en cada uno de los o de experimentos p. 7/25 Bloques al azarbloquemedias de o de experimentos p. 8/25 Bloques al azarEl An lisis de Varianza para este dise o se basa en una descomposici n de lavariabilidad de las (yij yi. + ) + ( yi. ) + ( )desviaci ndesviaci ndesviaci ndesviaci ntotal=debida+debida+debidaal errora tratamientosa bloquest i=1b j=1(yij )2=bt i=1( yi. )2+tb j=1( )2+t i=1b j=1(yij yi. + )2 SStotal=SStrat+SSbloque+SSerrorbt 1 = (t 1) + (b 1) + (b 1)(t 1)Dise o de experimentos p. 9/25 Bloques al azarSuponiendo normalidad en los errores, se puede demostrarqueSStrat 2,SSbloques 2,SSE 2son independientes con distribuci n 2con suscorrespondientes grados de o de experimentos p.

5 10/25 Tabla de An lisis de (CM)trat st 1b ti=1( yi. )2 SStrat/(t 1)CMtratCME 2+b ti=1 2it 1bloquesb 1t bj=1( )2 SSbloques/(b 1)error(t 1)(b 1) (yij yi. + )2 SSE/(t 1)(b 1) 2totalbt 1 i j(yij )2 SiFc> F t 1,(t 1)(b 1)se rechazaH0: 1= 2=..= t= 0 Dise o de experimentos p. 11/25 Bloques al azarNo se deben probar aleatorizaci n se aplic solamente a tratamientos dentro debloques, esto es, los Bloques representan unarestricci na laaleatorizaci se tiene un grupo de donde se supone que ocurre unefecto entodaslas simult neamente, esto no equivalea la ocurrencia independiente de en cada o de experimentos p. 12/25 Bloques al azarLos residuales en este caso son:eij=yij yij yij= yi.+ yi. + contrastes y comparaciones m ltiples se hacen igual queantes, considerando este nuevoCM o de experimentos p.

6 13/25 Dise os con bloquesBloques al azar : Bloques de tama ot(n mero de tratamientos) Bloques al azar generalizados:se repiten los tratamientosen cada bloqueBloques incompletos:los Bloques no contienen a todos los tratamientosDise o de experimentos p. 14/25 Ejemplo con bloquesSe realiz un experimento para estudiar el funcionamiento decuatro diferentes detergentes quita manchas. Las lecturasde blancura (valor mayor=m s limpio) se obtuvieron usando unaparato especial en tres diferentes tipos de manchascomunes. Hay diferencia significativa entre los detergentes?Mancha 1 Mancha 2 Mancha 3 Detergente 1454351 Detergente 2474652 Detergente 3485055 Detergente 4423749 Dise o de experimentos p. 15/25 Dise o en Cuadro LatinoEl dise o de Cuadro Latino se usa para eliminar dos fuentesde variabilidad que no interesa estudiar por si mismas.

7 Sehace un bloqueo en dos direcciones. Los renglones y lascolumnas representan dos restricciones en la aleatorizaci general, un cuadro latinop pes un cuadrado que contieneprenglones ypcolumnas. Cada una de lasp2celdas contieneuna de laspletras que corresponden a los tratamientos, ycada letra ocurre una sola vez en cada rengl n y :4 45 5 ABDCADBECBCADDACBECDBACBEDADACBBEACDECDA BDise o de experimentos p. 16/25 Dise o en cuadro latinoEl modelo es:yij= + i+ j+ k+ iji= 1, .. , t j= 1, .. , t k= 1, .. , tyijmedici n de la observaci n del rengl n i- simode la columna j- sima iefecto del rengl n i jefecto de la columna j kefecto del tratamiento k ijerrorEl n mero de tratamientos debe ser igual de n mero derenglones y de o de experimentos p. 17/25 Dise o en cuadro latinoLa partici n de suma de cuadrados se deriva de la identidadalgebraica:yij ( yi.)

8 + ( ) + ( yk )+ (yij yi. yk+ 2 )La desviaci n de una observaci n de la media global(yij )se expresa como la suma de:nuna desviaci n rengl n( yi. )nuna desviaci n columna( )nuna desviaci n de tratamientos( yk )nerror experimental(yij yi. yk+ 2 )Dise o de experimentos p. 18/25 Tabla de An lisis de (CM)trat st 1t tk=1( yk )2 SStrat/(t 1)CMtratCME 2+t 2trenglonest 1t ti=1( yi. )2 SSreng/(t 1)columnast 1t tj=1( )2 SScol/(t 1)error(t 1)(t 2)SSESSE/(t 1)(t 2) 2totalt2 1 i j(yij )2 SiFc> F t 1,(t 1)(t 2)se rechazaH0: 1= 2=..= t= 0 Dise o de experimentos p. 19/25 Ejemplo de cuadro latinoUn ingeniero industrial est investigando el efecto de cuatrom todos de ensamblado (A,B,C,D) en el tiempo deensamblado de una componente de televisi n a a cuatro operadores para el estudio.

9 Adem s, elingeniero sabe que cada m todo de ensamblado producecierta fatiga, de tal manera que el tiempo requerido para el ltimo ensamblado puede ser mayor que el tiempo requeridopara el primero, independientemente del m tomar en cuenta estas dos fuentes de variabilidad(operador, orden de ensamblado), el ingeniero decide usar undise o en Cuadro Latino, cuyos resultados se presentan acontinuaci o de experimentos p. 20/25 Ejemplo de cuadro latinoorden deOperadorensamblado12341C=10D=14A=7B=82 B=7C=18D=11A=83A=5B=10C=11D=94D=10A=10B= 12C=14 Dise o de experimentos p. 21/25 Dise o en cuadro latinoLa generaci n de un arreglo aleatorio en, por ejemplo, uncuadro5 5:Se constuye un cuadro b sico:(1)ABCDE(2)BCDEA(3)CDEAB(4)DEABC(5) EABCDSe aleatoriza el orden de los renglones y despu s el de lascolumnas. Y se aleatorizan los tratamientos a las o de experimentos p.

10 22/25 Dise o en cuadro latino(1)(2)(3)(4)(5)(5)EABCD(3)CDEAB(1) ABCDE(2)BCDEA(4)DEABC(3)(2)(4)(1)(5)(5)B ACED(3)EDACB(1)CBDAE(2)DCEBA(4)AEBDCDise o de experimentos p. 23/25 ResidualesEl residual para la observaci n en el tratamientoken elrengl niy columnajeseij=yij yi. yk+ 2 o de experimentos p. 24/25 Dise o GrecolatinoUna compa a que produce procesadores de alimentos deseadeterminar el efecto del dise o de empaque en las ventas deuno de sus productos. Se tienen 5 dise os para probar:A,B,C,D y E. Hay algunas fuentes de variaci n:1. d a de la semana2. diferencia entre tiendas3. efecto de la altura del entrepa oSe realiza un experimento en dise o cuadro grecolatino conlos cinco d as de la semana como clasificaci n rengl n, cincodiferentes tiendas como clasificaci n columna y cinco alturasdel entrepa o como clasificaci n de letra siguiente tabla contiene los resultados del experimento.