Dispense di Matematica Finanziaria - uniroma1.it

1 Dispense di Matematica FinanziariaAnno Accademico 2016-2017 Prof. Aggr. Arsen PalestiniMEMOTEF, Sapienza Universit`a di Introduzione alle operazioni Situazioni finanziarie e criteri di preferenza .. Operazioni finanziarie .. I Titoli di Stato come operazioni finanziarie .. principali Titoli di Stato italiani .. semplici lordi e netti .. rateo e la quotazione dei titoli con cedole .. La crisi dei debiti pubblici europei del 2010-2011 .. spread ..192 Leggi finanziarie Capitalizzazione e attualizzazione .. dell interesse semplice .. dello sconto commerciale .. dell interesse composto .. Tassi d interesse .. nominale d interesse .. Nozioni complementari sulla capitalizzazione .. leggi di capitalizzazione come soluzioni di equazionidifferenziali del I ordine .. mista e confronto tra montanti ..373 Valore di un operazione Finanziaria in regime composto.

2 Generalit`a sulle rendite .. fondamentali delle serie geometriche .. attuale e montante di una rendita .. delle rendite frazionate .. delle rendite perpetue .. Problemi connessi alle rendite .. della durata .. della rata .. del tasso .. Metodo delle Approssimazioni Successive ..544 Ammortamenti e valutazione dei Generalit`a sull ammortamento .. Ammortamento francese .. Ammortamento tedesco .. Ammortamento italiano .. Altri casi di ammortamento .. con periodicit`a frazionata .. con cambiamento nelle condizioni di rim-borso .. sull ammortamento americano .. Valutazione dei prestiti ..775 Criteri di scelta in condizioni di Il Criterio del REA .. Il TIR .. del TIR .. criterio del TIR .. TAN e il TAEG .. L epoca dei tassi negativi ..906 Struttura per scadenza dei tassi d Ipotesi fondamentali del mercato finanziario.

3 Propriet`a dei ZCB .. Prezzi a pronti e prezzi a termine .. dei tassi e quotazione di un titolo .. La determinazione della struttura per scadenza .. 1037 Principi di immunizzazione Indici temporali di un flusso di pagamenti .. La durata media Finanziaria .. media Finanziaria con struttura piatta .. Indici di variabilit`a di un flusso di pagamenti .. Risultati principali sull immunizzazione .. ad un unica uscita .. a pi`u uscite .. 118 INDICE58 Elementi di calcolo delle probabilit` Spazi di probabilit`a .. e propriet`a preliminari .. `a condizionata .. tra eventi .. Variabili aleatorie .. aleatorie discrete .. aleatorie continue .. 1399 Introduzione alle opzioni Il modello binomiale: caso uniperiodale .. Il modello binomiale: caso biperiodale.

4 150 Bibliografia consigliata1536 INDICEC apitolo 1 Introduzione alle operazionifinanziarieIniziamo queste Dispense di Matematica Finanziaria con un approccio ini-zialmente discorsivo e senza formule, per permettere alle lettrici ed ai lettori ditoccare con mano fin da subito le tematiche di questa materia, prima di analizza-re qualsiasi formula o modello finanziario. Ho cercato di mantenere un approcciodivulgativo, adatto a studenti e studentesse dei primi anni dei Corsi di Laurea ditipo economico o aziendale, inserendo di volta in volta qualcosa di pi`u rigoroso etecnico. Ma il testo e disseminato di esercizi svolti ed esempi, per cercare di dis-sipare le nubi dell incomprensione appena si formano. A seconda della necessit`a,in questo e nei prossimi Capitoli verranno forniti alcuni richiami di MatematicaGenerale, non eccessivamente approfonditi, che chi legge potr`a sviluppare neitesti consigliati nella Bibliografia , non ho la pretesa di esaurire tutte le tipologie di esercizi eapplicazioni: essendoci vari linguaggi, notazioni ed espressioni alla base dellaMatematica Finanziaria , ed e sufficiente leggere anche soltanto due diversi te-sti per rendersene conto, il mio appassionato consiglio e comunque quello diconsultare anche ulteriori eserciziari e libri di teoria (non solo in Matematica Fi-nanziaria!)

5 Nei vari Capitoli ci saranno dei suggerimenti sui testi da generale, mi sentirei di consigliare come particolarmente validi per quasi tuttigli argomenti trattati un testo classico come [M] e due buoni libri recentemen-te usciti come [R] ed [S1] per la teoria, e [LR], [S2] e [T] per gli esercizi. Perapprofondimenti di livello tecnicamente avanzato, pi`u adatti agli sviluppi suc-cessivi della materia, anche in Lauree Magistrali o corsi di Dottorato di Ricerca,suggerisco invece [JMV], [PR] oppure [V].78 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE OPERAZIONI Situazioni finanziarie e criteri di preferenzaCominciamo ad inquadrare alcune situazioni della vita reale in cui ci possiamotrovare a contatto con delle situazioni finanziarie e a formulare delle domandein proposito. La formalizzazione Matematica di queste situazioni, e le risposteai problemi, saranno successivamente descrivibili con gli strumenti che via BoT (Buono ordinario del Tesoro) a 6 mesi e un titolo obbliga-zionario emesso e venduto in aste periodiche dal Ministero dell Economia e delleFinanze.

6 Ci sono BoT da 3, 6 o 12 mesi, e vengono rimborsati in un unica solu-zione, alla scadenza. Ad esempio, possiamo acquistare un BoT al tempot1= 0a 965 euro che garantisce alla scadenzat2= 1/2(6 mesi vuol dire la met`a di unanno) il rimborso di euro. Come possiamo valutare il valore di pi`u titolicon varie scadenze? La valutazione in che modo dipende dal tasso d interesseapplicato? E in che modo dipende dall istante di valutazione?Esempio Banca Palustre dell Agro Pontino, accendiamo un conto cor-rente depositando euro, e ci viene garantito un tasso annuo d interessedell 1,7%(molto ricco, rispetto ai tassi correnti). Le uniche spese che ci ven-gono richieste in questo contratto sono 5 euro per i bolli annuali e 3 euro per ilrilascio e l utilizzo di una carta Bancomat. Qual e il saldo sul nostro conto allafine dell anno? E come crescer`a negli anni successivi?

7 E se ci viene proposto untasso mensile d interesse dello0,2%, quale delle due proposte e pi`u conveniente?Esempio acquistare un immobile e, dal momento che costa pocoe siamo in possesso della somma per comprarlo in contanti, possiamo sceglierese contrarre un mutuo (ad un certo tasso d interesse fisso), quindi pagando arate per alcuni anni, oppure pagando tutto immediatamente al momento dellavendita. Quale delle due alternative e la pi`u conveniente? E cosa pu`o accaderese il tasso che ci viene proposto e variabile?Gli esempi precedenti mostrano come in questi problemi ci siano diversi datirilevanti per la loro discussione e risoluzione, ma soprattutto due sono i daticruciali: gliimportie itempi. In Matematica Finanziaria , non si pu`o definireun ordine di preferenza senza specificare entrambi, ad esempio, intuitivamente,un gran numero di persone, compreso chi scrive, preferirebbero di gran euro disponibili oggi a 5 milioni di euro disponibili tra 37 anni.

8 La primadefinizione proposta e proprio quella disituazione Finanziaria , intesa come puntodello spazio denaro-tempo, o come importo monetario ad una data Finanziaria (o prestazione finan-ziaria)una coppia ordinata(x, t)consistente nella disponibilit`a del capitalexal tempot SITUAZIONI FINANZIARIE E CRITERI DI PREFERENZA9 Mentre il tempo ha comunque un valore positivo, in generale ammettiamoanche la possibilit`a che il segno dixpossa essere negativo, intendendo chexsiaun importo in uscita, da dover ogni soggetto o agente economico definisce, consciamente o meno, unordine di preferenza sulle situazioni finanziarie, qui di seguito elencheremo alcunipostulati, basati sulle normali ipotesi della razionalit`a umana ed economica,che assumeremo validi in condizioni di certezza. Per condizioni di certezza,intendiamo il fatto che tutto sia perfettamentedeterministico, cio`e che nessunfenomeno di naturaaleatoriapossa accadere.

9 In altre parole, tutto ci`o a cuici riferiamo e vero con probabilit`a 1, o anche, come da linguaggio comune, al100%, esattamente come il fatto che domani sorger`a il Sole oppure che dopo laprossima Domenica ci sar`a un Luned` .I postulati suddetti (per una trattazione pi`u approfondita vedi [V], Capitolo1) sono i seguenti:1. Il possesso di un capitale di segno positivo e vantaggioso per chi lo detie-ne, ossia per ogni soggetto avere questo bene `a preferibile al non averlo,qualunque sia l La disponibilit`a temporanea di un capitale altrui e un servizio vantaggiosoche, come tale, ha un prezzo. Il soggetto economico che si avvale di taledisponibilit`a (pu`o anche trattarsi di una banca, di una compagnia assicura-tiva, ecc.) deve pagare un costo, commisurato all ammontare del capitaledisponibile e ai dati temporali a cui questa operazione si riferisce. Per datitemporali si intendono tempo iniziale e finale, oppure la durata.

10 General-mente, questo costo e deciso da un contratto stipulato dalle due parti incausa: chi presta e chi prende a prestito (lender e borrower).3. Date due situazioni finanziarie (x1, t) e (x2, t) allo stesso istantet, diimporti positivix1ex2, `a preferita quella di importo Date due situazioni finanziarie (x, t1) e (x, t2), di uguale importox, va-lutate ad una data antecedentet0(ad esempio,t0< t1< t2), sex >0, epreferita (x, t1), ossia la disponibilit`a dix e considerata migliore se avvieneprima. Simmetricamente, sex <0, quindi dal punto di vista di chi devepagare l ammontarex, e preferita la situazione Finanziaria (x, t2), perch`a la scadenza e posteriore. Si pu`o estendere questo principio affermando chechi e creditore preferisce riscuotere il suo credito alla scadenza anteriore,chi e debitore preferisce risarcire il suo debito alla scadenza posteriore,qualunque sia l istante di 1.