DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL

1 Matem ticas CCSS II probabilidad Jos Mar a Mart nez Mediano 1 DISTRIBUCI N DE LA MEDIA MUESTRAL La mayor a de estos problemas han sido propuestos en ex menes de selectividad de los distintos distritos universitarios espa oles. 1. Consid rese una poblaci n en la que se estudia una caracter stica X que sigue una distribuci n normal de MEDIA = 12 y varianza 2 = 16. Se pide: a) probabilidad de que un elemento de esa poblaci n, elegido al azar, tenga la caracter stica superior a 14. b) Consid rese una muestra aleatoria de tama o n = 9. Cu l es la probabilidad de que la MEDIA MUESTRAL X tenga un valor superior a 14?

2 NNX , Soluci n: a) La distribuci n es normal N(12, 4). La desviaci n t pica, = 4. Se tipifica haciendo el cambio XZ, luego: P(X > 14) = P 6Z= P( Z > 0,5) = 1 P(Z < 0,5) = 1 0,6915 = 0,3085 b) Las medias muestrales de tama o n se distribuyen seg n la normal nNX ,. En este caso: 94 ,12N N(12, 4/3) Por tanto: P(X > 14) = P 3/41214Z= P( Z > 1,5) = 1 P(Z < 1,5) = 1 0,9332 = 0,0668 Matem ticas CCSS II probabilidad Jos Mar a Mart nez Mediano 22. En un servicio de atenci n al cliente, el tiempo de espera hasta recibir atenci n es una variable normal de MEDIA 10 minutos y desviaci n t pica 2 minutos.

3 Se toman muestras aleatorias del tiempo de espera de los clientes que llegan un d a concreto. Se pide: a) Cu l es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una muestra de 25 clientes no supere los 9 minutos? b) Cu l es la distribuci n de la MEDIA MUESTRAL , si se toman muestras aleatorias de 64 clientes? Especificar sus par metros. Soluci n: a) Las muestras de tama o n obtenidas en una poblaci n de MEDIA y desviaci n t pica , N( . ), se distribuye seg n una normal N n ,. En nuestro caso, para n = 25 y N(10, 2), las muestras se distribuyen seg n la N(10, 2/5).

4 Con esto, 9 XP = 5/2109ZP = P(Z < 2,5) = 1 P(Z < 2,5) = 1 0,9938 = 0,0062 b) Como hemos indicado anteriormente, la distribuci n de medias muestrales de tama o 64 se distribuye seg n la normal N 642 ,10 N(10, 0,25). Esto es, una normal de MEDIA 10 y desviaci n t pica 0,25. Matem ticas CCSS II probabilidad Jos Mar a Mart nez Mediano 33. La edad a la que contraen matrimonio los hombres de la Isla Barataria es una variable aleatoria que se puede aproximar por una distribuci n normal de MEDIA 35 a os y desviaci n t pica de 5 a os. Se elige aleatoriamente una muestra de 100 hombres de dicha isla.

5 Sea X la MEDIA MUESTRAL de la edad de casamiento. a) Cu les son la MEDIA y la varianza de X? b) Cu l es la probabilidad de que la edad MEDIA de casamiento de la muestra est comprendida entre 36 y 37 a os? Soluci n: La poblaci n se distribuye como una normal de MEDIA = 35 y desviaci n t pica = 5. a) Las muestras de una poblaci n N( , ) se distribuyen seg n la normal de MEDIA X= y desviaci n t pica nX , siendo n el tama o MUESTRAL . Por tanto, X = 35 y 211005 X . Luego, la varianza ser 412 X b) Esta distribuci n se tipifica mediante el cambio nXXZ/.

6 Para este caso, 2/135 XZ. Con esto, con ayuda de la tabla normal, se tiene: P(36 <X< 37) = 2/135372/13536ZP = P(2 < Z < 4) = P(Z < 4) P(Z < 2) = = 1 0,9772 = 0,0228. 4. La duraci n de las bater as de un determinado modelo de tel fono m vil tiene una distribuci n normal de MEDIA 34,5 horas y desviaci n t pica 6,9 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de 36 tel fonos m viles. a) Cu l es la probabilidad de que la duraci n MEDIA de las bater as de la muestra est comprendida entre 32 y 33,5 horas. b) Y de que sea mayor de 38 horas? Soluci n: La MEDIA de las muestras de tama o n obtenidas en una poblaci n de MEDIA y desviaci n t pica , N(.

7 , se distribuye seg n una normal N n ,. En nuestro caso ( = 34,5, = 6,9, n = 36), se distribuir n seg n la normal 369,6 ,5,34N 1,15 ,5,34N, que se tipifica haciendo 15,15,34 XZ Con esto, a) )5,3332( XP = P 15,15,345,3315,15,3432Z = P( < Z < 0,87) = = P(Z < 0,87) P(Z < 2,17) = 1 0,8078 (1 0,9850) = 0,1772 b) )38( XP = P 15,15,3438Z = P(Z > 3,04) = 1 0,9988 = 0,0012 Matem ticas CCSS II probabilidad Jos Mar a Mart nez Mediano 45. En cierta poblaci n humana, la MEDIA MUESTRAL X de una caracter stica se distribuye mediante una distribuci n normal.

8 La probabilidad de que X sea menor o igual que 75 es 0,58 y la de que X sea mayor que 80 es 0,04. Hallar la MEDIA y la desviaci n t pica de X. (Tama o MUESTRAL n = 100). Soluci n: Las muestras de MEDIA X y desviaci n t pica se distribuyen seg n la normal de MEDIA X y desviaci n t pica n , siendo la desviaci n t pica de la poblaci n y n el tama o MUESTRAL . Esta distribuci n se tipifica mediante el cambio nXXZ/ , que para n = 100 es 10/ XXZ . Con esto, a partir de los datos, y con ayuda de la tabla normal, se tiene: P(X< 75) = 0,58 58,010/75 XZP 20,010/75 X P(X> 80) = 0,04 04,010/80 XZP 75,110/80 X Resolviendo el sistema 20,010/75 X; 75,110/80 X 75,11080020,010750XX 80075,11075020,010 XX se obtiene: X= 74,35 y = 32,26.

9 Por tanto la desviaci n t pica de la variable X es 3,226. 6. Se sabe que el peso de los reci n nacidos en una determinada poblaci n sigue una distribuci n normal de MEDIA 3600 g y desviaci n t pica 280 g. Se toma una muestra al azar de 196 de estos reci n nacidos y se calcula la MEDIA . Cu l es la probabilidad de que esta MEDIA est ente 3580 y 3620? Soluci n: La distribuci n de la MEDIA MUESTRAL de tama o n obtenidas en una poblaci n de MEDIA y desviaci n t pica , N( , ), se distribuye seg n una normal N n ,. En este caso, la poblaci n es N(3600, 280), luego las medias muestrales de tama o 196 se distribuyen seg n la normal: N 196280 ,3600.

10 N(3600, 20) Con esto, P )36203580 x = P 20360036202036003580Z = P( 1 < Z < 1) = = P(Z < 1) P(Z < 1) = 0,8413 (1 0,8413) = 0,6826 Matem ticas CCSS II probabilidad Jos Mar a Mart nez Mediano 57. Se supone que la longitud de los reci n nacidos de una determinada poblaci n sigue una distribuci n normal de MEDIA 50 cm y desviaci n t pica 6 cm. Se toma una muestra al azar de 144 de esos reci n nacidos y se calcula la MEDIA . Cu l es la probabilidad de que esta MEDIA est entre 49 y 51 cm? Soluci n: La distribuci n de la MEDIA MUESTRAL de tama o n obtenidas en una poblaci n de MEDIA y desviaci n t pica , N( , ), se distribuye seg n una normal N n.