Distribución Normal - Universidad Michoacana de San ...

1 Distribuci n Normal La distribuci n continua de probabilidad m s importante en todo el campo de la estad stica es la distribuci n Normal . La distribuci n Normal tiene grandes aplicaciones pr cticas, en las cuales la variable aleatoria puede ser el peso o la estatura de las personas, puntuaciones de ex menes, resultados de mediciones cient ficas, precipitaci n pluvial u otras cantidades similares. La distribuci n Normal tambi n tiene una importante aplicaci n en inferencia estad stica, en estas aplicaciones describe que tan probables son los resultados obtenidos en un muestreo.

2 La importancia de la distribuci n Normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fen menos naturales que siguen el modelo de la Normal : -Caracter sticas morfol gicas de individuos (personas, animales, plantas,..): tallas, pesos, di metros, per metros,.. -Caracter sticas fisiol gicas: efecto de una misma dosis de un f rmaco, o de una misma cantidad de abono, etc. -Caracter sticas sociol gicas: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen, etc. -Caracter sticas psicol gicas: cociente intelectual, grado de adaptaci n a un medio, etc.

3 Curva Normal La distribuci n Normal a menudo se le denomina distribuci n gaussiana, en honor a Karl Friedrich Gauss. La curva Normal est definida por la funci n de densidad: Observaciones acerca de las caracter sticas de las distribuciones normales: 1. Toda la familia de distribuciones normales se diferencia por medio de dos par metros: la media y la desviaci n est ndar . 2. El punto m s alto de una curva se encuentra sobre la media, la cual coincide con la mediana y la moda. 3. La media de una distribuci n Normal puede tener cualquier valor: negativo, positivo o cero.

4 4. La distribuci n Normal es sim trica, las colas de la curva Normal se extienden al infinito en ambas direcciones y en teor a jam s tocan el eje horizontal. Dado que es sim trica no es sesgada, su sesgo es cero. 5. La desviaci n est ndar determina qu tan plana y ancha es la curva Normal . 6. Las probabilidades correspondientes a la variable aleatoria Normal se dan mediante reas bajo la curva Normal . Toda el rea bajo la curva de una distribuci n Normal es 1. Como esta distribuci n es sim trica, el rea bajo la curva y a la izquierda de la media es y el rea bajo la curva a la derecha de la media es 7.

5 Los porcentajes de los valores que se encuentran en algunos intervalos com nmente usados son: a) de los valores de una variable aleatoria Normal se encuentran m s o menos una desviaci n est ndar de la media. b) de los valores de una variable aleatoria Normal se encuentran m s o menos dos desviaciones est ndar de la media. c) de los valores de una variable aleatoria Normal se encuentran m s o menos tres desviaciones est ndar de la media. Distribuci n de probabilidad Normal est ndar Una variable aleatoria que tiene una distribuci n Normal con una media cero y una desviaci n est ndar de uno tiene una distribuci n Normal est ndar.

6 Para designar esta variable aleatoria Normal se suele usar la letra z. Esta distribuci n tiene el mismo aspecto general que cualquier otra distribuci n Normal , pero tiene las propiedades especiales, =0 y =1. Dado que =0 y =1, la f rmula de la funci n de densidad de probabilidad Normal est ndar es una versi n m s simple: Como ocurre con otras variables aleatorias continuas, los c lculos de la probabilidad en cualquier distribuci n Normal se hacen calculando el rea bajo la gr fica de la funci n de densidad de probabilidad. Para la distribuci n Normal est ndar ya se encuentran calculadas las reas bajo la curva Normal y se encuentran con tablas que dan estas reas.

7 Tres tipos de probabilidades que se necesitan calcular son: (1) la probabilidad de que la variable aleatoria Normal est ndar z sean menor o igual que un valor dado; (2) la probabilidad de que z est entre dos valores dados, y (3) la probabilidad de que z sea mayor o igual que un valor dado. (1). Determinar la probabilidad de que z sea menor o igual a 1, es decir P(z<=1). Debido a que la variable aleatoria Normal est ndar es continua P(z<=1) = P(z<1). De la tabla de la distribuci n de probabilidad Normal est ndar: Debido a que la variable aleatoria Normal est ndar es continua, P(z<=1) = P(z<1) = (2).

8 Determinar la probabilidad de que z est en el intervalo entre y , P( <= z <= ). Para calcular esta probabilidad son necesarios tres pasos, primero, se encuentra el rea bajo la curva Normal a la izquierda de z = Segundo, se encuentra el rea bajo la curva Normal a la izquierda de z = Por ltimo, se resta el rea a la izquierda de z = del rea a la izquierda de z = y se encuentra P( <= z <= ). Ejemplo. Determinar P(-1 <= z <= 1). R. P(-1 <= z <= 1)= P(z<=1) P(z<=-1) = =. (3). Para el tercer tipo de probabilidad, determinar P(z>= ). Primero determinamos el rea acumulada a la izquierda de , P(z<= ) = Toda el rea bajo la curva es 1, entonces P(z>= ) = 1 - P(z<= ) = 1 = En algunas situaciones se da una probabilidad y se trata de hacer lo contrario, encontrar el correspondiente valor de z.

9 Suponga que desea hallar un valor z tal que la probabilidad de obtener un valor de z mayor sea El rea bajo la curva a la izquierda del valor desconocido de z debe ser Al recorrer la tabla, se encuentra que es la probabilidad acumulada m s cercana a para un valor de z= , entonces P(z>= ) = Problemas propuestos Determinar para una distribuci n de probabilidad Normal est ndar: a) P(z >= ). b) P( <= z <= ). c) P(0 <= z <= ). d) P( -3 < z <= 0). e) P( <= z <= ). f) P( < z < ). g) P( < z < ). a) P(Z>= ). b) P(Z<= ). c) P( <=Z<= ). d) P(Z>=0). e) P(Z<=0).

10 F) P( >= Z >= ). g)P( >= Z >= ). Dado que z es la variable Normal est ndar, encuentre z en cada una de las situaciones siguientes. a) El rea a la izquierda de z es b) El rea entre 0 y z es c) El rea a la izquierda de z es d) El rea a la derecha de z es e) El rea a la izquierda de z es f) El rea a la derecha de z es C lculo de probabilidades en cualquier distribuci n de probabilidad Normal Cuando una distribuci n Normal con una media cualquiera y una desviaci n est ndar . cualquiera, las preguntas sobre las probabilidades en esta distribuci n se responden pasando primero a la distribuci n Normal est ndar.