ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA …

1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INC GNITA Recordar: Una ecuaci n es una igualdad algebraica en la que aparecen letras (inc gnitas) con valor desconocido. El GRADO de una ecuaci n viene dado por el exponente mayor de la inc gnita. En este tema trabajamos con ECUACIONES lineales (de GRADO 1) con una inc gnita. Solucionar una ecuaci n es encontrar el valor o valores de las inc gnitas que transforman la ecuaci n en una identidad. Dos ECUACIONES son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para conseguir ECUACIONES equivalentes, s lo se puede aplicar alguna de las siguientes propiedades: Propiedad 1: Sumar o restar a las dos partes de la igualdad una misma expresi n.

2 Propiedad 2: Multiplicar o dividir las dos partes de la igualdad por un n mero diferente de cero. Ejercicios de autoaprendizaje: 1. Resolvemos algunas ECUACIONES : Procedimiento para resolver una ecuaci n de 1r GRADO : Eliminar denominadores: multiplicando ambas partes de la ecuaci n por el m nimo com n m ltiplo de los denominadores. (Propiedad 2) Eliminar par ntesis. (Propiedad distributiva) Transposici n de t rminos. Conseguir una ecuaci n de la forma bxa= . (Propiedad 1). Despejar la inc gnita. (Propiedad 2). Comprobar la soluci n. a) ()()7x4425x23=+ + lo primero que hacemos ser las operaciones de los par ntesis 7x8815x6= + sumamos los t rminos en x y los t rminos independientes 77x2=+ transponemos los t rminos 77x2 = 0x2= despejamos la inc gnita 0x= Comprobaci n: Al sustituir en la ecuaci n 0x=, transforma la ecuaci n en identidad.

3 ()()704425023= + + 74253= b) 3x29263x4 +=+ Multiplicamos ambas partes de la ecuaci n por el m nimo com n m ltiplo de los denominadores + = + 3x292663x46 () ( )x292123x24 +=+ eliminamos los par ntesis x418123x24 += x430x21 = transponemos los t rminos 2130xx4 = 9x3= despejamos la inc gnita 3x= Comprobaci n: 332926334 +=+ 332664+= 2. Son equivalentes las siguientes ECUACIONES ? a) 85x=+ y 221x7=+ Tenemos que resolver cada una de ellas y mirar si tienen la misma soluci n. Resolvemos la primera: 3x= Resolvemos la segunda: 21x7= 3x= Como tienen la misma soluci n son ECUACIONES equivalentes. b) x + 3 = 4 y 8x + 8 = 8.

4 Resolvemos la primera: 1x= Resolvemos la segunda: 0x8= 0x= Como no tienen la misma soluci n no son ECUACIONES equivalentes. 3. Problemas resueltos: Procedimiento para resolver problemas de ECUACIONES : Definici n de la inc gnita Traducir al lenguaje algebraico el enunciado. Planteamiento de la ecuaci n. Resoluci n de la ecuaci n. Ver si el resultado de la ecuaci n es coherente con el enunciado a) Un n mero y su quinta parte suman 18. Cu l es el n mero? =xel n mero buscado. (definici n de la inc gnita) Su quinta parte es 5x (transformaci n al lenguaje algebraico). 185xx=+ (es el planteamiento de la ecuaci n). Resolvemos la ecuaci n: 90xx5=+ 90x6= 690x= Entonces, 15x= Notamos que al volver a leer el problema 15x= es coherente con el enunciado, 15 m s 3 (su quinta parte) son18.

5 B) Perd un tercio de las ovejas y llegu con 24. Cu ntas ovejas ten a? =yn mero de ovejas que ten a. Un tercio de las que ten a es 3y El planteamiento ser una resta: 243yy= Resolvemos la ecuaci n: 72yy3= 72y2= 272y= 36y= ovejas. Notamos que el resultado es un n mero natural coherente con el enunciado. c) En una tienda, de un producto me rebajaron el 15% y pagu 51 . Cu nto costaba el producto? =a precio en del producto. El 15% de a es a10015 Lo que costaba el producto menos la rebaja es lo que pagu : 51a10015a= Resolvemos: 10085 a = 51 60a= . El resultado es coherente con el enunciado el 15% de 60 son 9 , entonces pagu 51 d) Regala 8 cromos y se queda con la mitad.

6 Cu ntos cromos ten a? =xn mero de cromos que ten a. Si regala 8 tendr 8x , y dice que esta cantidad coincide con la mitad de los que ten a, es decir, 2x. El planteamiento es: 2x8x= . Resolvemos: x16x2= 16xx2= 16x=cromos. Notamos que el resultado es un n mero natural coherente con el enunciado. e) Hace 15 a os la edad de Lusa era 52 de la edad que tendr dentro de 15 a os. Qu edad tiene ahora? =xedad actual de Luisa. Fa 15 a os tenia 15x a os y d ac 15 a os tendr 15x+. El planteamiento es: ()15x5215x+= Resolvemos: )15x(275x5+= 30x275x5+= 105x3= 3105x= 35x=a os es la edad actual de Luisa. El resultado es coherente con el enunciado.

7 Si ahora Luisa tiene 35 a os, dentro de 15 a os Luisa tendr 50 a os, hace 15 a os ten a 20 a os que son dos quintas partes de 50. Ejercicios propuestos: 1. Son equivalentes las siguientes ECUACIONES ? a) 8x2= y 102x3= b) 8x2= y 166x4= c) 413x=+ y 81x= d) 521xi2152x=+= 2. Resolver las ECUACIONES siguientes: a) 13x55x3 =+ b) x31)x7(5 = c) 27x2)x32(4 = d) )5x2(48x6+ = e) )9x3(2)2x2(3+= f) 25x4)7x4(3 =+ g) )7x3(315x7 =+ h) 73x1231x4 =+ i) 354x125x2 = j) 2x13x5x= + k) 36x34x2 =+ l) 553x2211x=+ + m) 231x261x5=+++ n) 31x21051x6++ =+ o) 305xx= p) 31x33x4=+ q) 0528x615x4=+ r) 212x53x2 = s) 1410x35x2x3+= t) 15)13x(23x453x4 = u) 561x735x425x3 += + v) 6x48x5131x9+= w) 42x15x321x2x5 +=+ x) x33)5x2(235)6x3(4 +=++ y) 1x43)8x2(26x2 =+ z) 2x4)2x(36x7+=+ 3.

8 Resolver las siguientes ECUACIONES : a) )1x(4x35)4x25(10)4x(29+ =+ + b) 4x312176x72133x7 = + c) 205x45x71513x420x23 += + d) 8x5167323x544x =+ e) 30x23x5913x121x6+ = + f) 351x4144x31149x9108x3 + = + g) )1x10(29)6x4(2)8x5(23x48+++=+ h) 51x619x6=+ i) 35xx2121= j) ()5)14x(x4x2+ =+ k) )3x)(1x(4x2++=+ l) 5x)1x)(3x(2+= + m) ())4x)(1x2(1xx22+ =++ Problemas: 1. Transformar en lenguaje algebraico las siguientes proposiciones: a) La mitad de un n mero m s 3. b) Tres n meros pares consecutivos. c) La cuarta parte m s la quinta parte de un n mero. d) El triple del cuadrado de un n mero. e) La diferencia entre los cuadrados de dos n meros consecutivos. f) La ra z cuadrada de un n mero.

9 G) El doble de un n mero m s 3 es igual a 15. h) El cubo de un n mero es igual a 27. i) El doble del cubo de un n mero. j) El cubo del doble de un n mero. 2. Juana tiene 5 a os m s que Amparo. Si entre los dos suman 73 a os, qu edad tiene cada una? 3. Un padre tiene 3 veces la edad de la hija. Si entre los dos suman 48 a os, qu edad tiene cada uno? 4. Determinar tres n meros consecutivos que suman 444. 5. Tengo 32 de lo que vale un ordenador. Cu nto vale el ordenador si me faltan s lo 318 para comprarlo? 6. Despu s de caminar 1500 m me queda para llegar al colegio 53 del camino. Cu ntos metros tiene el trayecto? 7. Un pastor vende 75 de las ovejas que tiene.

10 Despu s compra 60 y as tendr el doble de las que ten a antes de la venta. Cu ntas ovejas ten a en un principio? 8. Determinar un n mero que sumado con su mitad y su tercera parte de 55. 9. Tres socios tienen que repartirse de beneficios. Cu nto le tocar a cada uno, si el primero tiene que recibir 3 veces m s que el segundo y el tercero dos veces m s que el primero? 10. Mi padre tiene 6 a os m s que mi madre. Qu edad tiene cada uno, si dentro de 9 a os la suma de sus edades ser 84 a os? 11. Una bicicleta sale de una ciudad con una velocidad de 25 km/h. 3 horas m s tarde sale un coche a la velocidad de 120 km/h. Cu nto tiempo tardar el coche en alcanzar a la bicicleta?