Ecuaciones diferenciales exactas - Educación Matemática.

1 Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorando en Educaci n Matem tica. Ecuaciones diferenciales exactas Definici n 1: sea f x , y una funci n con derivadas parciales de primer orden continuas en una regi n del plano xy , Llamamos diferencial total de f x , y a la expresi n notada f f df x , y y definida por: df x, y dx dy x y Definici n 2: una expresi n diferencial es una diferencial exacta en una regi n del plano xy , si corresponde a la diferencial total de alguna funci n f x , y . En matem ticas, una ecuaci n diferencial exacta es una ecuaci n diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma: M x, y dx N x, y dy 0, en donde las derivadas parciales de las M N.

2 Funciones M y N: (son iguales). Esto es equivalente a decir que existe una y x f f f f funci n f x , y tal que df x, y dx dy donde M x, y y N x, y . x y x y Dado que f x , y es una funci n diferenciable entonces las derivadas mixtas deben ser M N 2 f iguales y esta es la condici n . Ejemplos de diferenciales exactas son: y x x y ydx xdy 0 y 1 cos x y dx cos x y dy 0. El siguiente teorema proporciona un criterio para determinar su una diferencial es exacta, veamos: Teorema: Sean M x, y , y N x, y continuas y con derivadas parciales de primer orden continuas en una regi n del plano xy , entonces, una condici n necesaria y suficiente para M N 2 f que M x, y dx N x, y dy 0, sea una diferencial exacta es que.

3 Y x x y M todo de resoluci n. Para resolver una ecuaci n diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos: Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorando en Educaci n Matem tica. Comprobar la exactitud de la ecuaci n, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales. Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteni ndose de este modo la soluci n general de la ecuaci n aunque con una funci n inc gnita g que aparece como constante de integraci n. Esto es: f x, y M dx g y N dy g x en cualquiera de las dos direcciones es equivalente.

4 Para despejar la funci n g se deriva f x, y con respecto a la variable independiente de g. Se iguala g' con M o N (si se integr M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrar la funci n g. Finalmente se reemplaza el g encontrado en la soluci n general f x, y . En resumen: Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorando en Educaci n Matem tica. Ejercicios Resolver las siguientes Ecuaciones diferenciales . 1. x 2 y 3 dx x 3 y 2 dy 0 2. 2 xy dx ( x 2 1 )dy 0. 3. sen xy xy cos xy dx x 2 cos xy dy 0. dy 4. (2 x 3 xy 2 ) ( x 2 y 2 y 3 ) 0.

5 Dx x2 y2 x2 y2 . 6. y cos x 2xe y sen x x 2 e y 1 . dy 5. 2x dx dy 0 0. x2 y 2. xy dx x 1 y2 . 7. ln y dx ln x dy 0. y 2y 8. 2 dx - dy 0 y(4) 3. x x . x y x 9. 2x y 2 3x 2. dx .. dy 0 y(1) 1 . 10. ye y dx xe 2xy dy 0 y(2) 4. xy 2 xy . y y4 . Factor integrante. Si una ecuaci n diferencial no es exacta, podr a llegar a serlo si se multiplica por una funci n especial x, y llamada factor integrante, tal que: x, y M x, y dx x, y N x, y dy 0 Sea exacta. Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero s lo para algunas formas de Ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo f cilmente: Factor integrante solo en funci n de x.

6 Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorando en Educaci n Matem tica. Si la ecuaci n diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir, x ), entonces se puede encontrar por medio de la f rmula siguiente: Factor integrante solo en funci n de y. Si la ecuaci n diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir, y ), entonces se puede encontrar por medio de la f rmula siguiente: Factor integrante solo en funci n de x+y. Si la ecuaci n diferencial posee un factor integrante respecto a x+y (es decir, x y ), entonces se puede encontrar por medio de la f rmula siguiente: Con Factor integrante solo en funci n de x y.

7 Si la ecuaci n diferencial posee un factor integrante respecto a x y (es decir, xy ), entonces se puede encontrar por medio de la f rmula siguiente: Con Donde M x Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorando en Educaci n Matem tica. M N. Cabe mencionar que: My , Nx . y x Ejercicios: para cada una de las siguientes E. D. halle un factor integrante que dependa solo de x, , un factor integrante que dependa solo de y. 1. (2 xy 3 )dx ( x 2 1 ) dy 0 2. (2 x y )dx dy 0. 3. ( x y ) 2 dx 2 xy dy 0 4. ( x 2 ) sen y dx x cos y dy 0. 5. 2 xy ln y dx x y 2 2.. y 2 1 dy 0 6. ( x y )dx xy 4 4 3. dy 0. 7. ( x 1 ). 2 dy dx 4 xy x.

8 8. 6 xy dx 4 y 9 x 2. dy 0. Bibliograf a Tom M. Apostol (1979): An lisis matem tico. ISBN 84-291-5004-8. Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorando en Educaci n Matem tica. Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Octava edici n. Thomson Learning Iberoamericana. M xico , M xico. ISBN 970- 686-487-3. Olivos, Elena; Mansilla, Ang lica (2005): Ecuaciones diferenciales , 100 Problemas Resueltos. Primera Edici n. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chil