ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER …

1 TEMA 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE. PRIMER ORDEN Y SUS APLICACIONES. (Prof. Jos Luis Quintero). MOTIVACI N. En cursos anteriores se ha manejado con frecuencia la palabra ecuaci n la cual se utiliza en muy variadas ocasiones, por ejemplo: x2 3x + 2 = 0, x3 1 = 0, senx = 0, tgx = ex , .. y como esas, muchas otras an logas, as como sistemas de las mismas. En esos casos se trata de hallar n meros que son las inc gnitas de la ecuaci n. Estas ECUACIONES pueden admitir m s de una soluci n. Existen numerosos problemas de la Ingenier a, que conducen a plantear ECUACIONES , pero donde ahora las inc gnitas ya no son n meros sino otros objetos matem ticos.

2 Entre estas ECUACIONES se encuentran las denominadas ECUACIONES DIFERENCIALES en las cuales la(s). inc gnita(s) que se presentan son funciones, y se llaman DIFERENCIALES puesto que en dichas ECUACIONES figuran las derivadas de las funciones inc gnitas. En cursos anteriores de C lculo se aprendi que, dada una funci n y = f(x), la derivada dy dx = f '(x) es tambi n una funci n de x y se encuentra mediante alguna 2 2. regla apropiada. Por ejemplo, si y = ex entonces dy dx = 2xex o bien dy dx = 2xy . El problema que se enfrenta en este tema no es: dada una funci n y = f(x), encontrar su derivada; m s bien, el problema es: si se da una ecuaci n tal como dy dx = 2xy , encontrar de alguna manera una funci n y = f(x) que satisfaga la ecuaci n.

3 En una palabra, se desea resolver ECUACIONES DIFERENCIALES . Se debe se alar que sta es una de las ramas de la Matem tica que m s profundamente se ha estudiado desde hace unos 300 a os, siendo la Mec nica Celeste la primera rea donde se aplic . intensamente la teor a de las ECUACIONES DIFERENCIALES . Desde esa poca, el campo de aplicaciones de esta teor a ha aumentado considerablemente, y se puede se alar (a groso modo) que las mismas rigen una gran cantidad de fen menos (deterministas). donde ciertas magnitudes var an de manera continua en funci n de uno o varios par metros, uno de los cuales frecuentemente es el tiempo.

4 ECUACI N DIFERENCIAL. Definici n 1. Una ecuaci n diferencial es aquella en la que intervienen derivadas o DIFERENCIALES . Si tales derivadas son las de una funci n de una variable, entonces a la ecuaci n diferencial se le llama ordinaria. Una ecuaci n diferencial parcial (o en derivadas parciales) contiene derivadas parciales. Problemas propuestos 1. 3 3. dy d2 y d4 y d2 y 5 dy 1. x + y = 7x , 4 + 2 2 x = , 3. Ejemplo 1. Las ECUACIONES x 2 . dx dx dx dx dx 3. (x2 5y + 3)y ' = 7x + 2y , son ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS , mientras que z 2 t 2 t 2 t = 2 , + + = 0 son ECUACIONES DIFERENCIALES parciales o en derivadas y x2 y2 z2.

5 Parciales. Ejemplo 2. Se tienen las siguientes ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS : a. (1 x2 )y '' 2xy '+ ( + 1)y = 0, R (Ecuaci n de Legendre que se presenta en problemas de propagaci n del calor con simetr a esf rica). b. y ''+ (y2 1)y '+ y = 0 (Ecuaci n de Van der Pol que se presenta en problemas de circuitos el ctricos conteniendo tubos al vac o). Ejemplo 3. Se tienen las siguientes ECUACIONES DIFERENCIALES parciales: a. utt a2uxx = 0 (Ecuaci n de onda unidimensional que caracteriza la propagaci n de ondas en algunos medios y las vibraciones mec nicas de una cuerda vibrante).

6 B. uxx + uyy + uzz = 0 (Ecuaci n de Laplace que se presenta en el estudio de potenciales magn tico, el ctrico, gravitatorio y en el flujo de calor). ORDEN DE UNA ECUACI N DIFERENCIAL. Definici n 2. Se llama orden de una ecuaci n diferencial al mayor orden de las derivadas que aparecen en dicha ecuaci n. Es decir, es el orden de la m s alta derivada de la ecuaci n diferencial. 5. d2 y dy . Ejemplo 4. 4 3y = 1 es una ecuaci n diferencial ordinaria de segundo dx2 dx . 4t 2 t orden o de orden dos. La ecuaci n + = 0 es una ecuaci n diferencial parcial de x4 x2.

7 Orden cuatro. Ejemplo 5. x2 y ''+ xy '+ (x2 p2 )y = 0 (Ecuaci n de Bessel que se presenta en problemas de flujo de calor en cilindros, propagaci n de corrientes el ctricas en conductores cil ndricos y vibraciones de membranas) es una ecuaci n diferencial ordinaria de segundo orden. GRADO DE UNA ECUACI N DIFERENCIAL. Definici n 3. El grado de una ecuaci n diferencial lo da la potencia de la derivada de mayor orden en dicha ecuaci n. Problemas propuestos 2. Ejemplo 6. Identificaci n de orden y de grado en ECUACIONES DIFERENCIALES : a.

8 Y ' = tg(x) es una ecuaci n diferencial ordinaria de PRIMER orden y PRIMER grado. 2 z z b. 3x = 6 es una ecuaci n diferencial parcial de orden 2 y grado 1. x2 x 3. dy dy c. dx x dx + 5 = 0 es una ecuaci n diferencial ordinaria de orden 1 y grado 3.. VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE INDEPENDIENTE. Definici n 4. Considere una ecuaci n diferencial que contiene una o m s derivadas de una variable con respecto a otra variable particular. Se denomina variable dependiente a la que presenta derivadas, mientras que la variable independiente es aquella respecto de la cual se realiza la derivada.

9 D3 y d2 y dy Ejemplo 7. En la ecuaci n diferencial 3. 5 2. + 7y = cos(x) y es la variable dx dx dx dependiente, mientras que x es la variable independiente. 2 v 2 v Ejemplo 8. La ecuaci n + = 0 tiene dos variables independientes z, y, y una y2 z2. variable dependiente v. ECUACI N DIFERENCIAL ORDINARIA LINEAL. Definici n 5. Se dice que la ecuaci n diferencial ordinaria (EDO) de la forma F(x, y, y ', y '',.., y(n) ) = 0 es lineal si F es una funci n lineal de las variables y, y ', y '', .., y(n) . Por tanto, la ecuaci n diferencial ordinaria lineal general de orden n es de la forma an (x)y(n) + an 1(x)y(n 1) +.

10 + a1(x)y '+ a0 (x)y = g(x). Es decir, la ecuaci n diferencial ordinaria es lineal si posee las siguientes caracter sticas: a. La variable dependiente y todas sus derivadas son de PRIMER grado, es decir que no pueden tener una potencia distinta de uno. b. Los coeficientes de la ecuaci n diferencial ordinaria an , an 1 , .., a1 , a0 solo dependen de la variable independiente o son constantes reales. Ejemplo 9. Las siguientes ECUACIONES son lineales: 3y '' 3xy '+ (x + 1)y = ex , x3 y ''' x2 y ''+ 3xy '+ 5y = (x + 1)2 , (x + 1)2 y '' 3y ' = cos(x).