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ECUACIONES DIFERENCIALES - UPC Universitat Politècnica …

ECUACIONES DIFERENCIALES . Ignacio Gracia Rivas 1 , Narciso Roma n-Roy 2. Departamento de de Matema tica Aplicada IV. C/ Jordi Girona 1. Edificio C-3, Campus Norte UPC. E-08034 Barcelona February 16, 2010. 1. e-mail: 2. e-mail: Prefacio Estos Apuntes de ECUACIONES DIFERENCIALES constituyen una gu a personal a la asignatura de ECUACIONES DIFERENCIALES que se imparte en la en el curso 1-B de la carrera de Ingenier a de Teleco- municacio n (Plan de Estudios 1992). Por tanto, en ningu n momento pretenden ser una gu a oficial, ni tan siquiera una pauta a seguir respecto a como debe ser impartida la asignatura. Debemos agradecer la colaboracio n de muchos compan eros que han impartido esta asignatura y que, adema s de hacerme valiosas sugerencias, han detectado erratas y errores que han sido ya corregidos (aunque somos conscientes de que todav a pueden quedar otros muchos por detectar). Especialmente nuestro agradec- imiento a Andre s Yebra, por permitirnos el uso y transcripcio n de sus apuntes sobre el tema de la transformacio n de Laplace.

En este primer cap tulo se van a considerar las denominadas ecuaciones diferenciales de primer orden (expresadas en la forma normal). En primer lugar se efectuar a una presentaci on general del tema que incluye de niciones b asicas, ejemplos cl asicos e interpretaciones geom etricas. Se introducir an, a continuaci on, los primeros m etodos anal ...

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1 ECUACIONES DIFERENCIALES . Ignacio Gracia Rivas 1 , Narciso Roma n-Roy 2. Departamento de de Matema tica Aplicada IV. C/ Jordi Girona 1. Edificio C-3, Campus Norte UPC. E-08034 Barcelona February 16, 2010. 1. e-mail: 2. e-mail: Prefacio Estos Apuntes de ECUACIONES DIFERENCIALES constituyen una gu a personal a la asignatura de ECUACIONES DIFERENCIALES que se imparte en la en el curso 1-B de la carrera de Ingenier a de Teleco- municacio n (Plan de Estudios 1992). Por tanto, en ningu n momento pretenden ser una gu a oficial, ni tan siquiera una pauta a seguir respecto a como debe ser impartida la asignatura. Debemos agradecer la colaboracio n de muchos compan eros que han impartido esta asignatura y que, adema s de hacerme valiosas sugerencias, han detectado erratas y errores que han sido ya corregidos (aunque somos conscientes de que todav a pueden quedar otros muchos por detectar). Especialmente nuestro agradec- imiento a Andre s Yebra, por permitirnos el uso y transcripcio n de sus apuntes sobre el tema de la transformacio n de Laplace.

2 I Contents 1 ECUACIONES DIFERENCIALES de Primer Orden 1. Introduccio n .. 1. Definiciones, interpretacio n geome trica y ejemplos .. 1. Definiciones ba sicas .. 1. Interpretacio n geome trica .. 3. Ejemplos de aplicaciones f sicas y matema ticas .. 3. Resolucio n de ECUACIONES de variables separables, lineales y homoge neas .. 4. ECUACIONES integrables elementalmente .. 4. ECUACIONES de variables separadas .. 5. ECUACIONES lineales .. 6. ECUACIONES homoge neas: cambio de variables.. 8. ECUACIONES de Bernouilli y de Riccati .. 9. Aplicaciones: familias de curvas, modelos matema ticos .. 9. Trayectorias ortogonales .. 9. Modelos de poblacio n .. 10. Desintegracio n radiactiva .. 11. Resultados de existencia y unicidad y de dependencia continua de soluciones .. 13. Presentacio n del problema .. 13. Teoremas de existencia y unicidad .. 13. Dependencia continua de las soluciones .. 16. Me todos nume ricos de resolucio n.

3 18. Ideas fundamentales .. 18. Me todo de Euler .. 18. Me todo de Euler modificado .. 18. Me todo de Runge-Kutta .. 18. 2 ECUACIONES DIFERENCIALES (Lineales) de Orden Superior 19. ii ECUACIONES DIFERENCIALES . iii Introduccio n .. 19. Nociones fundamentales. ECUACIONES lineales de orden superior .. 19. ECUACIONES DIFERENCIALES de orden n .. 19. ECUACIONES DIFERENCIALES lineales de orden n .. 21. Estudio de las soluciones de las ECUACIONES DIFERENCIALES lineales de orden n .. 23. Dependencia e independencia lineal de funciones. Wronskiano .. 23. Solucio n de la ecuacio n lineal homoge nea .. 25. Solucio n de la ecuacio n lineal completa: me todo de variacio n de constantes .. 27. ECUACIONES DIFERENCIALES lineales con coeficientes constantes .. 29. ECUACIONES lineales homoge neas con coeficientes constantes .. 29. ECUACIONES lineales completas con coeficientes constantes. Me todo del anulador .. 32. Casos particulares y aplicaciones.

4 33. Caso particular: ECUACIONES de Euler .. 33. Aplicaciones f sicas .. 33. 3 Sistemas de ECUACIONES DIFERENCIALES 35. Introduccio n .. 35. Sistemas de ECUACIONES DIFERENCIALES de primer orden .. 35. Definiciones fundamentales. Teorema de existencia y unicidad de soluciones .. 35. Sistemas de ECUACIONES DIFERENCIALES y ECUACIONES DIFERENCIALES de orden superior .. 36. Sistemas de ECUACIONES DIFERENCIALES de primer orden lineales .. 37. Conceptos generales .. 37. Soluciones de los sistemas de primer orden lineales .. 38. Dependencia e independencia lineal de soluciones .. 39. Solucio n del sistema lineal homoge neo. Matriz Fundamental .. 40. Solucio n del sistema lineal completo. Me todo de variacio n de constantes .. 42. Sistemas de ECUACIONES DIFERENCIALES lineales de primer orden con coeficientes constantes .. 42. Ideas generales .. 42. Estudio del sistema homoge neo (con matriz del sistema diagonalizable).

5 43. Estudio del sistema homoge neo (con matriz del sistema no diagonalizable) .. 45. Estudio del caso general .. 47. 4 La Transformacio n de Laplace 49. Introduccio n .. 49. Definiciones ba sicas y propiedades .. 49. Transformadas de Laplace .. 49. ECUACIONES DIFERENCIALES . iv Primeras propiedades .. 51. Transformadas de Laplace de algunas funciones elementales .. 54. Inversio n (por descomposicio n en fracciones simples) .. 56. Aplicacio n a la resolucio n de ECUACIONES DIFERENCIALES .. 57. Resolucio n de problemas de valor inicial de ECUACIONES y sistemas con coeficientes constantes .. 57. Excitaciones discontinuas: Funcio n de Heaviside .. 57. Delta de Dirac .. 58. Convolucio n y sistemas lineales .. 60. 5 ECUACIONES DIFERENCIALES en Derivadas Parciales 63. Introduccio n .. 63. ECUACIONES en derivadas parciales y problemas de contorno .. 63. Definiciones ba sicas .. 63. Problemas de contorno. Tipos de condiciones de contorno y de valor inicial.

6 64. Clasificacio n de las ECUACIONES en derivadas parciales de segundo orden lineales .. 65. Series de Fourier y funciones ortogonales .. 68. Series y coeficientes de Fourier .. 68. Convergencia de series de Fourier .. 70. Funciones pares e impares .. 72. Extensio n a intervalos arbitrarios .. 73. Funciones ortogonales: series de Fourier generalizadas .. 73. Convergencia en media cuadra tica de series de Fourier .. 75. Ejemplos de ECUACIONES en derivadas parciales de segundo orden y su resolucio n .. 78. Me todo de separacio n de variables. Problema de Sturm-Liouville .. 78. Ecuacio n de ondas (o de la cuerda vibrante) .. 79. Ecuacio n del calor .. 81. Ecuacio n de Laplace. Problema de Dirichlet .. 83. Chapter 1. ECUACIONES DIFERENCIALES de Primer Orden Introduccio n En el estudio de un problema de Matema tica Aplicada pueden distinguirse esencialmente tres etapas: la formulacio n matema tica del problema, la resolucio n del problema matema tico y, finalmente, la interpretacio n de los resultados obtenidos.

7 Las dos primeras etapas, que constituira n en principio nuestro objetivo, conducen habitualmente al planteamiento y resolucio n de ECUACIONES DIFERENCIALES . En este primer cap tulo se van a considerar las denominadas ECUACIONES DIFERENCIALES de primer orden (expresadas en la forma normal). En primer lugar se efectuara una presentacio n general del tema que incluye definiciones ba sicas, ejemplos cla sicos e interpretaciones geome tricas. Se introducira n, a continuacio n, los primeros me todos anal ticos de resolucio n para algunos tipos particulares de ECUACIONES de primer orden; analizando, tambie n, algunas aplicaciones de los casos estudiados, mediante la presentacio n de modelos matema ticos de ciertos feno menos. Seguidamente se estudiara n los teoremas de existencia y unicidad de soluciones y su prolongacio n anal tica y, finalmente, se comentara n los primeros me todos nume ricos de resolucio n.

8 Definiciones, interpretacio n geome trica y ejemplos Definiciones ba sicas Comenzaremos con unas definiciones de cara cter introductorio. Definicio n 1 Se denomina ecuacio n diferencial a una relacio n entre una funcio n (suficientemente deriv- able), sus variables y una o varias derivadas sucesivas de la funcio n. Se denomina ecuacio n diferencial ordinaria a una ecuacio n diferencial en la que la funcio n depende so lo de una variable. En este u ltimo caso, se dice que la ecuacio n esta expresada en forma normal o expl cita sii la derivada de orden superior aparece despejada como funcio n de todos los dema s ingredientes de la ecuacio n. En caso contrario se dice que la ecuacio n esta expresada en forma impl cita 1 . Dada una ecuacio n diferencial (ordinaria o no): 1. Se denomina orden de la ecuacio n al de la derivada de mayor orden que interviene en la ecuacio n. 1 Es obvio que toda ecuacio n en forma normal puede ser expresada en forma impl cita.

9 Lo contrario no siempre es factible. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES . 2. 2. Se denomina grado de la ecuacio n al exponente de la derivada de mayor orden. Si y = y(x) indica una funcio n derivable hasta el orden que convenga, una ecuacio n diferencial ordinaria de orden n (n N) en forma impl cita es una expresio n del tipo F (x, y(x), y 0 (x), .. , y (n) (x)) = 0. mientras que expresada en forma expl cita adopta la forma y (n) (x) = f (x, y(x), y 0 (x), .. , y (n 1) (x)). Comentario: Como ya se anuncio en la introduccio n, en este tema so lo se tratara n las ECUACIONES DIFERENCIALES ordinarias de primer orden las cuales, si no se dice lo contrario, se supondra n expresadas en forma normal. No obstante, las ECUACIONES DIFERENCIALES ordinarias de primer orden pueden expresarse tambie n en forma diferencial g(x, y)dx + h(x, y)dy = 0. El paso de esta forma a la expl cita (y rec procamente) se efectu a simplemente poniendo f (x, y) =.

10 G(x, y).. h(x, y). Definicio n 2 Dada una ecuacio n diferencial ordinaria F (x, y(x), y 0 (x), .. , y (n) (x)) = 0 (o bien y (n) (x) =. f (x, y(x), y 0 (x), .. , y (n 1) (x))): 1. Se denomina solucio n particular (o tambie n integral particular o curva integral) de la ecuacio n en el intervalo I R a una funcio n y (x), derivable hasta el orden que convenga en I, tal que F (x, (x), 0 (x), .. , (n) (x)) = 0 o bien (n) (x) = f (x, (x), 0 (x), .. , (n 1) (x)) ; x I. 2. Se denomina solucio n general (o tambie n integral general) de la ecuacio n en el intervalo I R al conjunto de las soluciones (o integrales) particulares de la ecuacio n en dicho intervalo. Comentario: Geome tricamente hablando, las soluciones de las ECUACIONES DIFERENCIALES son curvas en R2 . Atendiendo a la definicio n dada, si y = (x) es una solucio n de una ecuacio n, dicha curva es, obviamente, graf . No obstante, la curva en cuestio n es, a menudo, dif cil e incluso imposible de expresar anal ticamente en forma expl cita y, por tanto, las soluciones de las ECUACIONES DIFERENCIALES se presentan con frecuencia en la forma de funciones definidas impl citamente, (x, y) = 0, Ejemplos: Ecuacio n: y 00 + 4y = 0.


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