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ECUACIONES DIFERENCIALES - Web oficial de la …

E-Book ISBN 978-987-1676-25-5. Serie Didactica Nro. 11 Fecha de catalogaci n: 19/12/2014. C TEDRA DE. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. MATEMATICA II. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS. ECUACIONES DIFERENCIALES . Equipo docente: Lic. Elsa Ibarra de G mez Lic. Josefa Sanguedolce Lic Silvia Nabarro de Ger Febrero 2005. i n teg ran tes EQUIPO DOCENTE DE C LCULO DIFERENCIAL E. INTEGRAL DE LA FACULTAD DE CIENCIAS FORESTALES. Lic. Elsa Ibarra de Gomez Lic Josefa Sanguedolce Lic. Silvia Ger Aytes. Estudiantiles: Zulma Lima Paola Marozzi ag radeci m i en to s A: Las Ayudantes Estudiantiles Zulma Lima y Paola Marozzi por haber colaborado en el tipeado del trabajo Las estudiantes de Comunicaci n Social de la UCSE: Luciana Barchini y Alejandra Cavallotti por haber colaborado en el dise o Ing.

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1 E-Book ISBN 978-987-1676-25-5. Serie Didactica Nro. 11 Fecha de catalogaci n: 19/12/2014. C TEDRA DE. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. MATEMATICA II. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS. ECUACIONES DIFERENCIALES . Equipo docente: Lic. Elsa Ibarra de G mez Lic. Josefa Sanguedolce Lic Silvia Nabarro de Ger Febrero 2005. i n teg ran tes EQUIPO DOCENTE DE C LCULO DIFERENCIAL E. INTEGRAL DE LA FACULTAD DE CIENCIAS FORESTALES. Lic. Elsa Ibarra de Gomez Lic Josefa Sanguedolce Lic. Silvia Ger Aytes. Estudiantiles: Zulma Lima Paola Marozzi ag radeci m i en to s A: Las Ayudantes Estudiantiles Zulma Lima y Paola Marozzi por haber colaborado en el tipeado del trabajo Las estudiantes de Comunicaci n Social de la UCSE: Luciana Barchini y Alejandra Cavallotti por haber colaborado en el dise o Ing.

2 Gustavo Nassif por su inestimable colaboraci n en la publicaci n de la serie introducci n Esta Serie Did ctica ha sido elaborada con el prop sito de que sirva de gu a a los alumnos de todas las carreras de grado de la Facultad de Ciencias Forestales que necesiten estudiar ECUACIONES DIFERENCIALES . En ella los mismos encontrar n las nociones fundamentales de las ECUACIONES DIFERENCIALES ordinarias de primer orden y de las ECUACIONES DIFERENCIALES ordinarias lineales de segundo orden y una gran variedad de problemas. El aspecto m s importante de este material se centra en la consideraci n de las ECUACIONES DIFERENCIALES como modelos matem ticos. Con este prop sito se desarrollan varios modelos relacionados espec ficamente con las tem ticas de las distintas carreras que se cursan en nuestra facultad.

3 Esto ltimo hace de la serie una alternativa de consulta apropiada tambi n para egresados de nuestra facultad. Esperamos que la misma sea de gran utilidad para todos ellos. Lic. Elsa Ibarra de G mez Responsable de C lculo Diferencial e Integral Febrero de 2005. ndice I- NOCIONES g. 6. Clasificaci n de las ECUACIONES DIFERENCIALES ..p g. 10. Clasificaci n seg n su tipo Clasificaci n seg n el g. 11. Clasificaci n seg n la g. 12. Soluci n de una ecuaci n diferencial ..p g. 13. Soluciones expl citas e impl citas .. p g. 14. Soluciones generales y particulares de una ..p g. 15. Ejercicios sugeridos ..p g. 17. Problemas de valor Inicial II- ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER. g. 19. Generalidades ECUACIONES DIFERENCIALES con variables separadas y g. 20. ECUACIONES DIFERENCIALES homog neas de primer orden.

4 P g. 27. II. Generalidades Soluci n de una ecuaci n diferencial homog nea ..p g. 28. II. 3 ECUACIONES lineales de 1 orden ..p g. 31. Generalidades Resoluci n de ECUACIONES lineales de primer orden ..p g. 32. La ecuaci n de Bernoulli ..p g. 35. ECUACIONES DIFERENCIALES ordinarias de primer orden exactas ..p g. 36. Generalidades III. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES COMO. MODELOS MATEM g. 40. Algunos modelos matem ticos que se corresponden con ECUACIONES g. 41. Crecimiento y Decrecimiento Crecimiento bacteriano ..p g. 42. Relaci n del crecimiento con la funci n g. 44. Crecimiento de una c lula ..p g. 45. Proceso de nacimiento-muerte ndice Crecimiento g. 48. Determinaci n de la edad de g. 49. Antig edad de un f sil ..p g. 50. Ley de Newton del g. 53. Eliminaci n de g.

5 55. Decaimiento radiactivo ..p g. 56. Problemas a modo de g. 58. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. DE ORDEN SUPERIOR ..p ECUACIONES DIFERENCIALES lineales de orden n Problemas de valores iniciales Existencia y unicidad de las soluciones ..p g. 63. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. HOMOG NEAS Y NO HOMOG Conceptos generales Teorema: Principio de superposici Teorema Dependencia e independencia lineal Conjunto fundamental de soluciones ..p g. 68. Existencia de un conjunto fundamental Soluci n general de una ecuaci n homog nea ..p ECUACIONES LINEALES HOMOG NEAS. CON COEFICIENTES CONSTANTES ..p Generalidades. Casos. Ra ces reales y distintas ..p Ra ces reales e iguales Ra ces complejas Ejercicios sugeridos ..p Problemas ..p g. 74. ECUACIONES DIFERENCIALES de las oscilaciones mec nicas.

6 P BIBLIGRAF ECUACIONES DIFERENCIALES I- NOCIONES GENERALES. - Consid rese una poblaci n que aumenta P (t) personas (o animales, bacterias o cualquier especie de organismos) en el tiempo t. - Sup ngase que esta poblaci n tiene una tasa de natalidad constante y una tasa de mortalidad . -En l neas generales, esto significa que, durante un per odo de un a o, ocurrir n P nacimientos y P muertes. - Como P var a en el transcurso del a o, pensaremos en un breve intervalo de tiempo; de t a t+ t - Para valores muy peque os de t , el valor de P=P(t) cambiar en una cantidad [ ]. tan peque a durante el intervalo de tiempo t;t + t , que se puede considerar a P. como si fuera casi constante. (). - El n mero de nacimientos se aproximar a, P t t (1); y el n mero de muertes a P( t ) t.

7 - Al decir que la tasa de natalidad es y la de mortalidad es , queremos significar lo siguiente: - Las razones a t de los errores, en las aproximaciones anteriores tienden a cero cuando t tiende a cero. - Usamos l informaci n dada en (1) para deducir, de ser posible, la forma de la funci n P(t) que describe nuestra poblaci n. - Para ello: buscaremos la raz n de cambio con respecto al tiempo de P. - Consideremos por lo tanto el incremento: P = P ( t + t ) P ( t ); en el intervalo t ; t + t . 6. ECUACIONES DIFERENCIALES - Puesto que P no es m s que el n mero de nacimientos menos el n mero de defunciones, se encuentra a partir de (1), que: ( ) () (). P = P t + t P t P t t P t t () (2). P P ( t + t ) P ( t ). En consecuencia: = ( ) P (t ) (3). t t - Cuando t 0 ; el cociente del 2 miembro se acerca a la derivada P'(t), y por supuesto, tambi n se acerca al 2 miembro ( ) P(t).

8 - Simb licamente: P P ( t + t ) P ( t ). lim = lim = P '(t ) (4). t 0 t t 0 t Y por (3), ( ) (). P'(t)= P t (5). - Y si designamos k = ( ) , quedar : P'(t)=k P(t) (6). O bien: (). dP. = kP t (7). dt La expresi n (7) es una ecuaci n diferencial que puede ser considerada como modelo matem tico de la poblaci n cambiante. dx - La ecuaci n diferencial = kx , con k constante (7), sirve como modelo dt matem tico de una gran variedad de fen menos naturales. - Esta ecuaci n diferencial es de f cil resoluci n. 7. ECUACIONES DIFERENCIALES 1 dx 1. - Pong mosla as : . =k o bien dx = kdt x dt x - Observamos que esta ecuaci n representa lo siguiente: D. x [ ln x ] = D [ kt ]. t (8). -Si integramos, nos queda: dx = kdt (9). x Lo que nos permite obtener: ln x =kt + C. - y si despejamos x, tendremos: x= exk+C x = ekx + eC (10).

9 EC es una constante que puede llamarse A, as si reemplazamos en (10), obtendremos: x = Aekx (11). - Observamos que A no es m s que el valor de x cuando t=0, o sea A= x(0)=x0. Sustituyendo en (11) obtendremos la soluci n de la ecuaci n diferencial (7). con el valor inicial x(0)=x0: x (t ) = x e kt (12). 0. - La ecuaci n (7) suele llamarse ecuaci n de crecimiento exponencial, o ecuaci n de crecimiento natural . 8. ECUACIONES DIFERENCIALES - En (12), se advierte que para x0 0, la soluci n x(t) es una funci n creciente si k 0. - Observamos las gr ficas de la soluci n de una ecuaci n diferencial tal, para los casos en que k 0 y k 0 . y y x0. x = x0e kt x0. x = x0 e kt x x k 0 k 0. - As como este, podemos proponer muchos ejemplos de fen menos naturales para los cuales, sta ecuaci n sirve de modelo matem tico.

10 Antes daremos algunas definiciones que nos permitir n introducirnos en la teor a de las ECUACIONES DIFERENCIALES . i Definici n Una ecuaci n que contiene la derivada de una o m s funciones que dependen de una o m s variables, es una ecuaci n diferencial (ED). Es decir, una ecuaci n diferencial es una ecuaci n que relaciona una funci n (no conocida) y sus derivadas. 9. ECUACIONES DIFERENCIALES Son ejemplos de ED; las siguientes: ( ). dN. I) = k P N , ecuaci n de crecimiento poblacional. dt dy II) F = R fuerza de la resistencia del aire. R dt ( ) ecuaci n del enfriamiento (o calentamiento de un cuerpo). dT. III) = k T A. dt 2. IV) d y + y = 0. 2. dx '' ''. V) y + ky + by senx = 0. Clasificaci n de las ECUACIONES DIFERENCIALES Las ECUACIONES DIFERENCIALES se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.


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