EJERCICIOS ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA …

1 1 EJERCICIOS DE ESTAD STICA DESCRIPTIVA UNIDIMENSIONAL1. Se realiza un estudio en una ciudad sobre la capacidad hotelera y se obtienen los siguientesresultados:Plazas)LL[1ii+ N mero de Hotelesin0 102510 305030 605560 10020a) Representar gr ficamente esta distribuci n de frecuencias mediante un ) Cu l es la proporci n de hoteles que disponen de entre 11 y 60 plazas?c) Cu ntos hoteles tienen treinta o menos plazas?d) cu l es la proporci n de hoteles que disponen de entre 15 y 50 plazas?. Qu hip tesis hace para este ltimo c lculo?Soluci n:a)Intervalos)LL[1ii+ absolutaacumuladaiNFr. relativaNnfii=Fr. absolutarelativaNNFii=Densidadiiicnd=0 1025105250,170,172,510 30502020750,330,502,530 605530451300,3770%0,871,8360 1002040801500,1310,51501001b) El 70% de los hoteles disponen entre 11 y 60 plazas: %)70(7,0ff32=+, o bien 7,01501051505550 Nnn%32==+=+=c) Los hoteles que tienen treinta o menos plazas: 75N2=2d) Proporci n de hoteles que disponen entre 15 y 50 plazas: Entre 15 y 30: hoteles5,37xx155020x1530501030== = 66 Entre 30 y 50: hoteles67,36xx205530x3050553060== = 66El n mero de hoteles entre 15 y 50 plazas hay hoteles17,7467,365,37=+La proporci n de hoteles con estas plazas.]]

2 %44, ,74hoteles%==En el c lculo realizado se supone que la distribuci n de hoteles es uniforme, es decir, se supone quehay el mismo n mero de hoteles con 31 plazas, con 32 plazas, cada caso, este n mero es la densidad =iiicndde frecuencia Se ha realizado un estudio entre 100 mujeres mayores de 15 a os, observ ndose el n mero dehijos de las mismas. El resultado ha sido:N mero de hijos )x(iN mero de mujeres )n(i0131202253204115764a) Calcular el n mero medio de hijos, la mediana y la ) Calcular los cuartiles. Explicar su ) Cu l es el n mero m ximo de hijos que tiene el 70% de las mujeres que menos hijos tienen?d) Calcular la desviaci n t pica y coeficiente de variaci n de ) Analizar la forma de la distribuci n calculando los coeficientes n:a)ixiniNNnfii=NNFii=iinx)xx(i 2i)xx( i2in)xx( i3in)xx( i4in)xx( 0 13 130,13 0,130 2,335,4370,58 164,44383,1512033 0,200,33 20 1,331,7735,38 47,0562,58225 580,250,58 50 0,330,112,72 0,900,3032078 70 50 250,200,78 60 0,670,458,986,024,034 11 89 0,11 0,89 44 1,672,7930,6851,2385,565 7 96 0,07 0,96 35 2,677,1349,90133,24355,756 4 100 0,04124 3,6713,4753,88197,72725,651001,0233252,1 1175,821617,013 Media aritm tica: 33,2100233 Nnxx71iii=== =Mediana.

3 2Me= (pasa de la mitad 50%) 2Md= )ndegram sel,25n(3=b) 1 Cuartil %)25delpasaF(hijo1Q:25410021= =2 Cuartil %)50delpasaF(hijos2MQ:5021003e2== =3 Cuartil %)75delpasaF(hijos3 =c) El n mero m ximo de hijos que tiene el 70% de las mujeres que menos hijos tienen es el decil 7 Decil 7: 3 hijos )7,0depasaF4d) Varianza: []271ii222hijos5211,210011,252 Nnxxsm== == = Desviaci n t pica: hijos59,15211,2s== Coeficiente de Variaci n de Pearson: %24,68deldispersi nuna6824,033,259, ) ASIMETR A DE LA DISTRIBUCI N: Coeficiente de asimetr a de Fisher: positivaoderechalaaAsimetr a04378,059,176,1sn)xx(N1smg3371ii3i3316> == == = Coeficiente de asimetr a de Bowley: Sim + +=+ +=APUNTAMIENTO O CURTOSIS: Coeficiente de curtosis: CAPLATIC RTI047,0359,117,16sn)xx(N13smg4471ii4i44 26< = = = = =43.

4 En la tabla se refleja la distribuci n del importe de las facturas (en euros) por reparaci n decarrocer a de una muestra de 80 veh culos en un N mero de facturas0 601060 802080 12040120 24010Se pide:a) Calcular el importe medio. El valor hallado es representativo de la distribuci n de facturas?b) Calcular el importe mediano y el importe m s ) Cu l es el importe m ximo pagado por las 60 reparaciones m s baratas?.d) Calcular el importe m nimo pagado por el tercio de veh culos con facturas de mayor ) Grado de asimetr a que representa la distribuci n con la mayor precisi n n:a))LL[1ii+ 6030 10 300900010 0,13 0,13600,16760 80 70 20 1400 98000 30400,25 0,3820180 120 100 40 4000 400000 70 0,500,88401120 240 180 10 1800 324000 80 0,13 1,00 1200,08380 7500 8310001180El importe medio: euros75, =La representatividad queda definida por el CV (Coeficiente de Variaci n de Pearson):5, =4375,159875,935,10387aas22122= = = euros98,394375,1598s==REPRESENTACI N GR FICA DE LA MEDIA%)64,42(4264,075,9398,39CV==El grado de dispersi n es del 42,64%.]

5 5b) El importe mediano se encuentra en el intervalo [)12080 Mediana :40280 = 904030703040804030703028080cNNN2 NLMiin1ii1iie= += += += 688,0F3=La Mediana pasa del 50% del n mero de facturas. El importe m s frecuente es la moda, dM, que se encuentra en los intervalos [)8060 y[)12080 por ser 1hh32== la densidad m s alta. i1ii1ii1iiidc)dd()dd()dd(LM+ + += Moda aproximada: i1i1i1iidcdddLM+ +++= Intervalo [)8060 : euros8020)11()167,01()167,01(60Md= + += Intervalo [)12080 : euros8040)083,01()11()11(80Md= + +=NOTA. Advi rtase que calculando la Moda aproximada (cuando existen intervalos de distintasamplitudes), nos encontramos ante un caso bimodal. Intervalo [)8060 : euros14,77201167,0160M1d=++= Intervalo [)12080 : euros07,8340083,01083,080M2d=++=Como los intervalos modales son contiguos podr a hacerse tambi n como un nico intervalo modal de[)12060.]]]]]]]]

6 C) Importe m ximo pagado por las 60 reparaciones m s baratas: Haciendo 100 partes, la proporci nde las 60 facturas respecto a la 80 6 Hay que calcular el tercer cuartil (o el percentil 75) == euros110403070306080cNNN4N3LQ4/N3iin1ii1 ii3= += += []753PQ=d) El importe m nimo pagado por el tercio de veh culos con facturas de mayor / 3x = :10010 = ii167iiii1n67N/10067 NN54 3010P Lc 8040 104 eurosN N70 30 =+= += e) Para calcular el grado de asimetr a y curtosis que presenta la distribuci )xx(i i2in.)xx( i3in.)xx( i4in.)xx( 30 10 300 63,7540640,625 2590839,84 165166040,0470 20 1400 23,7511281,25 267929,696363330,08100 40 40006,251562,59765,6361035,16180 10 1800 86,2574390,6256416191,41553396508,7980 75001278753567187,50724986914,06 75, = 98,394375,1598s4375,159880127875Nn.

7 Xx(s41ii2i2==== = =6 70,18888050,3567187Nn.)xx(m41ii3i3== = = 43,90623368006,724986914Nn.)xx(m41ii4i4= = = = Coeficiente de asimetr a de Fisher: 600295,098,3970,1888smg3331 ===Asimetr a positiva(peque a asimetr a hacia la derecha) Coeficiente de asimetr a de Bowley: + +=+ +=Sim trica 70201030102060cNNN4 NLQ4/Niin1ii1ii1= += += 110403070306080cNNN4N3LQ4/N3iin1ii1ii3= += += Coeficiente de curtosis o apuntamiento: 60547,0398,3943,90623363smg4442>= = =Ladistribuci n es LEPTOC RTICA (mayor apuntamiento que la distribuci n normal).En consecuencia, la distribuci n del importe de facturas presenta una peque a asimetr a a la derecha(positiva) con un mayor apuntamiento que la distribuci n normal (Leptoc rtica).74. Una entidad bancaria dispone de 50 sucursales en el territorio nacional y ha observado el n merode empleados que hay en cada una de ellas para un estudio posterior.)

8 Las observaciones obtenidashan sido:12 10 9 11 15 16 9 10 10 11 12 13 14 15 11 11 1216 17 17 16 16 15 14 12 11 11 11 12 12 12 15 13 1416 15 18 19 18 10 11 12 12 11 13 13 15 13 11 12a) Calcular la distribuci n de frecuencias de la variable obteniendo las frecuencias absolutas, relativas y sus correspondientes ) Qu proporci n de sucursales tiene m s de 15 empleados?c) Diagrama de barras y diagrama acumulativo de frecuencias ) Agrupar en intervalos de amplitud 3 los valores de la variable, calcular su distribuci n de frecuencias y representar el histograma y su pol gono de frecuencias ) Calcular la mediana y el coeficiente de asimetr a de Fisher en datos agrupados en intervalos de amplitud n:a)empleadossucursalesFr.

9 Absolutan empleadosFr. absoluta acumuladaempleado/sucursalFr. relativaFr. relativa acumuladaixiniNNnfii=NNFii=9220,040,0410 460,080,121110160,200,321210260,200,5213 5310,100,62143340,060,68156400,120,81654 5 0,1 0,9172470,040,94182490,040,98191500,02 1501b) Las sucursales con m s de 15 empleados: 101225nnnn111098=+++=+++% sucursales con m s de 15 empleados % )8d) Los datos agrupados en intervalos de amplitud 3:Intervalos empleadossucursalesF. absolutan empleadosF. abs acumuladaempleado/sucursalFr. relativaFr. relativaacumuladaamplituddensidad(altura ))LL[1ii+ ixiniNNnfii=NNFii=iciiicnd=8 119,5660,120,123211 14 12,525310,500,6238,3314 17 15,514450,30,9034,6717 20 18,55500,10131,6750112e) Para calcular la mediana y el coeficiente de asimetr a de Fisher:)LL[1ii+ ixiniNiciinxi2in.]]

10 Xx( i3in.)xx( 8 119,566 3 5799,8822,6824,48 407,5011 14 12,5 25 31 253 312,5 29,1619,527 31,4914 17 15,5 14 45 3 217 51,6131,0826,8899,0917 20 18,5 550 3 92,5 121,0326,124,6595,4850679 301,6899,36 102,96 255,5758, = 77,703,6s03,65068,301Nn.)xx(s41ii2i2==== = =6928,13363162511cNNN2 NLM2/Niin1ii1iie= += += El coeficiente de asimetr a de Fisher: 331smg=11,55057,255Nn.)xx(m41ii3i3== = =60011,077,711,5smg3331>===La distribuci n presenta una ligera asimetr a a la derecha5. Se ha realizado una encuesta en 30 hogares en la que se pregunta el n mero de individuos queconviven en el domicilio habitualmente. Las respuestas obtenidas son las siguientes:44135324162345662333218353472 3a) Calcular la distribuci n de frecuencias de la variable obteniendo las frecuencias absolutas, relativasy sus correspondientes ) Qu proporci n de hogares est n compuestos por tres o menos personas?