Ejercicios Resueltos Combinatoria

1 1 Ejercicios Resueltos Combinatoria 1. De cu ntas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles? N tese que importa el orden en que se sienten las personas, ya que los cuatro sitios son diferentes, y que una persona no puede ocupar m s de un sitio a la vez. Por lo tanto, hay ()10,410! 10!V1050409 8 710 4 ! 6!=== = maneras. 2. En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cu ntos modos puede hacerse si: 1. los premios son diferentes. 2. los premios son iguales. Hay dos supuestos posibles: Si una misma persona no puede recibir m s de un premio: Suponemos que NO puede recibir m s de un premio, luego los alumnos NO se pueden repetir: Caso1: Los premios son diferentes (no es lo mismo ganar el primer premio que el segundo) importa el orden, hay ()10,310!

2 10!V10 9 810 3 ! 7!720=== = maneras de distribuir los premios si estos son diferentes; Caso2: Los premios son iguales, no importa el orden, son indistinguibles, pueden distribuirse de ()10,310!10! 10 9 8C10 3 ! 3! 71! 3! 3 2 120 ==== maneras de distribuir los premios si estos son iguales. Si un mismo alumno puede recibir mas de un premio luego los alumnos se pueden repetir: Caso1: Los premios son diferentes (no es lo mismo ganar el primer premio que el segundo) importa el orden, hay 310,3VR 101000== maneras de distribuir los premios si estos son diferentes; 2 Caso2: Los premios son iguales, no importa el orden, son indistinguibles, pueden distribuirse de ()10,310 3 1,312,312!

3 12! 12 11 10CR CC12 32! 3! 9! 3! 3 2210+ ===== maneras de distribuir los premios si estos son iguales. 3. Las diagonales de un pol gono se obtienen uniendo pares de v rtices no adyacentes. 1. Obtener el n mero de diagonales del cuadrado y el hex gono. Comenzamos calculando el n mero de diagonales del cuadrado. Unimos dos puntos no adyacentes (tenemos cuatro v rtices) pero solo habr una recta que pase por los dos, no importa el orden, hay ()4,24!4! 4 3 2C4 2 ! 2! 2! 2 26!2 ==== uniones posibles De las 6 uniones posibles de dos v rtices diferentes cualesquiera, adyacentes o no.

4 Si de estas 6 parejas eliminamos las que corresponden a v rtices adyacentes (tantas como el n mero de lados del cuadrado), quedaran Diagonales 6 42= = diagonales. Procedemos del mismo modo con el hex gono, se obtienen ()6,26!6! 6 5C6 2 ! 2! 4!2152! ==== De las 15 uniones posibles de dos v rtices diferentes cualesquiera, adyacentes o no. Si de estas 15 parejas eliminamos las que corresponden a v rtices adyacentes (tantas como el n mero de lados del cuadrado), quedaran Diagonales 15 69= = diagonales. 4. Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares.

5 De cu ntas maneras puede hacerse? Ya que la fila es de 9 individuos en total, hay 4 posiciones pares (que deben ser ocupadas por las 4 mujeres) y 5 posiciones impares (para los 5 hombres). 3 Por lo tanto, pueden colocarse de: 45P 4! 24(n mero de posibles colocaciones)Total 24 120manerasP 5! 120(n mero de posibles colocaciones)hmujerombre es 2880 == = = == 5. Cu ntos n meros de 4 d gitos se pueden formar con las cifras 1,2,.. ,9 1. Permitiendo repeticiones; 2. Sin repeticiones; 3. Si el ltimo d gito ha de ser 1 y no se permiten repeticiones. 1. Permiten repeticiones, e importa el orden (son n meros no es lo mismo el n mero 1224 que el 2214) 49,4VR 96561== n meros posibles.

6 2. No se permiten repeticiones, e importa el orden igual que en el apartado. Por tanto, se pueden formar: ()9,49! 9!V9 8 7 69 4 ! 53024!=== = n meros. 3. Fijamos el ltimo d gito (El n mero 1 est en la ltima posici n) y, como no puede haber repeticiones (nos quedan ocho n meros para tres posiciones), se obtiene un total de ()8,38! 8!V8 7 68 3 ! 5!336=== = n meros. 4 6. En un grupo de 10 amigos, cu ntas distribuciones de sus fechas de cumplea os pueden darse al a o? Considerando que el a o tiene 365 d as y que puede darse el caso de que varias personas cumplan en la misma fecha (se permiten repeticiones adem s importa el orden son fechas), el n mero de maneras distintas es: 365,1010VR365= 7.

7 Cu ntas letras de 5 signos con 3 rayas y 2 puntos podr a tener el alfabeto Morse? Dado que de los cinco elementos tan s lo hay dos diferentes (rayas y puntos) que se repiten 3 y 2 veces, respectivamente, tenemos permutaciones con repetici n (se repiten los elementos), obteniendo as un total de 3,255! 5 4PR3! ! 2102 === letras. 8. Cuando se arrojan simult neamente 4 monedas, 1. cuales son los resultados posibles que se pueden obtener? 2. cu ntos casos hay en que salgan 2 caras y 2 cruces? Suponiendo que las monedas son iguales: 1. Dado que un mismo resultado individual (cara o cruz) puede obtenerse en varias monedas a la vez (repetici n), y que las monedas no pueden distinguirse entre si (no importa el orden en la mesa se lee el resultado), existen ()2,42 4 1,45,45!

8 5!CR CC5 4 ! 4!!51! 4+ ==== resultados posibles. Estos casos son: {}E CCCC,CCXX,CCCX,CXXX,XXXX= 2. Como las monedas se arrojan simult neamente, s lo habr un caso posible con 2 caras y 2 cruces. Suponiendo que las monedas son distintas: 5 1. En este caso, puesto que se distinguen las monedas entre si (importa el orden) y en una tirada pueden haber varias con el mismo resultado individual (se permiten repeticiones), hay un total de 2,44R1V2 6== resultados posibles. 2. Se calcula el n mero de elementos con dos caras y dos cruces, tenemos elementos repetidos y tomamos todos ellos luego permutaciones con repetici n: 2,244!

9 4 3PR2! 2!62 === resultados de dos caras y dos cruces. 9. Cuatro libros de matem ticas, seis de f sica y dos de qu mica han de ser colocados en una estanter a Cu ntas colocaciones distintas admiten si: 1. los libros de cada materia han de estar juntos; 2. S lo los de matem ticas tienen que estar juntos? Supongamos que los libros de cada materia tambi n son diferentes (de distintos autores). 1. Consideramos cada conjunto de libros de una misma materia como una unidad. Entonces, hay 3P 3! 6== ordenaciones posibles de las materias. Adem s hay que considerar tambi n las 4P 4! 24== permutaciones de los libros de matem ticas, as como las 6P 6!

10 720== de los libros de f sica y las 2P 2! 2== de los de qu mica. Se concluye as por el principio de la multiplicaci n que hay: Total 6 24 20= = colocaciones distintas. 6 2. Consideremos los cuatro libros de matem ticas como una unidad. Se tendr a entonces una unidad correspondiente a matem ticas, 6 unidades diferentes de f sica y dos unidades diferentes de qu mica. Por lo tanto, existen: 9P 9! 362880== maneras de ordenar estas 9 unidades, y por cada una de ellas hay 4P 4! 24== Ordenaciones posibles de los 4 libros de matem ticas, por lo que en total hay: Total = formas de colocar los libros.