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EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO - ubo.cl

APUNTE: EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE C LCULO C TEDRAS: C LCULO, C LCULO I, MATEM TICAS II PROFESOR: CLAUDIO GAETE PERALTA APUNTE: EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE C LCULO C TEDRAS: C LCULO, C LCULO I, MATEM TICAS II PROFESOR: CLAUDIO GAETE PERALTA Licenciado en Matem ticas, Mag ster en Matem ticas, Post tulo en Did ctica de la Matem tica. Pontificia Universidad Cat lica de Valpara so, Chile. Actualmente atiende las c tedras de "C lculo", "C lculo I", "C lculo II", "C lculo III", "Matem ticas II", "Matem ticas III" de la Universidad Bernardo O Higgins.

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO. 6 . I. ECUACIONES . Resuelva la ecuación 1 . Solución: Como el discriminante de 1 es negativo y el coeficiente que acompaña a es positivo,

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1 APUNTE: EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE C LCULO C TEDRAS: C LCULO, C LCULO I, MATEM TICAS II PROFESOR: CLAUDIO GAETE PERALTA APUNTE: EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE C LCULO C TEDRAS: C LCULO, C LCULO I, MATEM TICAS II PROFESOR: CLAUDIO GAETE PERALTA Licenciado en Matem ticas, Mag ster en Matem ticas, Post tulo en Did ctica de la Matem tica. Pontificia Universidad Cat lica de Valpara so, Chile. Actualmente atiende las c tedras de "C lculo", "C lculo I", "C lculo II", "C lculo III", "Matem ticas II", "Matem ticas III" de la Universidad Bernardo O Higgins.

2 Adem s, se desempe a como Coordinador de C lculo dentro del Departamento de Matem ticas y F sica. EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE C LCULO 3 NDICE PRESENTACI N .. 5 I. ecuaciones .. 6 EJERCICIOS PROPUESTOS .. 11 II. FUNCIONES .. 12 A. EVALUAR FUNCIONES .. 12 B. MODELAR FUNCIONES .. 16 C. DOMINIO Y RECORRIDO DE FUNCIONES .. 18 D. COMPOSICI N DE FUNCIONES .. 21 III. FUNCI N LINEAL .. 24 A. ECUACI N PUNTO PENDIENTE .. 24 B. F RMULA DE PENDIENTE .. 24 C. FUNCI N CUADR TICA .. 33 IV. LOGARITMOS .. 43 A. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS .. 43 EJERCICIOS PROPUESTOS.

3 48 V. L MITES .. 53 EJERCICIOS PROPUESTOS .. 58 VI. CONTINUIDAD .. 60 EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE C LCULO 4 EJERCICIOS PROPUESTOS .. 65 VII. DERIVADAS .. 66 A. RAZ N DE CAMBIO .. 70 B. M XIMOS Y M NIMOS .. 71 C. OPTIMIZACI N .. 73 EJERCICIOS PROPUESTOS .. 81 VIII. CONCLUSIONES .. 84 IX. BIBLIOGRAF A DE APOYO .. 85 EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE C LCULO 5 PRESENTACI N En mi experiencia docente, he escuchado decir much simas veces a diferentes estudiantes que "son malos para Matem ticas". Si usted se siente identificado con eso, yo le comento que no existe la persona que sea mala para las matem ticas, y que s lo hay una manera de aprender en este terreno: practicando permanentemente y a diario.

4 Alguna vez le por ah , una entrevista a Ricardo Baeza, Premio Nacional de Ciencias Exactas 2009, quien mencion que hay que ver a las Matem ticas ( o la Matem tica?) como un desaf o y que esta disciplina es til para cualquier mbito de la vida. Por lo mismo, para l la clave est en hacer EJERCICIOS , m s EJERCICIOS y m s EJERCICIOS . Este material es in dito, ya que recopila diversos problemas de Matem ticas que han surgido dentro de mi labor docente. Dentro de estos problemas, algunos aparecen como propuestos (pero no RESUELTOS ), en diferentes libros de Matem ticas que usted podr encontrar dentro de la Bibliograf a ubicada al final de estos apuntes.

5 El prop sito de este apunte es reforzar las diferentes tem ticas que se estudian en los cursos de C lculo, C lculo I y Matem ticas II, dentro de la Facultad de Ingenier a y Administraci n de la Universidad Bernardo O Higgins (UBO), presentando no s lo EJERCICIOS RESUELTOS , sino tambi n propuestos. Cabe se alar que estos apuntes tiene un car cter de apoyo al estudiante y que por s solo podr a resultar insuficiente si no es complementado con otros textos de estudio y/o con lo ense ado en clases. Estos apuntes constan de siete cap tulos. El cap tulo I, cuya tem tica es ecuaciones , es un cap tulo que si bien no forma parte de los programas antes mencionados, es un tema que resulta fundamental para el desarrollo de estos.

6 Desde el cap tulo II hasta el cap tulo VII, los contenidos son presentados en el orden en los que aparecen en los programas de estudio de las diferentes carreras de Ingenier a de la UBO. Claudio Gaete Peralta EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE C LCULO 6 I. ecuaciones Resuelva la ecuaci n 1. Soluci n: Como el discriminante de 1 es negativo y el coeficiente que acompa a a es positivo, tenemos que 1 0 para todo n mero real. De esta forma, no hay restricciones previas para resolver la ecuaci n. Resolviendo, tenemos 5 6 1 1/ 1 5 6 1 5 6 1 4 5 54 Lo que resuelve el ejercicio Resuelva la ecuaci n 2 12 1 3 2 Soluci n: En primer lugar, debemos notar que tenemos las siguientes restricciones 2 1 0 12 2 0 2 Con esto, tenemos que de existir una soluci n, sta no puede ser ni.

7 Procedamos a resolver la ecuaci n. Multiplicando cruzado, tenemos que: 2 1 2 2 1 3 EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE C LCULO 7 2 4 2 2 6 3 5 2 7 3 1 12 Resuelva la ecuaci n 34 56 29 Soluci n Tenemos que .. 4,6,9 36. Por lo tanto, 34 56 29 / 36 9 3 6 5 4 2 9 27 6 30 4 8 27 30 4 6 9 3 10 310 EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE C LCULO 8 Resuelva la ecuaci n # # # $ , donde #, $ son n meros reales y # 0 Soluci n: # # # $ 2# # 2# # # $ 2# # 2# # # $ 4# # $ # $ 4# Resuelva la ecuaci n 23 5 710 32 Soluci n: En primer lugar, como restricci n, tenemos que 0.

8 La idea principal es poder quitar los denominadores de esta ecuaci n. Fij ndonos en los coeficientes de cada denominador, tenemos que .. 3,2,10 30 De esta forma, si multiplicamos a ambos lados por 30 , seremos capaces de eliminar los denominadores y trabajar con una ecuaci n que ser m s sencilla 23 5 710 32 / 30 20 150 21 45 130 21 45 85 21 8521 EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE C LCULO 9 Este ejemplo explica el por qu es necesario hacer restricciones antes de empezar a resolver una ecuaci n. Resuelva la ecuaci n 6# 7# 12 2# 4# 3 3# 5# 4 0 Soluci n: Tenemos que 6# 7# 12 2# 4# 3 3# 5# 4 0 6 # 3 # 4 2 # 1 # 3 3 # 1 # 4 0/ # 3 # 4 # 1 6 # 1 2 # 4 3 # 3 0 6# 6 2# 8 3# 9 0 5# 5 0 5# 5 # 1 Con lo que habremos resuelto la ecuaci n.

9 Sin embargo, esta no puede ser soluci n, pues, tenemos que # 1 anula la expresi n %& '% (, que forma parte de un denominador en la ecuaci n que acabamos de resolver. De esta forma, la ecuaci n no tiene soluci n EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE C LCULO 10 La edad de Fernando es la mitad de la de Pedro. Hace tres a os Fernando ten a un tercio de la edad que tendr Pedro en nueve a os m s. Cu nto ser la suma de las edades en dos a os m s? Soluci n: Denotemos por ), * las edades actuales de Fernando y Pedro, respectivamente. Tenemos que ) + ) 3 13 * 9 Reemplazando la primera ecuaci n en la segunda, tenemos que *2 3 13 * 9 *2 3 *3 3 *2 *3 6/ 6 3* 2* 36 * 36 Reemplazando este valor en la primera ecuaci n, tenemos que ) 18.

10 De esta forma, las edades actuales de Fernando y Pedro son 18 y 36 a os respectivamente. Por lo tanto, en dos a os m s, sus edades ser n de 20 y 38 a os y as , sumar n 58 a os. Resuelva la ecuaci n 12 1 2 1 14 3 Soluci n: En primer lugar, como restricciones, tenemos que 1, 3. EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE C LCULO 11 La idea es poder sacar los denominadores, para poder trabajar con una ecuaci n m s sencilla. Si multiplicamos a ambos lados por 1 3 habremos quedado libres de inc gnitas en los denominadores y de esta forma podr amos empezar a resolver la ecuaci n.


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