Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

1 Ejercicios resueltos deEcuaciones DiferencialesIIII NDICE todos elementales de resoluci n de Ecuaciones ecuaci n lineal I: aspectos te ricos sobre la existencia y unici-dad de soluci n y matrices ecuaci n lineal II: forma can nica de Jordan, exponencial deuna matriz y f rmula de variaci n de las a de comparaci n de ecuaci n peri Diferenciales con coeficientes anal lisis local de existencia y unicidad de lisis global de existencia y unicidad de continua y diferenciable respecto de datos inicialesy par metros. de Fourier, problemas de contorno, Ecuaciones en deriva-das parciales y c lculo de variaciones237 IIIIV NDICE GENERALIVCAP TULO1M todos elementales deresoluci n de ecuacionesdiferenciales ordinarias1.

2 La poblaci nP(t)de un suburbio de una gran ciudad en un instantecualquiera se rige por{dPdt=P(10 1 10 7P)P(0)=5000,en dondetse mide en meses. Cu l es el valor l mite de la poblaci n? En qu momento ser la poblaci n igual a la mitad de su valor l mi-te?Soluci n :Calculamos en primer lugar el tama o de la poblaci n,P(t), resolviendo el problema de valores iniciales. La ecuaci n di-ferencial tiene sus variables separadas:P P(10 1 10 7P)=1 ,donde hemos denotadoP =dPdt. Integrando los dos miembros deesta identidad entre 0 ytobtenemos107 P(t)5000dQQ(106 Q)=t,donde hemos efectuado el cambio de variableQ=P(t).}

3 Teniendoen cuenta ahora que1Q(106 Q)=10 6(1Q+1106 Q),12concluimos tras una serie de c lculos simples que la nica soluci nde nuestro problema esP(t)=106et10199+ valor l mite de la poblaci n es por tantol mt P(t)=106,como se desprende de una simple aplicaci n de la regla de L H responder a la segunda cuesti n tenemos que encontrar el valort0para el queP(t0)=1062. Basta entonces con resolver la ecuaci n106et010199+et010=1062 et010=199 .Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros concluimos quet0=10 log(199)meses 4,41 a os.

4 2. Resuelve las siguientes Ecuaciones Diferenciales :(a)x =et 2tt2 1(b)(x2+9)y +xy=0(c)dydx=2xe y(d)x =1+tt2x2(e)x =et+xSoluci n :(a) La ecuaci n tiene sus variables separadas. Integrandoobtenemosx(t)=et log(|t2 1|)+C,C todos elementales32040608010012014020000040000 06000008000001 106 Figura :Representaci n gr fica de la soluci n del Ejercicio 1 en el intervalo[0, 150].34(b) Separando las variables obtenemosy y= xx2+9e integrando con respecto axllegamos ay(x)=C x2+9.(c) Separando las variables resultaeydydx=2x, de donde se obtiene lasoluci n generaly(x)=log(x2+C),C R:x2+C>0 ,sin m s que integrar ambos miembros con respecto a la rvese que, dado cualquier dato inicialy(x0)=y0, la soluci ns lo existe six2> C=x20 ey0.

5 (d) Separando las variables obtenemosx2x =1+ entonces con respecto aten ambos miembros de la ecua-ci n encontramos que la soluci n general de la misma viene dadaporx(t)=[3(log(|t|) 1t)+C]13,C R.(e) Separando las variables resultae xx =et, de donde obtenemosla soluci n generalx(t)= log(C et),C>et,integrando la ecuaci n con respecto a la variablet. Obs rvese que,dado cualquier dato inicialx(t0)=x0, la soluci n s lo existe sit<log(C)conC=et0+e x0. 4M todos elementales53. Un reactor transforma plutonio 239 en uranio 238 que es relativa-mente estable para uso industrial.

6 Despu s de 15 a os se determinaque el por ciento de la cantidad inicialA0de plutonio se hadesintegrado. Determina la semivida1de este is topo si la rapidezde desintegraci n es proporcional a la cantidad n :Llamemosx(t)a la cantidad de plutonio 239 que quedaen el instantet, con lo quex (t)indicar la velocidad o rapidez dedesintegraci n del mismo. Como la velocidad de desintegraci n esproporcional a la cantidad de is topo restante, la ley diferencial querige el proceso de desintegraci n esx = xsujeta a la condici n inicialx(0)=A0,cuya nica soluci n viene dada porx(t)=A0e t.

7 Para tener com-pletamente determinada la soluci n necesitamos conocer el valor dela constante de desintegraci n , el cual puede encontrarse a trav sde la relaci n (establecida en el enunciado del problema)x(15)=(1 0,0043100)A0=99,9957100A0,por lo que ha de serA0e15 =99,9957100A0 =115log(99,9957100).Finalmente, la semivida de este is topo es el valort0para el que secumple la condici nx(t0)=A02, por lo queA0e[115log(99,9957100)]t0=A02 t0=15 log(2)log(100) log(99,9957)=241790 a os . 4. Dadas dos funcionesf,gderivables, sabemos que la identidad(f g) =f g 1 Tiempo necesario para que la cantidad inicial de tomos se reduzca a la mitad56es falsa en general.

8 Si fijamosf(x)=ex3+2x, determina las funcionesgque verifican dicha n :Por un lado(f g) (x)=(3x2+2)ex3+2xg(x)+ex3+2xg (x)mientras que, por otro lado,f (x)g (x)=(3x2+2)ex3+2xg (x).Entonces ha de cumplirse(3x2+1)ex3+2xg (x)=(3x2+2)ex3+2xg(x)o, equivalentemente,g (x)g(x)=3x2+23x2+ esta ecuaci n diferencial en variables separadas obtene-mosg(x)=C ex+1 3arctan( 3x),C R. 5. Resuelve las siguientes Ecuaciones Diferenciales :(a) 3x+y 2+y (x 1)=0(b)(t2x2 1)x +2tx3=0, haciendox=z (c)x+(x t)x =0(d) 2t+3x+(x+2)x =0 Soluci n :(a) La ecuaci n puede ser reescrita en forma can nica (conla derivada despejada) de la siguiente forma:y =3x+y 21 todos elementales7 Veamos c mo podemos reducir esta ecuaci n diferencial a una ho-mog nea.

9 Consideramos las rectas de ecuaciones3x+y 2=0 , 1 x=0 ,de las que resulta el punto de corte(x=1,y= 1). A continuaci nse procede v a el siguiente cambio de variable:X=x 1 ,Y=y+1 .Entonces se tiene queY =y = Y+3XX=YX+3 ,( )que es una ecuaci n diferencial homog nea. Haciendo ahora el cam-bio de funci n inc gnitau=YXy usando ( ) obtenemosY =u+Xu =u+3 ,de donde se deduce queu = tantou(X)=3 log(|X|)+C,C los cambios de variable efectuados para recuperar lasvariables originales llegamos ay(x)=3(x 1)log(|x 1|)+C(x 1) 1 ,C R.(b) Obviamentex 0 es soluci n.

10 Busquemos todas las dem s so-luciones. Efectuando el cambio de funci n inc gnitax=z en laecuaci n obtenemos (t2z2 1)z 1z +2tz3 =0 ,de donde resulta (t2z2 1)z +2tz2 +1=0o, equivalentemente,z = 2 (tz2 +1t2z2 1)= 2 ((z/t)2 +1(z/t)2 (1/t2 +2))78que es una ecuaci n homog nea. Haciendo el cambio de variableu=ztobtenemos la siguiente ecuaci n equivalente:(t2 +2u2 1u)u = los dos miembros de esta ecuaci n con respecto a la va-riabletllegamos a la siguiente expresi n impl cita parau:12 t2 +2u2 log(|u|)=C+log(|t|),C finalmente los dos cambios de variable efectuados2ob-tenemosx2t2 2 log(|x|)=C,C R.