Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales

1 + 2y= (x) = 2factorintegrante:e 2dx=e2xmultiplicamoslaecuacionp + 2e2x= 0elladoizquierdodelaecuacionsereducea:dd x[e2xy] = 0separamosvariableseintegramos. ddx[e2xy] = 0 dx+ce2xy=cy=ce 3y= 0p(x) = 3 Factorintegrante:e 3dx=e 3xmultiplicamosp 3xdydx 3e 3xy= 0 dydx[e 3xy= 0 dx+ce 3xy=cy= + 12y= + 4y=43p(x) = 4 Factorintegrante:e 4dx=e4xe4xdydx+ 4e4xy=43e4x ddx[e4xy] = e4xdx+ce4xy=14e4x+cy=14+ce = 2y+x2+ 5formalinealy 2y=x2+ 5 Factorintegrante:e 2dx=e 2xe 2xy 2e 2xy=e 2xx2+ 5e 2x ddx[e 2xy] = e 2xx2+ 5 e 2x+ce 2xy= 52e 2x 14e 2x(2x2+ 2x+ 1) +Cy= x22 x2 14+52+ 4(x+y6)dy= 0ydx= 4(x+y6)dydxdy=4(x+y6)y;dxdy=4xy+4y6y2de 4xy= 4y5 Factorintegrante:e 4 1ydy;e 4 log(y);elog(y) 4;y 4=1y41y4dxdy 1y44xy=1y44y5ddy[1y4x] = 4y ddy[1y4x] = 4 ydy1y4x= 2y2+Cx= 2y6+ +y=exy +1xy=exxFactorintegrante:e 1xdx=elogx=xxy +xxy=xexxddx[xy] =exIntegramos: ddx[xy] = exdx+cxy=ex+cy=exx 1+cx +y=2y2dydx+yx= (1)hacemoslasustitucion:u=y1 ndonden= 2u=y1 ( 2)=y3.]

2 U1/3= 2/3dudx= 2/3dudx+u1/3x=2(u1/3)2xAcomo damosalaformalineal,multiplicandoto dalaecuacionp or13u2 + 3ux= 1xdx=e3 logx=elogx3=x3 Multiplicamosp + 3x3ux=x36xddx[x3u] = 6x2integramos. ddx[x3u] = 6 x2+cx3u= 2x3+cu= 2 +cx 3 Sustituimosu=y3y3= 2 +cx +y3/2= 1;condiciony(0) = 4dydx+y3/2y1/2=1y1/2 dydx+y=y 1/2u=y1 n;n= 1/2;u=y1 ( 1/2)=y3/2u2/3=y23u 1/3dudx= 1/3dudx+u2/3= (u2/3) 1/2 Multiplicamoslaecuacionp or23u1/3dudx+32u= :e32 dx=e32x4e32xdudx+e32x32u=e32x32ddx[e32xu ] =32e32x ddx[e32xu] = 32e32xdx+ce32xu=e32x+cu= 1 +ce 32xSustituimosu=y3/2y3/2= 1 +ce 32x (0) = 443/2= 1 +ce 3208 1 =cc= 1 + 7e 32x +2xy= 2xy2u=y1 n;donden= 2entonces:u=y1 2;u=y 1;u 1=y u 2dudx=dydxsustituimosenlaecuacion. u 2dudx+2xu 1= 2x(u 1)2multiplicamosp or u2dudx 2xu= 2xestaesunaecuacionlinealconp(x) = 2 1xdx=elogx 2=x 2x 2dudx x 22xu=x 22xddx[x 2u] = 2x ddx[x 2u] = 2x 1dx+cx 2u= 2 logx+cu= 2x2logx+cx2sustituimosu=y 1ylasoluci nesentonces:y=12x2logx+cx210,y +xy=xy 1 1/2u=y1 n;u=y1 ( 1/2);u=y3/2;y=u2/3dydx=23u 1 1/3+xu2/3=x(u2/3) 1/2multiplicamosp or23u1/3dudx+32xu=32x queesunaecuacionlinealconp(x) =32xFactorintegrante:e32 xdx=e34x2e34x2dudx+e34x232xu=e34x232xddx e34x2u=32xe34x2dx+c ddxe34x2u=32 xe34x2dx+ce34x2u=e34x2+cu= 1 +ce 34x2sustituimosu=y3/2y3/2= 1 +ce (2x 1)dx+ (3y+ 1)dy= 0M(x,y) = 2x 1;N(x,y) = 3y+ 1 Comprobamosquelaecuacionseaexacta,estoes sisecumplelacondicion M y= N x M y= 0; N x= 0soniguales,p (x,y) =M(x,y)fx(x,y) = 2x 1integramosresp ectoax,ylaconstantedeintegracionseraunaf unciong(y) M x= 2 xdx dx+g(y)f(x,y) =x2 x+g(y).

3 (1)Estafuncionladerivamosconresp ectodey. f y=g (y)igualamosconN(x,y)g (y) = 3y+ 1integramosresp ectoay g (y) = 3 ydy+ dy+cg(y) =32y2+y+csustituimoslafuncionen(1).x2 x+32y2+y= (seny ysenx)dx+ (cosx+xcosy y)dy= 0M(x,y) =seny ysenx;N(x,y) =cosx+xcosy y M y=cosy senx N x= senx+cosy7 M y= N xp (x,y) =seny ysenxintegramosconresp ectoax fx(x,y)dx= (seny ysenx)dxf(x,y) =xseny y( cosx) +g(y)..(1)derivamosestaecuacionresp ectoay,eigualamosconN(x,y)fy(x,y) =cosx+xcosy+g (y) =cosx+xcosy yg (y) = yintegramosresp ectodey g (y) = ydy+cg(y) = 12y2+csustituimosen(1)f(x,y) =xseny+ycosx +ycosx 12y2=c3.(3x2y+ey)dx= (x3+xey 2y)dyM(x,y) = 3x2y+ey;N(x,y) =x3+xey 2yMy(x,y) = 3x2+eyNx(x,y) = 3x2+eyMy(x,y) =Nx(x,y) (x,y)conresp ectodex,yobtenemosunafunciong(y) (x,y) = (3x2y+ey)dxf(x,y) =x3y+xey+g(y)..(1)Derivamosconresp ectodey(1)eigualamosconN(x,y)fy(x,y) =x3+xey+g (y) =x3+xey 2yg (y) = 2y8 Integramosresp ectodeyg(y) = 2 ydy+cg(y) = y2+csustituimosen(1)x3y+xey y2= (6xy 2y2)dx+ (3x2 4xy)dy= 0My(x,y) = 6x 4y,Nx(x,y) = 6x (x,y)resp (x,y) = (6xy 2y2)dxf(x,y) = 3x2y 2xy2+g(y).

4 (1)derivamosresp ctodeyfy(x,y) = 3x2 4xy+g (y)igualamosconN(x,y)3x2 4xy+g (y) = 3x2 4xy g (y) = 0integramosresp ectodeyg(y) =csutituimosenlaecuacion(1)3x2y 2xy2=c5.(2y 2xy3+ 4x+ 6)dx+ (2x 3x2y2 1)dy= 0conlacondiciony( 1) = 0My= 2 6xy2= (x,y)resp ectoaxf(x,y) = (2y 2xy3+ 4x+ 6)dxf(x,y) = 2xy 3x2y3+ 2x2+ 6x+g(y)..(1)9derivamosresp ectoay:fx(x,y) = 2x 3x2y2+g (y)igualamoconN(x,y)2x 3x2y2+g (y) = 2x 3x2y2 1 g (y) = 1integramos:g(y) = y+csustituimosen(1)2xy x2y3+ 2x2+ 6x y= ( 1) = 02( 1)2+ 6( 1) =cc= 4entonceslasolucionparticularalcasoy(-1) =0es:2xy x2y3+ 2x2+ 6x y= 46.( xysinx+ 2ycosx)dx+ 2xcosxdy= 0;Useelfactorintegrante (x,y) =xyMy(x,y) = xsinx+ 2 cosxNx(x,y) = 2xsinx+ 2 cosxNX6=Mylaecuacionesnoexacta,enesteeje mplosenosdioelfactorintegrante,p orlotantopro cedemosamultiplicarto dalaecuacionp ( xysinx+ 2ycosx)dx+xy(2xcosx)dy= 0( x2y2sinx+ 2xy2cosx)dx+ (2x2ycosx)dy= (x,y) = 2yx2sinx+ 4xycosxNX(x,y) = 4xycosx 2x2ysinxMY=NXp (x,y) = x2y2sinx+ 2xy2cosxintegramosresp ectoax:f(x,y) = ( x2y2sinx+ 2xy2cosx)dxf(x,y) =x2y2cosx+g(y).

5 (1)derivamosresp ectoay:fy(x,y) = 2x2ycosx+g (y)igualamosconNx2x2ycosx+g (y) = 2x2ycosxg (y) = 0integramosresp ectoay:g(y) =csustituimosen(1)f(x,y) =x2y2cosx+c2 Ecuacionesdeordensup = 2x2 Integramosamb osladosdelaecuacion: y = 2 x2dx+cy =23x3+c1 Volvemosaintegrar: y =23 (x3+c1)dx+c2y= (23)(14)x4+xc1+c2 Solucion:y=16x4+c1x+ =sen(kx)Integramosamb osladosdelaecuacion: y = sen(kx)dx+c1y = kcos(kx) +c1 y = k cos(kx)dx+c1 dx+c2y = k2sen(kx) +xc1+c2 y = k2 sen(kx)dx+c1 xdx+c2 dx+c3y=k3cos(kx) +12c1x2+c2x+ =1xIntegrando: y = 1xdx+c1y = logx+c1 y = logxdx+c1 dx+c2y =xlogx x+c1x+c2 y = xlogxdx xdx+c1 xdx+c2 dx+c3y=x22(logx 12) 12x2+c112x2+c2x+ =x+ sinxIntegrando: y = xdx+ sinxdx+c1y =12x2 cosx+c1 y =12 x2dx cosxdx+c1 dx+c2y=16x3 sinx+c1x+ =xsinx, y(0) = 0y (0) = 0y (0) = 2 Resolvemoslaecuaciondiferencialintegrand otresveces: y = xsinxdx+c!

6 Y = sinx xcosx+c1 y = sinxdx xcosxdx+c1 dx+c2y = cosx (cosx+xsinx) +c1x+c2 y = cosxdx cosxdx xsinxdx+c1 xdx+c2 dx+c3y= sinx sinx ( xcosx+ sinx) +12c1x2+c2x+c3y= 3 sinx+xcosx+12c1x2+c2x+ +y = 0De niendo:p(x) =dydx dpdx=d2ydx2xp +p= 1pdp 1xdx= 1pdp+c1logx= logp+ logc1logx= log(c1p)Aplicandoexp onencialaamb (x) =dydxx=c!dy/dxx=c1dxdyintegrando: 1xdx=1c1 dy+c2logx=1c1y+c2y=c1logx+ (x 1)y y =0De nimos:p(x) =dydx dpdx=d2ydx2(x 1)p p= 0 Dividimosentre(x 1)x 1x 1p 1x 1p= 0p 1x 1p= 1x 1p= 0dpdx=1x 1p1pdp=1x 1dxintegrando: 1pdp= 1x 1dx+c113log(p) = log(x 1) + log(c1)log(p) = log[c1(x 1)]p=c1(x 1)haciendop=dydxdydx=c1(x 1)dy=c1(x 1)dxintegrando: dy=c1 (x 1)dx+c2y=c112x2 x+ +y 2y= 0 Resolvemoslaecuacioncaracteristicaaso +m 2 = 0(m+ 2)(m 1) = 0m1= 2m2= 1 Sup onemosunasoluciony=emxy1=e 2xy2=exy(x) =c1e 2x+ 2y +y= 0 Ecuacioncaracteristicaasoiadam2 2m+ 1 = 0(m 1)2= 0m1,2= 1soluciony=emxy1=exy2=y1 e p(y)dyy21dxy2=ex e2xe2xdxy2= (x) =c1ex+ 8y + 5y= 8m+ 5 = 0m1,2=8 64 808m1,2= 1 +c2exe i12xy=ex(c1ei12x+c2e i12x)y=ex(c1cos12x+c2sen12x) 2y 8y= 0 Ecuacioncaracteristica:3m2 2y 8 = 0(3m+ 4)(m 2)m1= 2m2= 43 Solucionpropuestadelaforma,y=emxy1=e2xy2 = e 43xSolucion.

7 Y(x) =c1e2x+ 10y + 9y = 10m3+ 9m= 0m(m4 10m2+ 9) = 0m1= 0 (m2 9)(m2 1)m2,3= 3m4,5= 1 Entoncestenemoslassoluciones:y1=e0= 1y2=e3xy3=e 3xy4=exy5=e xSolucion:y(x) =c1+c2e3x+c3e 3x+c4ex+ + 4y + 3y= 0y(0) = 2y (0) = + 4m+ 3 = 015m1,2= 4 362m1,2= 2 3iSolucion:y(x) =e 2x(c1cos 3x+c2sin 3x)y (x) =e 2x( 3c1sin 3x+ 3c2cos 3x) 2e 2x(c1cos 3x+c2sin 3x)Resolveremosparaloscasosy(0) = 2yy (0) = (0) = 22 =e0(c1cos 0 +c2sin 0)2 =c1 Paray (0) = 3 3 =e0( 3c1sin 0 + 3c2cos 0) 2e0(c1cos 0 +c2sin 0) 3 = 3c2 2c1 3 = 3c2 2(2) 3 + 4 = 3c2c2=13 Porlotantolasolucionparaelcasoengenerale s:y(x) =e 2x(2 cos 3x+13sin 3x) 7d4ydx2 18y= 0 Ecuacioncaracteristica:m4 7m2 18 = e + 3y + 2y= 6 Resolvemoslaecuacionhomogeneaaso ciadayh=y + 3y + 2y= 0 Ecuacioncaracteristica:m2+ 3m+ 2 = 0(m 1)(m 2)m1= 1m2= 2yh=c1ex+c2e2xAhoraresolvemoslapartenoho mogenasup ,loquenossugiereusemosunasoluciondelafor maAyp=Ay p= 0y p= + 3(0) + 2A= 6A= 3 Entonceslasolucionesy(x) =yh+ypy(x)

8 =c1ex+c2e2x+ +y= sinxResolvemosprimerlaecuacionhomogeneaa so +y= + 1 = 0m2= 1m1,2= 1m1,2= idonde = 0y = 1m1,2= iyh=c1e xcos x+c2e xsin xyh=c1cosx+c2sinxAhorabuscamosunasolucio nparticular,parasinxnosprop onenunasoluciondelaformaAsinx+Bcosx,sine mbargop o demosobservarqueestayaesunasoluciondelae cuacionhomogeneaaso ciaday +y= 0,entoncessegunlareglademultiplicacionpa raestecaso,deb emosmultiplicarp orxndondeneselnumerodeenterosp +Bxcosxy p=Asinx+Axcosx+Bcosx Bxsinxy p=Acosx+Acosx Axsinx Bsinx Bxcosx Bsinx=2 Acosx 2 Bsinx Axsinx BxcosxSustituimosenlaecuacionoriginal2 Acosx 2 Bsinx Axsinx Bxcosx+Axsinx+Bxcosx= sinx2 Acosx 2 Bsinx= sinx2A= 0entoncesA= 0 2B= 1entoncesB= 12 Sustituyendoyp= 12xcosx17y(x) =yh+ypy(x) =c1cosx+c2sinx 10y + 25y= 30x+ 3 Resolvemoslaecuacuionhomogeneaaso 10m+ 25 = 0m1,2= 5yh=c1e5x+c2xe5xLasolucionparticularprop uestapara30x+ 3esAx+Byp=Ax+By p=Ay p= 0sustituimosenlaecuacion 10(A) + 25(Ax+B) = 30x+ 325A= (1)entoncesA=6525B 10A= (2)25B 10(65) = 325B= 3 + 12B=35yp=65x+35y(x) =yh+ypy(x) =c1e5x+c2xe5x+65x+ +y +y=x2 2xResolvemoslaecuacionhomogeneaaso +y +y= 014m2+m+ 1 = 0m1,2= 2yh=c1e 2x+c2xe 2xAhorasup onemosunasolucionparticularparaelcasodef (x) =x2 2xyp=Ax2+Bx+Cy p= 2Ax+By p= (2A) + 2Ax+B+Ax2+Bx+C=x2 2x12A+B+Ax2+ 2Ax+Bx+C=x2 2x18A= 12A+B= 2B= 2 2 = 012A+B+C= 012A+C= 0C= 12A= 12yp=x2 12y(x) =yh+ypy(x) =c1e 2x+c2xe 2x+x2 + 3y= +3y=0m2+ 3 = 0m1,2= 3m1,2= 3iyh=c1cos 3x+c2sen 3xsup onemosunasolucionparticularpara 48x2e3xyp=e3x(Ax2+Bx+C)y p= 3e3x(Ax2+Bx+C) +e3x(2Ax+B)y p= 9e3x(Ax2+Bx+C) + 3e3x(2Ax+B) + 3e3x(2Ax+B) +e3x(2A)

9 = 9e3x(Ax2+Bx+C) + 3e3x(4Ax+ 2B) +e3x(2A) (Ax2+Bx+C)+3e3x(4Ax+2B)+e3x(2A)+9e3x(Ax2 +Bx+C) + 3e3x(2Ax+B) = 48x2e3x9e3xAx2+9e3xBx+9e3xC+12e3xAx+6e3x B+2e3xA+9e3xAx2+9e3xBx+ 9e3xC+ 6e3xAx+ 3e3xB= 48x2e3x9A+ 9A= 4818A= 48A= 83B= 0C= y = 3y -y =0m2 m= 0m(m 1) = 0m1= 0m2= 119yh=c1e0x+c2ex=c1+c2exEnestecasop o demosverclaramentequeexisteyaunasolucion queesc1igualcon 3entoncesp p=Ay p= A= 3entonces,A= 3yp= 3xy(x) =yh+ypy(x) =c1+c2ex+ 6y = 3 cosxEcuacionhomogeneaaso ciadayh=y 6y = 0m3 6m2= 0m2(m 6) = 0m1,2= 0m3= 6yh=c1+c2x+c3e6xLasolucionparticularprop uestapara3 cosxesyp1=A yp2=Bcosx+Csenxsinembargoenlasolucionyp1 serepitelacon-stante,entonceslamultiplic amosp +Bcosx+Csenxy p= 2Ax Bsenx+Ccosxy p= 2A Bcosx Csenxy p=Bsenx Ccosx 12A+ 6 Bcosx+ 6 Csenx= 3 Cosx 12A= 3;A= 146B C= (1)6C+B= (2)Igualando1y2B=637C=137yp=12x3+637cosx +137senxy(x) =c1+c2x+c3e6x 14x2+637cosx+ + 2y +y=senx+ 3cos2xyh=y + 2y +y= 0m2+ 2m+ 1 = 0(m+ 1)2= 0m1,2= 1yh=c1ex+c2xexSolucionparticularyp=Acosx +Bsenx+Ccos2x+Dsen2xy p= Asenx+Bcosx 2 Csen2x+ 2 Dcos2xy p= Acosx Bsenx 4 Ccos2x 4 Dsen2xsustituyendo.

10 Acosx Bsenx 4 Ccos2x 4 Dsen2x 2 Asenx+2 Bcosx 4 Csen2x+4 Dcos2x+Acosx+Bsenx+Ccos2x+Dsen2x=senx+ 3cos2x 3 Ccos2x 3 Dsen2x 2 Asenx+ 2 Bcosx 4 Csen2x+ 4 Dcos2x=senx+ 3 Cos2x 3C+ 4D= (1) 3D 4C= (2)C=925D=1225 2A= 1;A= 122B= 0;B= 0y(x) =c1ex+c2xex 12cosx+925cos2x+ +y= secxResolvemoslapartehomogeneadelaecuaci onestaesyh=y +y= 0 Paralaecuacionhomogeneaaso ciada, + 1 = 0m2= 1m1,2= 1;m1,2= im1,2= i;donde = 0 = 121yh=c1cosx+c2senxAhoraidenti camosy1=cosxyy2= y2=senxy 1= senx y 2=cosxAcontinuacioncalculamoselWronskian o:W=y1y2y 1y 2=cosx senx senx cosx= [(cosx)(cosx)] [(senx)( senx)] =cos2x+sen2x= 1W1=0y2f(x)y 2=0senxsecx cosx= [(0)(cosx)] [(senx)(secx)] = senxsecx= senxcosx= tanxW2=y10y 1f(x)=cosx0 senx secx= [(cosx)(secx) (0)( senx)] =cosxsecx=cosxcosx= 1u 1=W1W= tanx1= tanx;u1= tanxdx= [ ln(cosx)] =ln(cosx)u 2=W2W=11= 1;u2= dx=xyp=u1y1+u2y2yp=ln(cosx)cosx+xsenxy(x ) =yh+ypy(x) =c1cosx+c2senxi+cosxln(cosx) + +y=senxResolvemosyh=y +y= 0m2+ 1 = 0m2= 1m1,2= 1;m1,2= iDonde: = 0y = 1yh=e x(c1cos x+c2sen x)yh=e0x(c1cos x+c2sen x)22yh=c1cosx+c2senxDe nimosy1,y2y1=cosx;y 1= senxy2=senx;y 2= senx senx cosx=cos2x+sen2x= 1W1=0senxsenx cosx= sen2xW2=cosx0 senx senx=senxcosxAhoracalculamosu1, 1= sen2x1= sen2xu1= sen2xdx=x2 14sen2xu 2=senxcosx1=senxcosxu2= senxcosxdx=12sen2xyp=u1y1+u2y2= (x2 14sen2x)cosx+12sen2x(senx)yp=12xcosx 14cosxsen2x+12sen3xy(x) =yp+yhy(x) =c1cosx+c2senx+12xcosx 14cosxsen2x+ +y=cos2xEcuacionhomogeneaaso ciadayh=y +y= 0 Estaecuaciontienesoluciondelaforma:yh=c1 cosx+c2senxDe nimosy1,y2y1=cosx;y 1= senxy2=senx.