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1 Ejercicios Resueltos de Estad stica: Tema 4: Probabilidades y Variables Aleatorias 1. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una l nea de ensamblaje es de Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes: 1. cu l es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas? 2. y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas? 3. cual es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa? SOLUCI N: Sea i una variable aleatoria que representa el estado de una unidad terminada en la l nea de ensamblaje en el momento i, siendo i= 1 si la unidad es defectuosa y =0 en caso contrario.
2 La variable sigue una distribuci n Bernoulli con par metro p=0 05, de acuerdo con el dato inicial del problema. Adem s, n tese que un conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes, por lo que el n mero de unidades defectuosas de un total de n unidades terminadas ( n), esto es,inipn ==1, , sigue una distribuci n binomial de par metros n y p=0,05. Hechas estas consideraciones iniciales, procedemos a resolver el problema: 1. Procedamos a calcular: 0476,0**210)2()05,01(05'08205'0,10= == P 2. Se tiene que: 9984,0**10)2()05,01(05'01005'0,10= = iiiP 3.
3 Por ltimo: 4013,05987,01**0101)0(1)1()05,01(05,0010 005'0,10005'0,10= = == = PP 2. El gerente de un restaurante que s lo da servicio mediante reservas sabe, por experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistir n. Si el restaurante acepta 25 reservas pero s lo dispone de 20 mesas, cu l es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa? SOLUCI N: Representemos por la variable aleatoria la decisi n de asistir ( = 0) o no ( = 1) finalmente al restaurante por parte de una persona que ha hecho una reserva. Esta variable sigue una distribuci n de Bernoulli de par metro p = 0,2, de acuerdo con el enunciado del ejercicio.
4 Suponiendo que las distintas reservas son independientes entre s , se tiene que, de un total de n reservas ( n), el n mero de ellas que acuden finalmente al restaurante es una variable aleatoria Yn = =ni11 , con distribuci n binomial de par metros n y p=0,2. En el caso particular del problema, n=25. Entonces, para aquellas personas que asistan al restaurante de las 25 que han hecho la reserva puedan disponer de una mesa, debe ocurrir que acudan 20 o menos. As se tiene que: 5799,0)2,01(*2,0*25)20(25200= = = iiiiYP 3. Una empresa electr nica observa que el n mero de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson.
5 Si el n mero promedio de estos fallos es ocho, 1. cu l es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas? 2. y de que fallen no m s de dos componentes en 50 horas? 3. cu l es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas? SOLUCI N: Sea la variable aleatoria , con distribuci n de Poisson con par metro [],8== E que determina el n mero de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento. 1. Considerando que se cumplen ciertas condiciones de regularidad, podemos asumir que una variable que mide el n mero de componentes que fallan antes de cumplir 25 horas de funcionamiento sigue una distribuci n de Poisson con par metro = E [ ] = 8=4 = 2.
6 Por lo tanto, la probabilidad deseada es la siguiente: 27067,0*!12)1(21==== eP 2. An logamente, definimos una variable aleatoria U con distribuci n de Poisson de par metro U = 8=2 = 4, que mide el n mero de componentes que fallan antes de cumplir las 50 horas de funcionamiento. Se tiene entonces que: 2381,0*!4)2(420== = eiUPii 3. De la misma forma, definiendo una variable aleatoria V con distribuci n de Poisson de par metro 10=V , se obtiene: = = =< = 1001041696,0*!101)10(1)10(iieiVPVP 4. Sean y las variables aleatorias que cuentan el n mero de veces que sale 1 y 6, respectivamente, en 5 lanzamientos de un dado.
7 Son y independientes?. SOLUCI N: Las variables y siguen una distribuci n binomial de par metros n=5 y p=1/6. Veamos mediante un contraejemplo, que y no son independientes. Por un lado se tiene que: 532)0,0( ==== P, pero )0(65)0(5== == PP ,65)0(*)0(32)0,0(105 === ==== PPP concluy ndose as que las variables no son independientes. 5. Sup ngase que la producci n de un d a de 850 piezas manufacturadas contiene 50 piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se seleccionan del lote dos piezas al azar y sin reemplazo. Sea la variable aleatoria X igual al n mero de piezas de la muestra que no cumplen.
8 Cu l es la funci n de distribuci n acumulada de X? SOLUCI N: La pregunta puede contestarse encontrando primero la funci n de masa de probabilidad de X. P(x=0)= (800/850)(799/849)=0,886 P(x=1)=2(800/850)(50/849)=0,111 P(x=2)=(50/850)(49/849)=0,003 Por lo tanto, F(0)=P(x0 )= F(1)=P(x1 )= +0,111=0,997 F(2)=P(x 2)=1 6. Cada muestra de aire tiene 10% de posibilidades de contener una mol cula rara particular. Suponga que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la mol cula rara. Encuentre la probabilidad de que en las siguientes 18 muestras, exactamente 2 contengan la mol cula rara. SOLUCI N: Sea X=n mero de muestras de aira que contiene la mol cula rara en la siguientes 18 muestras analizadas.
9 Entonces X es una variable aleatoria binomial con p=0,1 y n=18. Por lo tanto, P(X=2)=()()1629,02,0218 Ahora bien, [].1532/)17(18)!16!2/!18(218=== Por lo tanto, 284,0)9,0()1,0(153)2(162===xP 7. Un avi n de alto rendimiento contienen tres computadoras id nticas. Se utiliza nicamente una para operar el avi n; las dos restantes son repuestos que pueden activarse en caso de que el sistema primario falle. Durante una hora de operaci n la probabilidad de que una falle en la computadora primaria( o de cualquiera de los sistemas de repuesto activados) es 0,0005. Suponiendo que cada hora representa un ensayo independiente, (a) Cu l es el tiempo promedio para que fallen las tres computadoras?
10 (b) Cu l es la probabilidad de que las tres computadoras fallen en un vuelo de 5 horas? SOLUCI N: Sea que X denote el n mero de horas hasta que los tres sistemas fallen, y sea que X1, X2 y X3 denoten el n mero de horas de operaci n antes de una falla de la primera, la segunda y la tercera computadoras usadas, respectivamente. Entonces, X=X1+X2+X3. Adem s, se supone que las horas comprenden ensayos independientes con la probabilidad con la probabilidad constante de falla p= y r=3. En consecuencia, E(X)= 3 6000horas Cu l es la probabilidad de que las tres computadoras fallen en un vuelo de 5 horas? La probabilidad pedida es P(x 5) y P(x 5)=P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)= + (0,9995)+) ( = *1010 +3,75*1010 +7,49*1010 =1,249*1010 8.